2024北京首师大附中初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京首都师大附中初二（下）期中数学一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列函数中是一次函数关系的是（）A． B．y＝x2﹣1 C． D．y＝2x﹣12．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（）A．12 B．6 C． D．4．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B=42°，DE平分∠ADC，则∠DEC的度数为（）A．14° B．18° C．21° D．22°5．（3分）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A（2，m），B（4，n），则m与n的大小关系为（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法判断6．（3分）已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=3，∠ACB=30°，延长DC至点E，使得CE=DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为（）

A．1 B． C．2 D．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P（，a），在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是（）

A．2＜a＜4 B．1＜a＜3 C．1＜a＜2 D．0＜a＜28．（3分）如图，E，F，G，H分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点（不与顶点重合），且满足AE=DH=CG=BF，记AF=x,则下列四个变量中，不存在最小值的是（）A．BF B．FE C．FH D．S四边形EFGH二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）函数，自变量x的取值范围是．10．（2分）直线y＝﹣3x向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为．11．（2分）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件可使菱形ABCD成为正方形．12．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连接EC，若AB=8，BC=14，则FG的长为．13．（2分）对于一次函数y＝kx+b，下表中给出3组自变量和相应的函数值．x﹣1a1y40k则a+k的值为．14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，3），，（4，0），BD∥x轴，则点D的坐标为．15．（2分）直线y＝kx+b与y＝mx在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组﹣1＜kx+b＜mx的解集为．16．（2分）2024年3月14日森林学校举行了以π为主题的数学节，小兔和小龟进行了新型的“龟兔赛跑”比赛，它们在校园的π型跑道（图1）进行赛跑，小兔以A为起点，沿着A-E-D的线路到达终点D，小龟以B为起点，沿着B-E-C的线路到达终点C．小龟提前出发，小兔和小龟在经过线路中的大树E时都休息了2分钟，再以原速度继续比赛，最终小兔和小龟同时到达各自的终点．设小兔所跑的时间为x分钟（0≤x≤14），小龟所跑的路程S1与小兔所跑的路程S2差为y米，y＝S1﹣S2，图2是y与x的函数关系图象，则下列说法正确的是（填写正确的序号）．①小龟跑了500米后小兔出发；②当x＝8时，小龟到达大树E开始休息；③小兔的速度为100米/分钟，大树E距离小兔的起点A800米．三、解答题（本题共10小题，共60分，第17题10分，18-23每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）17．（10分）计算：（1）；（2）．18．（5分）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF．求证：AF=EC．

19．（5分）已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣3的值．20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝﹣2x+2．（1）完成下列表格：x0y0（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围是．21．（5分）已知：在△AOD中，∠AOD=90°．

求作：菱形ABCD．

作法：

①延长AO，以点O为圆心，OA长为半径作弧，与AO的延长线交于点C；

②延长DO，以点O为圆心，OD长为半径作弧，与DO的延长线交于点B；

③连接AB，BC，CD．

所以四边形ABCD即为所求作的菱形．

（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AO＝，DO＝，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠AOD＝90°，∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．（）（填推理的依据）．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（4，3），N（-3，2），P（-2，-2）．

（1）若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；

（2）当时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能经过的点是．23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE、CE相交于点E．

（1）求证：四边形CEBD是菱形；

（2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长．

24．（6分）如图是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…﹣202…8…输出y…﹣2﹣10…﹣1…根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x的值为6时，此时输出的y的值为；（2）当输出的y的值满足-2≤y＜-1时，求输入的x的值的取值范围；

（3）若输入x的值分别为m,m+3，对应输出y的值分别为y1，y2，是否存在实数m,使得y1＞y2恒成立？若存在，请直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由．​25．（7分）已知正方形ABCD中，点E是射线BC上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交直线CD于点M，交直线AB于点N，交AE于点F．

（1）如图1，当点E在正方形的边BC上时，

①依题意补全图形；

②求证：MN=AE；

（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，连接BD并延长交NM的延长线于点P，连接PE．

①直接写出∠PEA的度数为；②用等式表示线段PF，PM，FN之间的数量关系26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，若在坐标系中存在一点P使得四边形OMPN为菱形，则称线段MN为点O的“关联线段”．

