冀教版八年级数学下册 （矩形）课件教学(第2课时)

第二十二章四边形22.4矩形第2课时

1课堂讲解由直角的个数判定矩形由对角线的关系判定矩形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升知识回顾四边形平行四边形两组对边平行一个角是直角∟矩形平行四边形□矩形四边形木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？你现在有方法帮他吗？探究新知测量…？1知识点由直角的个数判定矩形分析矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。由定义识别：∵□ABCD，∠A=90°.∴□ABCD是矩形.知1－导①②ABCD根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形．如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗?有几个角是直角的四边形是矩形呢?性质：矩形的四个角都是直角四个角是直角的四边形是矩形知1－导条件结论条件结论李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形你能证明上述结论吗？已知：如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.

求证：四边形ABCD是矩形．知1－导BCAD知1－导证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.

∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.

∵∠A=90°，∴□ABCD是矩形.比较上面两种说法，你认为选择哪种说法作为矩形的判定定理更为简洁?于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形.归纳知1－导有三个角是直角的四边形是矩形.符号表达式：∵∠A=∠B=∠C=90°，

∴四边形ABCD是矩形.（来自教材）ABCD知1－讲（来自《点拨》）例1如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于

点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.要证明四边形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．导引：知1－讲（来自《点拨》）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠BCD

＝×180°＝90°，∴∠BGC＝90°.同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.∴四边形EFGH是矩形．证明：总

结知1－讲（来自《点拨》）

本题目中的图形是建立在四边形基础上，而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来判定矩形．知1－练已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形AEDB为平行四边形.求证：四边形AECD是矩形.1（来自《教材》）在▱AEDB中，AE＝BD，AE∥BD，AB＝DE，∵D为BC的中点，∴BD＝DC，∴AE＝CD，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．在△ABC中，AB＝AC，∴AC＝DE，∴四边形AECD是矩形．解：知1－练已知矩形的对角线长为10cm，求顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长.2（来自《教材》）如图所示．在矩形ABCD中，AC，BD的长都为10cm.点E，H分别是AD，CD的中点，则EH＝AC＝5cm.同理：FE，FG，GH的长均为5cm.所以所得到的四边形的周长为5＋5＋5＋5＝20(cm)．解：知1－练（来自《典中点》）下列命题中，假命题是(

)A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形

是矩形B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形

是矩形C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形

是矩形D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形

是矩形3C知1－练（来自《典中点》）下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③两边及一角对应相等的两个三角形全等；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个4A知1－练（来自《典中点》）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(

)A．AB∥DC

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．AB＝DC5C知1－练（来自《典中点》）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为(

)A．2B．2.2C．2.4D．2.56C2知识点由对角线的关系判定矩形知2－导

我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？思考知2－导已知：在▱ABCD，AC=BD.求证：▱ABCD是矩形.证明：∵在▱ABCD中，AB=DC，BC=CB，且AC=DB.∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠ABC=∠DCB.∵AB//CD，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是矩形.ABCD归纳知2－导

可以发现并证明矩形的一个判定定理：

对角线相等的平行四边形是矩形.警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个

四边形必须是平行四边形才可以.知2－讲例2已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H

分别

为OA，OB，OC，OD的中点.

求证：四边形EFGH是矩形.（来自《点拨》）知2－讲∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.且OA=OC，OB=OD.∴OA=OC=OB=OD.又∵E，F，G，H

分别为OA，OB，OC，OD

的中点，∴OE=OG=OF=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF，∴四边形EFGH是矩形.（来自《点拨》）证明：总

结知2－讲

证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一是证明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等．（来自《点拨》）知2－练（来自教材）解：

(1)(2)(3)错误，(4)正确．指出下列说法是否正确.(1)有一个角为直角的四边形是矩形.(2)两条对角线相等的四边形是矩形.(3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形.(4)四个角皆为直角的四边形是矩形.1知2－练（来自教材）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的夹角为60°，AC+AB=12.求AC和AB的长.2因为两条对角线AC，BD的夹角为60°，AO＝BO，所以∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，所以△AOB为等边三角形，AC＝2AB.所以AC＋AB＝2AB＋AB＝3AB＝12.所以AB＝4，所以AC＝8.解：知2－练（来自教材）小亮想检验一块木板是不是矩形.现仅有一根足够长的细绳，你能想办法帮他进行检验吗？请说明理由.3解：略.知2－练（来自教材）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.4知2－练由题意易知∠MAC＝∠B＋∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠MAC＝2∠B，∵AN是∠MAC的平分线，∴∠MAC＝2∠MAE，∴∠MAE＝∠B，∴AE∥BC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．（来自教材）证明：知2－练（来自教材）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交

BC于点E，∠CAE=15°.求∠BOE的度数.5知2－练在矩形ABCD中，OA＝OB＝OD＝OC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BAD＝45°，又∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∴AB＝BE.∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°，∴△AOB是等边三角形．∴OA＝OB＝AB，∠ABO＝60°，∴BO＝BE，∠OBE＝30°，∴∠BOE＝×(180°－30°)＝75°.（来自教材）解：知2－练【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E、F、G、H分别是边DA、AB、BC、CD的中点，连接EG、FH，则图中矩形的个数共有(

