第8章 系统评价

第六章系统评价6.1系统评价概述6.2系统评价的步骤及构成6.3系统评价的理论和方法6.4关联矩阵表6.5可能满意度法6.6层次分析法6.7模糊评价方法6.8费用-效益分析6.1系统评价概述系统的评价在系统工程中是一个非常重要的问题。解决实际问题时，往往根据系统工程的方法开发出多个系统解决方案，到底采用那个方案，那个方案最优，就需要对系统进行评价。系统评价：全面评价系统的价值评价价值二、价值一杯水和一颗钻石哪个更有价值？对同一具体问题，评定的价值也可能不同。价值：哲学：评价主体对某个评价对象的认识和估计。经济学：根据评价主体的效用观点对于评价对象能满足某种需求的认识或估计。就某一具体评价问题来说，由于评价主体所处的立场、观点、环境、目的等不同，对价值评定也就有所不同。即使对同一评价主体来讲，同一评价对象的价值也会随着时间的推移有可能发生变化,因而，形成了个人的价值。由于人类社会过着群体生活，从而有机会经常交流对事物的认识，在价值观念上又会表现出某种程度的共同性和客观性，从而形成社会价值观。

如何把个人的价值的价值观和社会价值观合理地统一和协调起来，这就是系统评价的重要任务。

三、评价尺度评价的基本过程是首先引进和确定评价尺度（标准），然后，通过评价尺度，对评价对象进行测定，并确定其价值。绝对尺度：规定其原点尺度不变间隔尺度：只测得数值差才有意义顺序尺度：用数字或反映顺序的字符来表示名义尺度：仅仅是为了识别或分类需要而用数字和对象相对应四方案的初选：保留非劣解我们把各种可行的方案都成为一个可行解。首先从中区分出劣解与非劣解，淘汰劣解，保留非劣解，然后再用其它方法进一步评选。所谓劣解，是指这样一种可行解：它的各项指标不优于且至少有一项指标劣于另一个可行解。方案F1F2F3性质

A587非劣解

B492非劣解

C487劣解

D3106非劣解

E298非劣解最优解当然要在非劣解中去找五、系统评价的任务

从评价主体所给定的、可能是模糊的评价尺度出发，进行首尾一贯的、无矛盾的价值测定，以获得对多数人来说均可接受的评价结果，为正确决策提供所需信息。评价是为了决策，而决策需要评价，评价过程也是决策过程。6.2系统评价的步骤及构成2.2系统评价的步骤及构成一、评价系统分析在进行系统评价前，有必要对评价系统进行分析。

1.评价的目的

2.评价系统范围的界定

3.评价的立场

4.评价的时期

5.评价系统环境的分析

1.评价的目的：使评价系统达到最优：用定量化方法评价系统各种替代方法的价值对决策的支持决定行为的说明问题的分析：评价的过程往往是问题分析的过程2.评价系统范围的界定系统边界范围的确定：评价对象涉及到哪些领域和那些部门等，在评价中应充分考虑所有这些部门领域的意义并吸收各方人员参加评价评价系统的范围不应过小，以免忽略重要影响部门而有失系统性；同时也不应过大，避免使评价问题过分复杂化3.评价的立场在系统评价中必须明确评价主体的立场，即明确评价主体是使用者、开发者抑或第三者等，这对于以后评价方案的确定、评价项目的选择都有直接的关系。3.评价的立场评价主体评价项目铁路乘客快速性、准时性、低廉性、舒适性铁路建设部门投资费用、制造费用、经营费用及收益铁路沿线居民环境污染程度、噪声的大小地区社会企业合理选点、沿线销售量的增加程度国家经济发展平衡与否、费用负担的地区差距调整4.评价的时期初期评价：在制定新产品开发方案时的评价期中评价：在产品开发过程中的评价终期评价：新产品开发成功并经鉴定合格的评价跟踪评价：为了考察新产品在社会上的效果，在其投产后的若干年内，每隔一定时间对其进行评价评价系统环境的分析技术的、经济的（经营管理）、社会的（人及集团）影响二、评价指标的选择和评价目的密切相关构成一个完整的体系指标总数应尽可能少四.评价函数的确定评价函数是使评价定量化的一种数学模型，不同问题使用的评价函数可能不同，相同问题也可以使用不同的评价函数。对选用什么样的评价函数也必须做出评价。五评价值的计算评价函数确定后，计算评价值。计算评价值之前，还需要确定各评价项目的权重值。六、综合评价以新产品为例，一个完整的综合评价体系：经营管理方面技术方面市场方面时间方面经济方面体制方面社会方面6.3系统评价的理论和方法以数理为基础的理论，以数学理论和解析方法对评价系统进行严密的定量描述和计算。以统计为主的理论。重现决策支持的方法。如：计算机系统仿真技术。一、评价理论1、效用理论