（1）已知点M（1，3），则下列点N中，可以使得MN成为点O的“关联线段”的是；①（﹣3，1）②（2，2）③（2）已知点O的“关联线段”MN过点（1，1），且OM=2，求出线段OP的最大值；

（3）已知点M（-3，0），若存在点O的“关联线段”MN与直线y=kx-6k有交点，直接写出k的取值范围为．

参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．【答案】D【解答】解：A．函数y＝﹣，不是一次函数；B．函数y＝x2﹣7是二次函数，不是一次函数；C．函数y＝，故本选项不符合题意；D．函数y＝2x﹣1是一次函数．故选：D．2．【答案】A【解答】解：A：，故此选项符合题意；B：，故此选项不符合题意；C：，故此选项不符合题意；D：，不能进行计算．故选：A．3．【答案】B【解答】解：在△ABC中，三边长分别为3，4，5，∵32+22＝57，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×3×4＝6．故选：B．4．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝42°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝ADC＝，∴∠DEC＝21°，故选：C．5．【答案】A【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小．又∵4＜4，∴m＞n．故选：A．6．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD＝AC，∴OD＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠OCD＝60°，∴△CDO是等边三角形，∴OC＝CD＝CE＝AB＝3，∵∠OCE＝∠OCF+∠ECF＝120°，∴∠COE＝∠E＝30°，∵∠BOC＝180°﹣∠DOC＝120°，∴∠BOF＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴OF＝BF，∵∠COF＝∠OCF，∴OF＝CF＝BF，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，∴BC＝＝3，∴CF＝＝，故选：B．7．【答案】B【解答】解：当P在直线y＝2x+2上时，a＝7×（﹣，当P在直线y＝8x+4上时，a＝2×（﹣，则1＜a＜4，故选：B．8．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝DH＝CG＝BF，∴DE＝AF＝BG＝CH，∴△AEF≌△BFG（SAS），同理可得：△BFG≌△CGH（SAS），△CGH≌△DHE（SAS），∴EF＝FG＝GH＝EH，∠AFE＝∠FGB，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BFG+∠BGF＝90°，∴∠AFE+∠BFG＝90°，∴∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∴FH＝EF，S四边形EFGH＝EF2，∵EF4＝AE2+AF2＝AE2+（4﹣AE）2＝7（AE﹣2）2+4，∴当x＝2时，EF有最小值，S四边形EFGH有最小值，∴HF有最小值，故选：A．二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）9．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥8．故答案为：x≥3．10．【答案】y＝﹣3x+2．【解答】解：直线y＝﹣3x向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为：y＝﹣2x+2．故答案为：y＝﹣3x+5．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝14﹣8＝6，∴CE＝＝＝10，∵F是BE的中点，G是BC的中点，∴FG是△BCE的中位线，∴FG＝CE＝，故答案为：5．13．【答案】﹣4．【解答】解：把x＝1，y＝k代入得，k＝k+b解得b＝0，∴y＝kx，把x＝﹣8，y＝4代入得y＝kx，4＝﹣k，∴k＝﹣3，把x＝a，y＝0代入得y＝kx，∴0＝ak，∴a＝3，∴a+k＝﹣4，故答案为：﹣4．14．【答案】（4.5，1.5）．【解答】解：作DE⊥x轴于E，由矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，，（3，BD∥x轴，得△ABF≌△DCE（AAS），得CE＝FB＝0.5，DE＝AF＝2﹣1.5＝3.5，得D（4+2.5，0+8.5），1.3）．故答案为：（4.5，5.5）．15．【答案】0＜x＜2．【解答】解：从图象可知：两函数的交点坐标是（2，1），﹣5），所以不等式组﹣1＜kx+b＜mx的解集是0＜x＜7．故答案为：0＜x＜2．16．【答案】①③．【解答】解：①当x＝0时，y＝500．∵小龟所跑的路程S1与小兔所跑的路程S3差为y米，y＝S1﹣S2，∴小龟跑了500米后小兔出发．故①正确；②点M的坐标为（3，﹣60），乌龟与兔子的路程差为﹣80．但是第10分钟时，那么在点M处．