北师大版八年级数学上册 （平行线的性质）平行线的证明教学课件

第七章

平行线的证明平行线的性质

1课堂讲解平行线的性质平行线的性质与判定的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1、什么叫做平行线？2、平行线的判定方法有哪些？复习回顾1知识点平行线的性质1.定理：两直线平行，同位角相等.（1）已知：如图1，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线

EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.知1－讲如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？图1知1－讲（来自教材）证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=

∠2，如图2所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH//CD.又因为AB//CD，这样经过点M

存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.图2知1－讲（来自《点拨》）（2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．表达方式：如图，因为a∥b，(已知)所以∠1＝∠2.(两直线平行，同位角相等)

例1如图，若AB∥CD，且∠1＝∠2，试判断AM与CN的位置关系，并说明理由．导引：AM与CN的位置关系很显然是平行的，要说明AM∥CN，可考虑说明∠EAM＝∠ECN.因为∠1＝∠2，所以只需说明∠EAB

＝∠ACD即可，由于“两直线平行，同位角相等”，所以根

据AB∥CD即可得出∠EAB＝∠ACD.

解：AM∥CN.理由：∵AB∥CD(已知)，∴∠EAB＝∠ACD(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠MAE＝∠NCA(等式性质)．∴AM∥CN(同位角相等，两直线平行)．

知1－讲（来自《点拨》）总

结知1－讲（来自《点拨》）当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是否出现了相等的角．平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及．

1(中考·泸州)如图，AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠C＝40°，则∠D的度数为(

)A．90°B．100°C．110°D．120°知1－练（来自《典中点》）B(中考·枣庄)如图，把一块含有45°角的直角三角

板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，

那么∠2的度数是(

)A．15°B．20°C．25°D．30°知1－练（来自《典中点》）C知1－讲（来自教材）2.定理：两直线平行，内错角相等.（1）已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角.求证：∠1=∠2.

证明：∵l1//l2（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.又∵∠2=∠3（对顶角相等），∴∠l=∠2(等量代换）.知1－讲（来自《点拨》）（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等．表达方式：如图，因为a∥b

(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).

要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下才有内错角相等．

例2如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，试说明AE平分∠CAD.导引：要说明AE平分∠CAD，即说明∠DAE＝∠CAE.由于AE∥BC，根据两直线平行，同位角相等和内错角相等可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，这就将说明∠DAE＝∠CAE转化为说明∠B＝∠C了．

解：∵AE∥BC(已知)，∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相等)，∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠EAC(等量代换)．∴AE平分∠CAD(角平分线的定义)．知1－讲（来自《点拨》）总

结知1－讲（来自《点拨》）本题同时运用了“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，内错角相等”，提供了一种说明两个角相等的新思路．(中考·东莞)如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是(

)A．75°B．55°C．40°D．35°知1－练（来自《典中点》）C(中考·宜昌)如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是(

)A．60°B．50°C．40°D．30°知1－练（来自《典中点》）C知1－讲（来自《点拨》）3.定理：两直线平行，同旁内角互补.

性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．表达方式：如图，因为a∥b

(已知)，所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补)

.例3如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，那么你能说出∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？导引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，从而得出∠2，∠3，∠4的度数．

解：∵DE∥BC(已知)，∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)，∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．即∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°.又∵DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代换)．知1－讲（来自《点拨》）总

结知1－讲（来自《点拨》）1．求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系．2．两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．知1－讲（来自教材）4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行.（1）已知：如图，b//a，c//a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，

c被直线d截出的同位角.求证：b//c.

证明：∵b//a(已知），∴∠2=∠1(两直线平行，同位角相等）.∵c//a（已知）,∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=∠3（等量代换）.∴b//c（同位角相等，两直线平行）.知1－讲一般地，我们有如下的定理：

定理平行于同一条直线的两条直线平行.归

纳1(中考·恩施州)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD为(

)A．20°B．30°C．40°D．70°2(中考·河北)如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝(

)A．120°B．130°C．140°D．150°知1－练（来自《典中点》）BC2知识点平行线的性质与判定的关系知2－讲平行线的判定与平行线的性质的区别：①平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系；②平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件．知2－讲例4如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，所以要判断∠P与∠Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行．要说明

PB∥CQ，可以通过说明∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，只需说明∠ABC＝∠BCD即可．解：∠P＝∠Q.理由：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．知2－讲∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，即∠PBC＝∠BCQ.∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．（来自《点拨》）总

结知2－讲（来自《点拨》）一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题．1(中考·河南)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为(

)A．55°B．60°C．70°D．75°2如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于(

)A．60°B．50°C．45°D．30°知2－练（来自《典中点》）AA从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：条件定义、判定定义、性质图形结论．平均数第六章

数据的分析

知识点1

算术平均数1.一列数4,5,6,4,4,7,x的平均数是5,则x的值为(B)A.4 B.5C.6 D.72.(原创)已知一组数据x1,x2,x3的平均数为7,则x1+3,x2+2,x3+4的平均数为(D)A.7 B.8C.9 D.103.已知一组数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为8,则另一组数据a1+10,a2-10,a3+10,a4-10,a5+10的平均数为(C)A.6 B.8 C.10 D.124.某班45名同学的数学平均分为80分,其中女生有20名,她们的数学平均分为82分,那么这个班男同学的数学平均分为

78.4

分.

知识点2

加权平均数5.(教材母题变式)数学老师计算同学们一学期的平均成绩时,将平时、期中和期末的成绩按3∶3∶4计算.若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分和100分,则小红一学期的数学平均成绩(B)A.90分 B.91分C.92分 D.93分6.(改编)某市“引进人才”招聘考试分笔试和面试.其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩.吴老师笔试成绩为90分,面试成绩为85分,那么吴老师的总成绩为(D)A.85分 B.86分C.87分 D.88分7.如图,交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速(单位:千米/时)情况,则该时段内来往车辆的平均速度是

60

千米/时.

8.一组数据3,5,7,m,n的平均数是9,则m,n的平均数是(D)A.6 B.9 C.10 D.159.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据75输入为15,那么所求出的平均数与实际平均数的差是(D)A.2.5 B.2C.1 D.-211.面试时,某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分、80分、85分,若依次按30%,30%,40%的比例确定成绩,则这个人的面试成绩是(D)A.75分 B.80分

C.82分 D.85分12.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是(B)A.6.2小时 B.6.4小时C.6.5小时 D.7小时【变式拓展】某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命,从中抽查了100只灯泡,它们的使用寿命如表所示:这批灯泡的平均使用寿命是(B)A.112h B.124hC.136h D.148h13.小明同学上学期的5科期末成绩中,语文、数学、英语三科成绩的平均分为90分,科学、社会两科成绩的平均分为80分,则他这5科成绩的平均分为(C)A.84分 B.85分

C.86分 D.87分14.某省现在正处于50年不遇的干旱时期.某中学七年级(2)班共50名同学,开展了“献爱心”捐款活动,活动结束后,班长将捐款