含铁磁迟滞特性的不确定非线性系统的跟踪控制

含铁磁迟滞特性的不确定非线性系统的跟踪控制

对环境系统的优化对于一般的计算机系统，当系统中存在非线性链接时，网络系统通常被视为非线性控制系统。迟滞特性是一种典型的非线性特性。迟滞现象广泛存在于磁性材料、磁致伸缩、压电陶瓷、形状记忆合金等智能材料中,是一种特殊的强非线性现象。通常情况下,它的存在会使控制系统的输出与输入呈现迟滞特性,使得整个控制系统性能变差,降低系统的控制精度,甚至导致控制系统不稳定[6,7,8,9,10,11,12,13]。因此如何减少甚至消除迟滞对系统的影响是一个公认难题。学者们对于迟滞特性的数学建模的研究由来已久,提出了多种迟滞模型,如Preisach模型、Prandtl模型(PI模型)、Duhem模型以及Bouc-Wen模型等等。文献研究了存在于磁性材料中的迟滞特性,给出了铁磁迟滞模型的微分方程表达式。铁磁迟滞模型是一类比率独立的Duhem模型。近年来一些学者针对带有迟滞特性环节的非线性系统采用各种控制策略,试图解决传统控制策略处理此类问题时的不足。文献采用的是自适应反步控制方法对具有反斜线型迟滞模型的系统进行控制,得到全局稳定的结果,跟踪误差满足精度要求。然而反斜线型迟滞模型仅是铁磁迟滞模型的一个特例,文献中并没有针对含有铁磁迟滞模型的非线性系统的结论,本文对此问题进行了深入研究得到了满意的成果。本文研究了一类具有铁磁迟滞环节的不确定非线性系统的自适应跟踪控制问题。由于铁磁迟滞模型微分方程表达式中的项是一般函数式,相比较反斜线模型更具有广泛性。铁磁迟滞模型微分方程的解包含两项,一项是关于输入的一般非线性函数,另一项是非线性扰动,该扰动的界限未知。然而正是因为该模型的表达形式具有一般性,其中关于输入的非线性函数项增大了控制器的设计难度,所以需要对该项进行线性化近似处理,得到关于输入的近似线性关系以方便控制器设计。非线性扰动项的界被证明是有限的,在控制器的设计过程中只需考虑该扰动的界,这个界不需要人为给出,而是可以通过自适应率被估计出来的。本文采用自适应反步控制方法,将迟滞特性融入控制器的设计过程中并有效地消除了迟滞作用对系统的影响,避免了构造复杂迟滞逆模型需要精确的迟滞模型表达式的限制,所设计的自适应控制器能够保证系统的输出快速跟踪上给定信号,跟踪误差在一个很小的范围内波动,保证闭环系统的所有信号有界,理想地达到了预期控制目标,运用Lyapunov稳定性理论证明了闭环系统的稳定性。仿真结果验证了该设计方法的有效性。1我国迟滞回环曲线的建立考虑一类铁磁迟滞非线性环节的数学模型:其中,B为磁通,H为磁场强度,B和H均为时间t的实值函数,且分别具有分段连续导数B和H,α为正常数,|H|表示H的绝对值,f(⋅)和g(⋅)分别是(-∞,+∞)上的实值函数,满足以下三条假设:假设1:f(⋅)必须是分段光滑,单调增加的奇函数,f(⋅)可导,其一阶导数f′(⋅)满足当H→∞时,f′(H)具有有限的极限。假设2:g(⋅)必须是分段连续的偶函数,g(H)有界且满足:假设3:对于所有有限的H,函数f(⋅)和g(⋅)满足下述不等式关系:根据上述模型及其假设条件,可以得到一组关于B和H的函数关系B(H),即为迟滞回环曲线。选取如下函数为例,f(H)=Atanh(H),g(H)=f′(H)(1-λe-ρ|H|),H=lsin(kt)其中,A,λ,ρ,α,l,k均为任选常数,选取A=1,λ=0.85,ρ=0.1,α=5,l=2,k=0.5π,时间t=10s,初始点选为原点,做出迟滞回线,曲线沿逆时针方向,最终逼近一个回环,如图1所示。下面讨论该迟滞模型微分方程的解。改写(1)式如下:当H=0时,B=0,B保持原值不变。当H>0时,sgn(H)=1,(4)式可化为:当H<0时,sgn(H)=-1,(4)式可化为:考虑初值点(H0,B0),分别求解微分方程(5)和(6),得到的解为:将(7)式与(8)式合并,得:若初值点为(0,0),即H0=0,0B=0时,由f(H)的性质可知f(H0)=0,则在初始条件下,(9)式可化为:2扰动项的检验控制系统结构框图如图2。在控制系统中,迟滞特性通常用如下算子形式给出:其中,v(t)是迟滞环节的输入,u(t)是迟滞环节的输出,P[v](t)表示迟滞算子。