椭圆及其标准方程教学案例

《椭圆定义及其标准方程（第1课时）》教学案例

一、教学背景：

结合新课程标准的精神，我们不难发现数学教学“不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索，动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程，要设立‘数学探索’教学建模等学习活动，让学生体验数学发现和创造的历程。”教学方法：结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。教师利用多媒体（几何画板）工具，通过观察、设问、启发、尝试，突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程。教学过程实录：

1、创设情景，引出课题

教师：我们以前学习过圆，请同学们回忆一下圆的定义。

学生：(平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹)

教师：我们是怎么画圆的呢？学生：（上黑板来演示）

教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点上，保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？

学生：（动手画椭圆）

教师：我们看到这个曲线的形状是一个压扁了的圆，我们称为椭圆。

教师：提出课题《椭圆定义及其标准方程》

2、观察发现，认识椭圆教师：展示多媒体课件（用几何画板生成动画）作法:在几何画板作图区域中以A为圆心过C点作圆，在圆内任取一点B；连接线段BC，作BC的垂直平分线交AC于F；追踪点F，生成点C的动画。请同学们思考：（1）在运动中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？（2）能不能把不变的量用数学表达式表达出来？（3）点F是以怎样的规律进行运动的？3、归纳定义，完善定义教师：我们通过实践操作，动画演示，对椭圆有了一定的认识，下面请同学们归纳椭圆的定义（学生分组讨论）。学生归纳出椭圆定义：平面内与两个定点A、B的距离的和等于定常数（大于|AB|）的点的轨迹叫做椭圆。定义式为:|FA|+|FB|=|AC|（|AC|>|AB|）教师：以上我们总结了椭圆的定义，知道了椭圆与两定点位置以及定线段长有关；那么给定了线段长，两定点位置就一定能作出椭圆吗？大家讨论一下，这里有没有条件限制。学生：（动手实验，讨论、总结）

教师：在黑板演示，|AC|>|AB|、|AC|=|AB|、|AC|<|AB|三种不同情形的轨迹。根据我们动手实验及老师的演示以及讨论，同学们总结出什么结论呢？

学生：（1）当|AC|>|AB|时，轨迹是椭圆。

（2）当|AC|=|AB|时，轨迹是一条线段，是以AB为端点的线段。

（3）当|AC|<|AB|时，无轨迹。

教师：给出椭圆定义，定义式及相关概念。4、归纳方法，解决问题

由学生根据建立坐标系一般原则，按不同的建系方法分组自主推导椭圆方程，进行比较。xyOF1F2M图1已知椭圆的焦距，椭圆上的动点到两定点xyOF1F2M图1建系：以两定点F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图1）．设为椭圆上的任意一点，设MF1+MF2=m，F1F2=n，（m>n>0）则、．移项后再平方由MF1+MF2=m得移项后再平方移项得平方得整理得再平方得再整理得所以即xyOF1F2Mca图2令m=2a,n=2c即MF1+MF2=2xyOF1F2Mca图2结合图形，找出方程中a、c对应的线段．如图2，OF2=c，MF2=a，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．那么a2-c2就是另一直角边的平方，因此我们令b2=a2-c2（b>0），则方程变为（a＞b＞0）。由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方OF1F2xOF1F2xyM图3方程就是所求得椭圆的标准方程.结合图3，让学生猜想结论：（a＞b＞0），并说明理由。教师归纳总结：椭圆标准方程的两种形式：（a＞b＞0），（a＞b＞0）及特点。5、知识总结、归纳点评总结一节课所学，与学生共同回忆椭圆的定义和分类，及其标准方程。师生协作填表，通过观察、归纳、寻找异同，在对比中让学生掌握本节课的重点。四、教学反思

1、本节课中学生在教师和同学的帮助下，亲身经历了“问题——探索——发现——解决问题”的多次循环的探究过程，实现“为什么”、“怎么办”的思维启迪，从而达到合作探究、发展能力的目的。所以，在我们的日常教学中，不仅要培养学生解决问题的能力，更要注意培养学生发现问题和提出问题的能力。

2、本节课通过学生动手实验，教师利用多媒体（几何画板