最早提出评价问题的是冯.纽曼的效用理论。所谓效用可以理解为当某个评价主体在许多替代方案中选用某一个时，总要把该方案说得很好很重要，也就是说该方案的效用最大。所以只能通过效用来对各替代方案进行相对比较。即效用只意味着选择顺序，没有标准也不是数量。效用尺度是一种顺序尺度。X午睡Y打球Z看电影在测量效用时，一定要与其他方案进行对比，只有一个方案是无法进行评价的。两个方案可以具有相同的效用。效用函数效用函数的值只代表顺序尺度，值大小本身没有意义。效用曲线图U(X4)替代方案U(X)U(X3)U(X2)U(X1)U(X5)X1X2X3X4X52、确定性理论：主要用统计的方法使评价数量化3、不确定理论：多数情况时发生在含有不确定性因素的决策问题中。如果掌握概率的话，可以使用期望值作为评价函数4、非精确理论：模糊性评价5、最优化理论：线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划等运筹理论二、评价方法1.关联矩阵法2.可能-满意度法3.层次分析法4.模糊评价法5.费用---效益分析6.4关联矩阵表关联矩阵法是常用的系统综合评价法，它主要是用矩阵形式来表示每个替代方案有关评价指标及其重要度与方案关于具体指标的价值评定量之间的关系。：评价对象（可替代且非劣的方案）：评价指标（准则、项目）：评价指标权重，：第i个替代方案对第j个评价指标的价值评定量6.4关联矩阵表………………………………………………………………………6.4关联矩阵表6.4关联矩阵表应用关联矩阵法的关键，在于确定个评价指标的相对重要度（即权重wj）以及根据评价主体给定的评价指标的评价尺度，确定方案关于评价指标的价值评定量（vij）。逐对比较法利用多元评价指标对替代方案进行综合评价,最简便的方法就是逐对比较法,逐对比较法就是利用所有评价指标对替代方案按照一定的基准进行评分,再利用加权的方法对替代方案的各种评价指标的评价值进行综合的评价方法.假定,综合评价某市为减少交通事故制定的三种措施,评价指标有5个:死亡者的减少,负伤者的减少,经济损失的减少,外观,以及实施的费用.评级指标判定得分权值12345678910死亡者的减少111140.4负伤者的减少011130.3经济损失的减少001010.1外观000000.0实施费用001120.2合计1111111111101.0逐对比较法死亡者的减少(人)负伤者的减少(人)经济损失的减少(百万)外观实施费用(百万)A1防事故栅栏51010差20A2人行道61515很好100A3交通信号385一般5方案的效果逐对比较法各评价指标得分基准得分54321死亡者的减少(人)8以上6～74～52～30～1负伤者的减少(人)30以上20～2915～1910～140～9经济损失的减少(百万)30以上20～2915～1910～140～9外观很好好一般差很差实施费用(百万)0～2021～4041～6061～8081以上A1：v1=0.4*3+0.3*2+0.1*2+0.2*5=3A2：v2=0.4*4+0.3*3+0.1*3+0.2*1=3A3：v3=0.4*2+0.3*1+0.1*1+0.2*5=2.2逐对比较法例：某企业为生成某紧俏产品，制定了三个生产方案，它们是：A1：自行设计一条新的生产线；A2：从国外引进一条自动化程度较高的生产线；A3：在原有设备的基础上改装一条生产线。通过权威部门及专业人士讨论决定评价指标为五项，分别是：1）期望利润；2）产品成品率；3）市场占有率；4）投资费用；5）产品外观。根据专业人士的预测和估计，实施这三种方案后关于五个评价项目的结果如表：如何评价这三个方案？方案预期结果例表

评价指标Xj替代方案Ai期望利润(万元)产品成品率（%）市场占有率（%）投资费用（万元）产品外观自行设计（A1）6509530110美观国外引进（A2）7309735180比较美观改建（A3）520922550美观逐对比较法例表

(得出各指标权重)评价指标得分序号累计得分权重12345678910期望利润(X1)1111

40.4产品成品率(X2)0

111

30.3市场占有率(X3)

0

0

01

10.1投资费用(X4)

0

0

1

120.2产品外观(X5)

0

0

0000.01、逐对比较法评价尺度例表

(对各指标的评价)评价尺度(得分)评价指标54321期望利润(万元)800以上701-800601-700501-600500以下产品成品率（%）97以上96-9791-9586-9085以下市场占有率（%）40以上35-3930-3425-2925以下投资费用（万元）20以下21-8081-120121-160160以上产品外观非常美观美观比较美观一般不美观关联矩阵表（逐对比较法）