为了将前面叙述的铁磁迟滞模型的表述形式与控制器设计中的表述形式统一,令B(t)=u(t),H(t)=v(t),则微分方程(1)式转化为:若t=0时,v(0)=v0,u(0)=u0,则初值点为(v0,u0),微分方程(12)的解可表示为:当0v=0,0u=0时,解的形式变为:考虑如下的一类非线性控制系统:其中,iY是已知的连续函数,参数ia及b均为未知常数。通常情况b满足下述假设条件:假设4:b的符号已知,不妨设为正,满足0<bmin≤b≤bmax<+∞,bmin和bmax分别是b可能取到的最小值和最大值。将(14)式代入控制系统(15)式中,得:将(16)式展开得:其中,注释1:由于关于输入的非线性函数项在控制器设计中会带来不便,为了简化控制器的设计,这里对(17)式中的f(v(t))项进行近似处理。由假设1知道f单调增0,因此∂f(v)∂v>0,由中值定理可以得到:引理1:定义bd[v](t)的边界为dB,对于任意的输入v(t),扰动项bd[v](t)的边界dB是有限的。证明:首先研究d[v](t)的有界性。当v>0且v→+∞时当v<0且v→-∞时由假设1、假设2和假设3可知,f′(∞)-g(∞)一定有限,limv→∞(f′(v)-g(v))α≤ε,ε>0,ε∈。又显然当初始值v=0时,d[v](t)=0,所以对于任意的v(t),d[v](t)一定有界。又由假设4知,b满足0<bmin≤b≤bmax<+∞,因此bd[v](t)也一定有界,bd[v](t)的边界dB是有限的,即0d<B<+∞。注释2:这里要说明的是(17)式中bd[v](t)项可以证明是有界的,但这个界可以是未知的,该未知界限在自适应反步控制的过程中可以被估计出来,在控制器的设计中仅需考虑扰动项的界,很大程度上方便了设计过程,减少了运算量,提高了响应速率。假设5:给定轨迹xd(t)=[xd,xd,,xd(n-1)]T连续有界,且[xdT(t),xd(n)]T∈Ωd⊂n+1,其中Ωd是n+1上的一个紧集。对于含有铁磁迟滞特性的非线性系统,控制目标是为输入v(t)设计自适应控制率,使得系统状态x(t)可以跟踪一个满足假设5的给定轨迹xd(t),当t→∞时,x(t)→xd(t),即limt→∞|x(t)-xd(t)|=0或者对于任意给定界限σ>0,有lim|()()|tdttσ→∞x-x≤。3系统迟滞特性采用反步设计方法设计自适应控制器:首先进行如下坐标变换:其中,αi-1表示第i步设计中的虚拟控制率。第1步:由(17)(19)(20)式可得:设计虚拟控制率如下:其中,1c为设计参数,且1c>0。由(21)(22)得:选取Lyapunov函数V1=z122。第i步(i=2,3,,n-1):设计虚拟控制率如下:其中,ic为设计参数,且ic>0。由(20)(24)式得:选取Lyapunov函数Vi=zi22。第n步:由(17)(18)(20)式得:设计自适应控制率如下:其中,参数nc,γ,η,δ均为正常数。注意到:将(32)代入(26)式中得:选取Lyapunov函数:引理2:LaSalle-Yoshizawa定理其中W是一个连续函数。那么,x=f(x,t)所有的解都是全局一致有界的,且满足limt→∞W(x(t))=0,如果W(x)正定,那么平衡点x=0是全局一致渐进稳定的。定理1:考虑一类含有迟滞特性的非线性系统如(15)式所述,其迟滞特性如(1)式形式描述,并且满足假设1～5中的条件。该系统在(27)～(31)式给出的自适应控制率的作用下可以实现全局稳定,且系统输出跟踪给定信号,即:x(t)→xd(t),t→∞。证明:根据反步设计法,选择Lyapunov函数如下:4跟踪控制方程考虑满足(15)式的非线性系统如下:初值x(0),h可以是线性函数也可以是非线性函数,a和b为系统参数,考虑a和b为未知参数,它们的取值不需要预先给出,而是可以通过自适应控制估计出来。u(t)是系统输入,由满足(12)式的形式确定:其中其中,A,λ,ρ,α均为任选常数,选择A=1,λ=0.85,ρ=0.1,α=5。将代入系统方程(40)进行仿真。例:考虑满足假设5的给定轨迹dx=sin(0.5πt),初值取x(0)=,h(x1)=(1-exp(-x1))(1+exp(-x1))。设计自适应控制参数为1c=0.2,2c=10,1v=0.3,δ=0.001,γ=6.5,η=0.16,则得到跟踪曲线图3,误差曲线图4以及加入控制后的迟滞曲线u(v)图5。可以看到迟滞曲线在设计的控制率的作用下收敛,迟滞作用在很大程度上消除了