)A．5个B．8个C．9个D．11个（来自《典中点》）6C知2－练如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝BCC．AB＝BC

D．AC＝BD（来自《典中点》）7D知2－练【中考·攀枝花】下列关于矩形的说法中正确的是(

)

A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分（来自《典中点》）8B知2－练如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(

)A．AB＝BC

B．AO＝BOC．∠1＝∠2D．AC⊥BD（来自《典中点》）9B知2－练【中考·黑龙江】如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件_____________________，使四边形DBCE是矩形．（来自《典中点》）10EB＝DC(答案不唯一)1知识小结矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.方法2：有三个角是直角的四边形是矩形.方法3：对角线相等的平行四边形是矩形.

(对角线互相平分且相等的四边形是矩形.)在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形(

)A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线互相垂直2易错小结C易错点：对矩形的判定方法理解错误导致出错

请完成《典中点》Ⅱ、Ⅲ板块对应习题！第二十二章四边形22.5菱形第1课时

1课堂讲解菱形及其对称性菱形边的性质菱形对角线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形——矩形；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形——菱形.两组对边分别平行平行四边形矩形菱形有一个角是直角有一组邻边相等1知识点菱形及其对称性1.在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，

哪些关系没变？哪些关系变了？知1－讲

平行四边形邻边相等菱形如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？归纳知1－讲定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.AB=BC平行四边形ABCD四边形ABCD是菱形知1－讲1.如图，将一个菱形纸片ABCD按图示方法折叠后，再展开：(1)说明两条折痕的交点O恰为菱形的中心.(2)菱形ABCD是轴对称图形吗？如果它是轴对称图形，

那么它有几条对称轴，都是那些直线？归纳知1－讲菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形.（来自教材）知1－讲例1

已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？（来自《点拨》）因为DE∥FC，DF∥EC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可．导引：知1－讲（来自《点拨》）四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平

行四边形是菱形)．解：总

结知1－讲（来自《点拨》）

本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法．知1－练（来自《典中点》）如图，若要使▱ABCD成为菱形，则需要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝AC

C．AB＝BC

D．AC＝BD1C知1－练（来自《典中点》）2如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB知1－练（来自《典中点》）3菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为(

)A．2条B．4条C．6条D．8条A知1－练（来自《典中点》）4如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE是轴对称图形；③△DEF是轴对称图形；④∠ADE＝∠EDO.其中正确的有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个C2知识点菱形边的性质知2－导菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?观察图所示，根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?归纳知2－导菱形的四条边都相等.知2－讲例2如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为()

A．B．C．D．3

在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝，所以△AEF的周长为，故选B.分析：B总

结知2－讲

在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.1菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=求点B的坐标.知2－练（来自教材）过点B作BD⊥OA，垂足为D.由题意可知∠BAD＝∠AOC＝45°，AB＝OA＝OC＝，所以AD＝BD＝1.所以B点的坐标为(＋1，1)．解：知2－练如图，菱形ABCD的边长为2cm，E为AB的中点，且DE⊥AB.求菱形ABCD的面积.2连接BD，∵AB＝2cm，E为AB的中点，∴AE＝

AB＝1cm.在Rt△AED中，DE＝(cm)．∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2××2×

＝2(cm2)．解：知2－练边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm（来自《典中点》）3C知2－练（来自《典中点》）4【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(

)A．4B．3C．2D.B知2－练（来自《典中点》）5【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3πA知2－练（来自《典中点》）6【中考·鄂州】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为(

)A．5B．7C．8D.B3知识点菱形对角线的性质知3－导

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?归纳知3－导

对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质：

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.知3－导问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.知3－讲例3如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC=120°.求对角线BD和AC的长.（来自教材）∵AB+BC+CD+AD=16cm，∴AB=BC=CD=AD==4(cm).∵BD平分∠ABC，∠ABC=120°，∴∠ABD=60°.∴△ABD是等边三角形.∴BD=AB=4cm.在Rt△AOB中，OB=2cm，解：总

结知3－讲（来自《点拨》）

菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC=50°.求菱形ABCD各内角的度数.知3－练1（来自教材）在菱形ABCD中，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝2∠BAC＝100°.∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADC＝80°，∠BCD＝100°.解：在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6.求菱形的周长.知3－练2（来自教材）解：由题意易知菱形的边长为＝5，所以周长为4×5＝20.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，AE⊥BC，垂足为E.求AE的长.知3－练3（来自教材）知3－练（来自教材）在菱形ABCD中，∵AC＝6cm，BD＝8cm，∴OA＝

AC＝3cm，OB＝

BD＝4cm.∴在Rt△AOB中，AB＝

＝5cm.∴BC＝5cm.∵S△ABC＝

AC·OB＝

BC·AE，∴AE＝(cm)．解：知3－讲如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4∵花坛ABCD的形状是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).知3－讲解：总

结知3－讲菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半．说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应

用(3)这种方法时不要忽视“一半”．（来自《点拨》