期望利润产品成品率市场占有率投资费用产品外观Vi0.40.30.10.20.0自行设计(A1)333343.0国外引进(A2)444133.4改建(A3)232442.7VijAiXj结论是:国外引进步骤：决定评价指标的权重把指标以任意顺序排列起来从下至上对相邻的指标进行评价，以下面的指标为基准，在数量上进行重要度的判定(ri)把ki列中最下面一个值设为1，进行基准化把ki归一化，即为权重wij用各个指标对方案进行评价综合评价的得分：KLEE法评价指标的重要度得分rikiwij死亡者的减少390.62负伤者的减少330.21经济损失的减少210.07外观0.50.50.03实施费用/10.01小计1.00KLEE法评价指标方案rikisij死亡者的减少设防事故栅栏0.81.600.35设人行道2.02.000.43设交通信号1.000.22合计4.601.00负伤者的减少设防事故栅栏0.671.260.30设人行道1.881.880.46设交通信号1.000.24合计4.141.00经济损失的减少设防事故栅栏0.672.000.33设人行道3.003.000.50设交通信号1.000.17合计6.001.00……………按指标对方案的评价KLEE法综合评价的得分KLEE法评价指标权重wj设防事故栅栏s1j设人行道s2j设交通信号s3j死亡者的减少0.620.350.430.22负伤者的减少0.210.300.460.24经济损失的减少0.070.330.500.17外观0.030.200.500.30实施费用0.070.190.040.77综合得分vi0.32240.41600.2616古林(Klee)法求例表340.5序号评价指标RjKj1期望利润180.5802产品成品率60.1943市场占有率20.0654投资费用40.1295产品外观—10.032合计311.0003Rj

Kj

Wj

基准化

归一化避免不重要的指标权重为零.古林法求vij例表序号（j）评价指标替代方案RijKijvij1期望利润A10.8901.2500.342A21.4041.4040.384A3—1.0000.2742产品成品率A10.9791.0320.334A21.0541.0540.342A3—1.0000.3243市场占有率A10.8571.2000.333A21.4001.4000.389A3—1.0000.2784投资费用A11.6360.4550.263A20.2870.2870.160A3—1.0000.5775产品外观A11.3331.0000.364A20.7500.7500.272A3—1.0000.364注：1、计算费用时，比例用倒数；2、产品外观可以采用前面的打分。关联矩阵例表（古林法）VijAi期望利润产品成品率市场占有率投资费用产品外观Vi0.5800.1940.0650.1290.032A10.3420.3840.2740.3340.3420.3240.3330.3890.2780.2630.1600.5770.3640.2720.3640.3300.3340.326A2A3Xj结论仍然是:国外引进6.5可能满意度法本方法从替代方案的可能性及满意程度角度进行评价，评价指标体系中，有些指标用可能性，有些用满意程度，有些两者兼用。此方法的两个要求：定出指标可能或满意的范围，即可能度/满意度的最高与最低点。评价出具体方案在这些指标上能达到的可能度或满意度。如果一个指标肯定能够达到，也就是说它实现的可能度最大，给以定量记述：P=1。如果一项指标肯定达不到，即没有可能度，可以记为P=0。一般情况下，p在0-1之间可能度的线性变化PrABrarb1这个图像表明P与r是反比关系，但也有相反的情况P(r)=1r<=ra(r-rb)/(ra-rb)ra<r<rb0r>=rb对于满意度可以做类似推导。QSABSbSa该图像表明，Q与S的方向是一致的,也有相反的情况如果评价指标同时具有两种属性，这时采用综合表达法，即可能-满意度法。当百分百的既可能又满意时，W=1，当既不可能又不满意，W=0。但是这两种情况的中间状态是极端复杂的例6-1港址选择中的气候条件（风级、浪高）这项评价指标是指所选港址的风力、风速、港区的波浪高度等自然条件对港口而言，气候条件主要影响装卸作业，如港址终年风大、浪高，则全年可以装卸作业的天数极少，为此气候条件可以用可装卸作业的天数来衡量衡量的依据是：日本港口规范作业条件为：(1)风力小于5-7级，风速小于10-15米每秒，港内浪高0.5-1m时，全年作业时间为329-347天。（2）我国江河总平面设计规范指出：港口全年可作业天数为300-330天。金山石化总厂供油的陈山码头，处于风浪较大的杭州湾，实际全年可作业天数为330天综合上述分析，港口全年装卸作业最高天数为340天，这是可能度上限，达到这天数就是完全满意，也是满意度上限，Q=1,P=1如以每周工作3天计算，扣除法定假日7天，全年工作日为149天，为方便按150天计算。这是可能度和满意度的下限，Q=0,P=0。评价指标名称指标上下限各方案r值上限下限金山外高桥七个口气候条件（作业天数）340150300331331可能满意度100.790.950.95替代方案的可能满意度值可能-满意度法金山港评价指标的数据和计算序号直接经济效益指标单位可能满意度参数可能-满意度值下限上限指标值1投资额亿元/泊位0.31.50.6750.3132建设周期年105030.60.5153资金回收期年103021.20.5604年利及税金亿元3.002.8450.9486.6

