电动力学讲学课件5

第五章

电磁波的辐射本章难点：1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出；2、电磁场动量密度张量的引入和意义。1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性；2、达朗伯方程及推迟势的物理意义；3、矢势的展开和偶极辐射；4、电磁场的动量守恒。本章重点机动目录上页下页返回结束引言

不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐射，并简要讨论电磁场的动量。机动目录上页下页返回结束一.电磁辐射

与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、标势与静电场情况有很大的不同。机动目录上页下页返回结束二.引入矢势和标势求解电磁辐射问题

变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。机动目录上页下页返回结束三．辐射问题的本质也是边值问题§5.1电磁场的矢势和标势

本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。

由于，与静电场相同，可以引入矢量势函数（矢势），使得机动目录上页下页返回结束一．用势描述电磁场（1）矢势的引入注意：①与静电场不同，引入的矢势与时间相关；②意义与静电场情况相同，即：在变化电磁场情况，，不能象静电场那样直接引入标量势函数。机动目录上页下页返回结束（2）标势的引入引入标量势函数二．规范变换和规范不变性机动目录上页下页返回结束同静电场相同，这里引入的失势和标势也不唯一，但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一定的关系。1．矢势和标势的不唯一性l

规范：给定一组称为一种规范；2．规范变换l

两种规范间变换关系：l

规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。机动目录上页下页返回结束证明：由于和，和不能改变电场和磁场强度，所以l

规范不变性：在规范变换下物理规律满足的动力学方程保持不变的性质（在微观世界是一条物理学基本原理）。l

规范场：具有规范不变性的场称为规范场。要使势函数减少任意性，必须给出，它的值被称为规范的条件。值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。机动目录上页下页返回结束l

库仑规范规范条件：3．两种规范在库仑规范下，为横场，纵场。因此，电场的横场部分完全由决定，而纵场部分完全由决定。在这种情况下，由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。机动目录上页下页返回结束库仑规范下满足的方程：l

洛仑兹规范规范条件：后面将看到洛仑兹规范下，所满足的方程具有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。洛仑兹规范下满足的方程：证明：证明：证明：将，代入麦克斯韦方程：并利用：得到达朗贝尔方程（详细证明过程由学生自己补齐）。机动目录上页下页返回结束三．达朗贝尔方程1．真空中的达朗贝尔方程可见满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的在时刻的值由电荷在时刻的分布给出，不能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。机动目录上页下页返回结束2．库仑规范下的达朗贝尔方程3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的及均为波动形式，反映了电磁场的波动性。机动目录上页下页返回结束l

反映了电磁场的波动性l

两个方程具有高度的对称性且相互独立求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。作业：1、4、5第五章第二节推迟势§5.2推迟势

标势方程中为已知。若较复杂，直接得到一般解比较困难。本节先从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。

本节讨论空间存在电荷和电流分布情况下达朗贝尔方程的解。一.标势和矢势的达朗伯方程的解机动目录上页下页返回结束

设点电荷处于原点，，考虑对称性取球坐标且与无关。标势的达朗贝尔方程化为：当时，机动目录上页下页返回结束1.点电荷在空间激发的标势＊令机动目录上页下页返回结束代表向外传播的球面波代表向内收敛的球面波

这个类似于一维波动方程的解可以表示为：与点电荷电势类比有：由于讨论辐射问题若点电荷不在原点而在空间点：可以证明上述解的形式满足＊式机动目录上页下页返回结束2.连续电荷分布在空间产生的电势3.矢势的解

由于满足的方程形式上与满足的方程一样，类比得到的解：二.证明、满足洛仑兹条件证：令机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束0电荷守恒定律1．推迟势

势函数在空间点，时刻的值依赖于时刻的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了。具有这样特性的势称为推迟势。空间点，时刻的电磁场由时刻的电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用在经历了时间后才到达观察点，即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在真空中为C。

机动目录上页下页返回结束三．推迟势及其物理意义2．电磁相互作用需要时间第五章第三节电偶极辐射§5.3

电偶极辐射l

本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动，且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。l

电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。机动目录上页下页返回结束将此式代入推迟势的公式后得到（）令，则：一.计算辐射场的一般公式上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一般公式。与稳恒电流磁场相比这里附加了一个因子，称为推迟相因子。机动目录上页下页返回结束设电荷电流分布：随时间正弦或余弦变化同样可以得到：根据洛仑兹条件可以得到矢势与标势的关系：因此只要求出矢势即可得到标势此情况下电磁场也是时谐电磁场：机动目录上页下页返回结束（在的区域成立）1．在小电荷、电流区域的级数展开设场点到小区域电荷、电流中某点的距离（小区域的线度），则有（为坐标原点到场点的距离）。将在点展开：二．矢势的展开其中为方向单位矢量。因为，所以仅取前两项而舍去高次项得到。机动目录上页下页返回结束2．求解的公式因为，所以分母中的可以舍去。但是要注意，相因子中的不能轻易舍去。原因：相对不一定是小量。机动目录上页下页返回结束利用得到：机动目录上页下页返回结束当时条件下辐射场的近似公式近似公式可以仅取积分中的第一项，有：偶极辐射公式机动目录上页下页返回结束在满足，的前提下，按与3．与的关系的关系还可分为三种情况：（1）（近区）传播时间这一区域内变化电磁场与静场性质类似。（3）（远区，即辐射区）电磁波在脱离了场源后的传播区域，也是本课程主要讨论的内容。（2）（感应区）过度区，电磁场的行为很复杂，一般不详细研究这一区域。机动目录上页下页返回结束1．用表示偶极辐射矢势三．偶极辐射2．偶极辐射的电场强度和磁感应强度用到考虑远区条件，，即，所以有：机动目录上页下页返回结束在条件下偶极辐射的磁感应强度为：机动目录上页下页返回结束选球坐标，让沿轴，则：利用讨论：（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；（2）电场、磁场正比于，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波（TEM波），在时可以近似为平面波；（3）注意如果（）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TM波）机动目录上页下页返回结束四．辐射能流、角分布和辐射功率

机动目录上页下页返回结束作业：必做：1，3，4，5

选做：10，11

平均功率：与电磁波的频率4次方成正比。平均能流密度矢量：角分布第五章第七节电磁场的动量§5.7电磁场的动量

电磁场与带电物质之间存在相互作用，带电物质在受到电磁场作用时动量会发生变化。由于动量守恒，电磁场必然也具有动量。1.带电物体受到的电磁力洛仑兹力密度一．电磁场的动量密度和动量流密度矢量

带电物体受到力机动目录上页下页返回结束用代表带电物体的动量，根据牛顿第二定律有机动目录上页下页返回结束2.电磁场的动量守恒定律

若对有限区域V，考虑电磁场通过界面发生动量转移，则单位时间流入界面的动量等于区域内总动量的变化率。即单位时间流入V内的动量全空间动量守恒要求电磁场动量3.

用场量表示洛仑兹力公式机动目录上页下页返回结束考虑均匀介质同理机动目录上页下页返回结束4.

动量密度与动量流密度张量令：动量密度单位时间流出V的动量流电磁场的动量流密度张量即单位时间通过V的界面上单