2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第二章 章末复习课 学案

一、圆锥曲线的定义及标准方程1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案x2－eq\f(y2,3)＝1解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝2，,\f(c,a)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝2，))则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．解方法一由eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，所以曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.方法二设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0,0)，由eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，得x0＝x，y0＝2y，因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，(*)把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，所以曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.反思感悟(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．跟踪训练1(1)一动圆P过定点M(－4,0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,12)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1答案C解析已知圆N的圆心N(4,0)，半径为4，设动圆P的半径为r，则|PM|＝r.当两圆外切时，有|PN|＝r＋4，所以|PM|－|PN|＝－4，当两圆内切时，有|PN|＝r－4，所以|PM|－|PN|＝4，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PM|－|PN|))＝4，所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，且2a＝4,2c＝8,所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，所以动圆圆心P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.(2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．解抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作准线x＝－2的垂线，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为eq\f(9,8)，即点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，3)).二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2(1)如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)答案D解析由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2eq\r(3).因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2eq\r(2)，因此对于双曲线有a＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，所以C2的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2).(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为________________．答案x±eq\r(2)y＝0解析设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝eq\f(\r(a2－b2),a)，e2＝eq\f(\r(a2＋b2),a).因为e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(\r(a4－b4),a2)＝eq\f(\r(3),2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))4＝eq\f(1,4)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2).故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x，即x±eq\r(2)y＝0.反思感悟求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq\f(c,a)，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练2(1)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是eq\r(3)c2，则此椭圆的离心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)答案A解析由eq\f(1,2)ab＝eq\r(3)c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).(2)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y答案D解析由e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝4得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，即eq\r(3)x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al