层次分析法关联矩阵的评价指标都处在一个层面上，在管理中，人们常常需要对一些更复杂的情况作出评价：大学的评价包括教学、科研、知名度等，而每个指标下面还有多种指标，形成层级的指标体系。古林法评价方法难以进行检验。美国运筹学家，T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHP法）T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划，运输业研究，美国高等教育事业1985-2000展望，1985年世界石油价格预测等方面。这种方法的特征：定性与定量相结合，把人们的思维过程层次化，数量化。AHP法作为一种决策方法是在1982年11月召开的中美能源、资源、环境学术会议上，有Saaty学生H.Gholamnezhad首先向中国介绍的。以后层次分析法在中国得到很大的发展，很快应用到能源系统分析，城市规划，经济管理科研成果评价的许多领域。一、层次分析法的基本原理

层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。层次分析法建模一问题的提出

日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3择业

面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。

一、建立层次分析的结构模型：用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类：

1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；

2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；

3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m2…………………方案层准则层目标层

说明： 层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。 为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。

层次分析法一般分为以下五个步骤：（1）建立层次结构模型（2）构造判断矩阵（3）层次单排序及其一致性检验（4）层次总排序（5）层次总排序的一致性检验层次分析法流程：已通过未通过专家得出指标权重构造判断矩阵计算单层权重子集计算单层权重子集总层一致性检验单层一致性检验未通过已通过二层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1建立层次结构模型

一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型准则层方案层目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例2层次结构模型准则层A方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。判断矩阵及一致性检验

（一）判断矩阵

概念：设Wi表示反映第i个方案对于某个最低层目标的优越性或某层第i个目标对于上层某一目标的重要性的权重，以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵A称为判断矩阵。

判断矩阵是层次分析法的核心。

设，则判断矩阵的元素具有三条性质：

满足这三条性质的判断矩阵，称为完全一致性判断矩阵。

n阶完全一致性判断矩阵的最大特征根为其余特征根为0。判断矩阵中各元素的确定两目标相比同样重要稍微重要明显重要重要得多极端重要介于以上相邻两种情况之间两目标反过来比较135792，4，6，8以上各数的倒数（二）权重的确定方法设判断矩阵为：

为的特征根，为特征根所对应的特征向量。介绍特征向量法中的和积法：（1）将判断矩阵每一列归一化：（2）将每一列经归一化后的矩阵按行相加：（3）将向量归一化：（4）计算判断矩阵最大特征根所求得即为所求特征向量。其中表示向量的第个元素。2、求根法：1）将矩阵按行求几何平均值：2）归一化：例：投资效果好（T）风险程度（I1）资金利润率（I2）转产难易程度（I3）产品1（P1）产品2（P2）产品3（P3）判断矩阵及其分析处理举例TI1I2I3WiWioI111/320.8740.230I23152.4660.648I31/21/510.4640.122(3.804)[注]Wi的求取采用求根法（几何平均值法）

I1P1P2P3WiWioP111/31/50.4060.105P2311/31.0000.258P35312.4660.637I2P1P2P3WiWioP11272.4100.592P21/2151.3570.333P31/71/510.3060.075I3P1P2P3WiWioP111/31/70.7540.149P2311/90.3330.066P37913.9790.785四、计算合成权重，并进行排序I1I2I3ti0.2300.6480.122P10.1050.5920.1490.426P20.2580.3330.0660.283P30.6370.0750.7850.291计算方法和关联矩阵一样。注意：对于多级递阶的情况，计算的顺序是从下层向上层计算，最后得到合成权重。

（三）一致性检验一致性指标：其中，是平均一致性指标，通过查表获得。

通过计算一致性指标和检验系数进行检验。检验系数：

一般地，当CR<0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性，否则，需要重新调整判断矩阵。三层次分析法建模举例旅游问题(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。（2）构造成对比较矩阵(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵的最大特征值表明通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量

