专插本高等数学例题和习题ch2导数计算及应用

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本章主要知识点

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导数定义

复合函数求导,高阶导数,微分隐函数,参数方程求导导数应用

一、导数定义

函数y?f?x?在x?x0处导数定义为

f(x0?h)?f(x0)

h?0hf(x0?h)?f(x0)左导数f??(x0)?lim

h?0?hf(x0?h)?f(x0)右导数f??(x0)?lim

h?0?hf?(x0)?lim?(x0),f??(x0)有限且f??(x0)?f??(x0)导数f?(x0)存在?f?分段点求导必需应用定义。两个重要变形：

?x0)?lim1.f（x?x0f(x)?f(x0)

x?x0f(x0?mh)?f(x0?nh)?(m?n)f?(x0)

h?0hf(1?2h)?f(x0?5h)例2.1.若f?(1)??2，求lim

h?0hf(1?2h)?f(x0?5h)解：lim＝(?2?5)f?(1)?14

h?0h2.若f?(x0)存在，lim例2.2.若f?(0)?2,f(0)?0,求limx?0f(2x)1?sin(3x)?1解：limx?0f(2x)f(2x)?f(0)f(2x)?f(0)48＝lim??2lim??f?(0)??

x?03x331?sin(3x)?1x?0?1sin3x223/49

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?x2?x,x?0例2.3．f(x)??求f?(0)3?2x?x,x?0f(0?h)?f(0)h2?h?0?lim?1解：f??(0)?limh?0?h?0?hh3f(0?h)?f(0)2h?hf??(0)?lim?lim?2

h?0?h?0?hhf??(0)?f??(0)所以f'(0)不存在.

例2.4．f(x)?2|x|，求f??0?

?2x,x?0解：f(x)???x

2,x?0?hhln2f(0?h)?f(0)2?1e?1hln2f??(0)?lim?lim?lim?lim?ln2

h?0?h?0?h?0?h?0?hhhhhf(0?h)?f(0)2?1f??(0)?lim?lim??ln2

h?0?h?0?hh所以f?(0)不存在。

1?xsin?sinx2,x?0?例2.5．f(x)??求f??0?。x?0,x?0?1hsin?sinh21h解：f?(0)?lim?limsin?不存在

h?0h?0hh所以

f??0?不存在

?f(1?x)?f(1?3x),x?0?ln(1?x)??例2.6．假使f??1??2，分析函数f(x)??0,x?0在x=0处的连续性。

?f(1?x)?f(1?2x)?,x?02xe?1??

f(1?h)?f(1?2h)13?(1?(?2))f?(1)?f?(1)?3

h?02h22f(1?h)?f(1?3h)f(1?h)?f(1?3h)f(0?0)??lim?lim??4f?(1)??8

h?0h?0ln(1?h)h解：f(0?0)??lim所以f(x)在x=0处不连续。

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二、复合函数求导、高阶导数、微分

1．复合函数中的层次关系识别

正确识别复合函数构建的层次是快速确凿求导复合函数的关键。以下通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。例2.7．y?e1sin(cos)x

由外及里y分为四层：e?sin?cos?例2.8．y?lnxsin2x

1xy分为一层：?

32例2.9．y?sinsinx?tanx

??y分为三层：立方?sinx??

例2.10．y?sin(ln?2x?1?x2

?y分为四层：?sin?ln??

化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。2、复合函数的求导原则

我们将求导的所谓“链式规则〞等价转化为求导“口诀〞：“外及里；号变号；则用则；层间乘〞。例2.11．y?2xsin3x，求y?，解：y??2xsin2xln2?xsin3x??

?2xsin3xln2x?sin3x?x?sin3x??

???2xsin3xln2?sin3x?xcos3x?3??2xsin3xln2?sin3x?3xcos3x?

例2.12．y?earctan(sin2x)，求y?；

arctan(sin2x解：y??e)2cos2x

1?sin22x25/49

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例2.13．y?解：y??xesinx，求y?；

222x?esinx?x(esinx)?

22?12x2esinx?xesinxcos(x2)2x12x?2xxcosx2)

?esinx(例2.14．y?sin2(ln2x?1?x2)，求y?

解：y??2sin(ln(2x?1?x))cos(ln(2x?1?x))2212(?2x)22x?1?x22x?1?sin2ln??2x?1?x2??1?1??2x?2?2x?1?x?2x?1?分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。

?x3?x,x?0例2.15．f?x???3，求f??x?

??x?x,x?0?3x2?1,x?0解：f??x???2??3x?1,x?0f?h??f?0?h3?hf???0??lim?lim?1?h?0?h?0hhf?h??f?0??h3?hf???0??lim?lim?1?h?0?h?0hhf?(0)?1，

?3x2?1,x?0?1,x?0综合得，f??x???。??3x2?1,x?0?例2.16.f?x??2x?a，求f??x?

?2x?a,x?a?解：f(x)??1,x?a

?2a?x,x?a?x?a??2ln2,x?af?(x)??a?x

???2ln2,x?ahf?a?h??f?a?2?1f???a??lim?lim?ln2，?h?0?h?0hh26/49

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?hf?a?h??f?a?2?1f???a??lim?lim??ln2

h?0?h?0?hh所以f??a?不存在。

1?2xsin?sinx,x?0?例2.17.已知f?x???，x?x?0?0（1）求f??x?；（2）研究f??x?在x?0处的连续性。解：（1）f??x??2xsin11?1?x2cos?2?cosx，xxxf??x??2xsin11?cos?cosxxx?x?0?

12hsin?sinhf?h??f?0?1hf??0??lim?lim?1?limhsin?1。

h?0h?0h?0hhh11（2）limf??x??lim2xsin?limcos?1

x?0x?0xx?0x1limf??x??1?limcos，不存在，x?0x?0x故f??x?在x?0处不连续，且为II类休止。

3.高阶导数与微分

（1）高阶导数