故②错误；③第8分到第10分钟，只有乌龟在比赛；第10分钟时．兔子也到了大树下，那么第10到第12分钟，并且在点N（12．∴兔子的速度＝＝100（米/分）．∴兔子的总路程＝100×（12﹣2）＝1000（米）．∴大树E距离小兔的起点A800米．故③正确．故答案为：①③．三、解答题（本题共10小题，共60分，第17题10分，18-23每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）17．【答案】（1）；（2）0．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝5+1﹣3＝8．18．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∵BE＝DF∴AE＝CF∵AB∥CD∴四边形CEAF是平行四边形∴AF＝EC．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x＝﹣1，∴x4+2x﹣3＝（x﹣5）（x+3）＝（﹣5﹣1）（＝（﹣2）（＝2﹣4＝1．20．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）x＜1．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+2，∴当x＝3时，y＝2，x＝1；x81y27（2）由（1）中的表格，可以画出该函数的图象；（3）由图象可得，当y＞0时，x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜7．21．【答案】（1）作图见解析部分；（2）OC，OB，对角线垂直的平行四边形是菱形．【解答】（1）解：如图，菱形ABCD即为所求；（2）证明：∵AO＝OC，DO＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠AOD＝90°，∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．故答案为：OC，OB．22．【答案】（1）b的最大值为8；（2）N．【解答】解：（1）∵一次函数的比例系数为2，2＞6，∴一次函数一定经过第一、三象限．∵求b的最大值，∴图象还应该经过第二象限的点N（﹣3，2）．∴3×（﹣3）+b＝2．b＝3．答：b的最大值为8；（2）当k＝时，图象经过（﹣4∵图象必过点（0，5），∴直线y＝kx+6运动的区域为过点（﹣4，0），6）的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）．∴直线y＝kx+1不可能经过的点是N．故答案为：N．23．【答案】（1）见解析；（2）DG的长为．【解答】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝，∴四边形CEBD是菱形；（2）解：∵AB＝10，∴CD＝，∵DF⊥CE，∴∠DFC＝90°，∵CF＝2，∴DF＝＝7，∵四边形CEBD是菱形，∴CE＝CD＝5，∠DCG＝∠ECG，∴EF＝CE﹣CF＝2，在△DCG与△ECG中，，∴△DCG≌△ECG（SAS），∴DG＝GE，∵FG4+EF2＝EG2，∴（4﹣DG）2+23＝DG2，∴DG＝，故DG的长为．24．【答案】（1）0；（2）﹣2≤x＜0；（3）当m＞时，y1＞y2恒成立．【解答】解：（1）x＝6＞4，将x＝7代入y＝﹣x+7，得，y＝﹣，故答案为：7；（2）观察表格得，当输出的y的值满足﹣2≤y＜﹣1时；（3）x＝﹣4＜4，x＝0＜5，将x＝﹣2、y＝﹣2、y＝﹣7代入y＝kx+b，得，，解得：k＝，b＝﹣3，∴y＝x﹣2，y＝x﹣7（x＜4）x+3（x≥4）图象如图所示，，∵y6＞y2恒成立，∴当m≥4时，y＝﹣，y1＞y8恒成立，当m＜4，m+3≥3时，y1＞y2恒成立，即m﹣1＞﹣，解得：m＞，综上，当m＞时，y5＞y2恒成立．25．【答案】（1）①补全图形见解答过程；②证明见解答过程；（2）①45°；②FN＝PF+PM，证明见解答过程．【解答】（1）①解：补全图形如下：②证明：过N作NH⊥CD于H，∴∠NHM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，∴∠CHN＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCHN是矩形，∴NH＝BC，∠ANH＝BNH＝90°，∴NH＝AB，∵NM⊥AE，∴∠AFN＝90°，∴∠BAE+∠ANF＝∠ANF+∠HNM＝90°，∴∠BAE＝∠HNM，在△ABE和△NHM中，，∴△ABE≌△NHM（ASA），∴AE＝MN；（2）解：①过P作PT⊥AB交BA延长线于T，过E作EK⊥PT于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∴△BPT是等腰直角三角形，∴BT＝PT，∵∠TBE＝∠BTK＝∠TKE＝90°，∴四边形BEKT是矩形，∴BT＝EK，∠K＝90°，∴PT＝EK，∵PF是AE的垂直平分线，∴AP＝EP，∴Rt△APT≌Rt△PEK（HL），∴∠APT＝∠PEK，∵∠PEK+∠EPK＝90°，∴∠APT+∠EPK＝90°，∴∠APE＝90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴∠AEP