对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：计算可知通过一致性检验。对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得，对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。故最后的决策应为去桂林。又分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为1系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。六层次分析法的优点和局限性3简洁性简单基本的原理和基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：第一只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第二该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。第三从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。

多名专家的综合决策问题6.7模糊评价方法一、模糊的概念和度量日常生活中，东方人描述某人的身高常用高个子和矮个子等语言描述，虽然描述中未指明该人身高有多少厘米，但听众已大致了解该人的身高状况，并且很容易依据这些模糊的概念来找到此人。这种描述的不精确性就是模糊性。普通集合只能表现确切的概念。但现实生活中却存在着外延不分明的概念，如医学中的“发高烧”、“健康人”，气象中的“阴雨天”等概念的界限都是十分模糊的。我们称这类外延不分明的概念为模糊概念。Zadeh.A首先引入模糊集的概念，其基本思想是把普通集合中的绝对隶属关系灵活化，使元素对“集合”的隶属度从只能取{0，1}中的值扩充为可取区间[0，1]中的任一数值。为了定量刻画这些模糊的概念，我们常用隶属函数A来表示，如对身高而言表示身高180公分为高个子，175公分为高个子的程度为0.5，以此类推，显然隶属度表征了模糊性模糊描述内涵明确，外延不明确的概念，反映的是排中律的破缺；随机性是由于条件不充分而导致的结果的不确定性，它反映了因果律的破缺。所谓模糊评价法即是利用模糊数学理论对现实世界中广泛存在的那些模糊的、不确定的事物进行定量化，从而作出相对客观的、正确的、符合实际的评价，进而解决具有模糊性的实际问题。2模糊集的概念定义：为定量刻划这些模糊性，定义了论域U上的一个模糊子集A，：对于，都指定了一个数，叫做u对A的隶属程度。映射叫做的A隶属函数。例：某班一组有5个同学，即设论域U={}，现分别对每个同学的“性格稳重程度”按百分制打分，再除以100。实际上就是给定一个从论域U到[0，1]闭区间的映射，设为

这样就确定了一个模糊子集A，它表示出这个小组的同学对“性格稳重”这个模糊概念的符合程度。如果论域U是有限集合时，可以用向量来表示模糊子集，对于上例可以写成：A=(0.85,0.75,0.98,0.30,0.60)对于一般的模糊子集表示论域中有n个元素，其中是论域U中第i个元素对模糊子集的隶属度。另外，也可以采用记号将上例写成：所以，模糊子集A，按记法，可表示为

3模糊关系——模糊矩阵R普通关系只能描述两元素有无某种关系R如兄弟、父子关系等。但现实存在着大量更为复杂的关系，不是简单地有或无，而是不同程度的存在着，即模糊关系，模糊关系对应的模糊矩阵R。如用打分法表示四种物品：苹果、乒乓球、书、篮球的相似程度，完全相似为“1”，完成不相似为“0”，其余按相似程度在[0，1]中给出一个数u,这样，就得到一个模糊关系R，所得到的模糊矩阵为：X1X2X3X4X1

X2

X3

X4R0.700.70.7100.900100.70.901模糊关系：模糊矩阵：例：X＝

{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁}Y＝{很好，较好，一般，不好}

根据Y，对X进行评价，形成下面的模糊关系Y1Y2Y3Y4X1

X2

X3

X4R0.40.50.100.60.30.100.10.20.60.10.10.20.50.2模糊关系：4模糊评价的数学模型（运算）模糊评判B=A·R=（b1,b2

，…，bn

）是将权重模糊矩阵A与单因素评判矩阵R按模糊矩阵的合成的取大、取小运算（∨，∧）来进行的。模型1M（∧，∨），即：模型2M（·，∨），即：模型3M（∧，）。运算为有上限1的求和， 即xy=min(1,x+y).在该模型下，记号为对m个数在∧运算下求和。模型4M（·，）即：各种综合评判模型，都能在各自的运算下给出一定的评判结果。模型1~3，都是在具有某种限制和取极限值的情况下寻求各自的评判结果。因此，评判结果不同程度地丢失许多有用信息，可用于仅关心事物的极限值和突出某主要因素的场合。模型4则不存在上述限制，能保留全部有用的信息，可用于需要考虑各个因素的影响和全面考虑各单因素评判结果的情况。++++二、模糊变量的运算由于模糊变量是用隶属度描述的，因此其运算应为模糊运算则R与S的并与交运算的规则与集合运算相似，并运算为两中取大，交运算为两中取小0.50.40.40.8R=0.80.50.30.7S=交并集运算及乘积运算交并集运算0.5∨0.80.3∨0.50.