基于新课改下初中数学循环矩阵的应用 论文

基于新课改下初中数学循环矩阵的应用摘要：循环矩阵是矩阵理论中一类较为重要的特殊矩阵，具有广泛的应用.本文主广义循环矩阵、r-循环矩阵及反循环矩阵的一些简单性质，加深了对循环矩阵的理解.关键词：循环矩阵；生成多项式；对角化1引言在1885年，美国学者Muir.T首先提出了循环矩阵的概念，一直到1950年以来，现代引起足够重视，特别是1985年以来，人们对循环矩阵进行了深入研究，至今已获得了许多有益的成果.在代数的矩阵理论中，循环矩阵是一种特殊的Toeplitz矩阵，它的性质、逆矩阵、对逆矩阵的计算方法，[3]中证明了循环矩阵的对角化的相关定理等.目前为止大部分文献都环矩阵进行了推广，对广义循环矩阵、反循环矩阵、r-循环矩阵等进行了探讨.近年来，随着对循环矩阵的不断钻研，以及现代科学技术的发展，循环矩阵在编码理论、数理统计、一步完善，值得继续研究.法.广到广义循环矩阵、r-循环矩阵和反循环矩阵，结合循环矩阵的研究方法，对其推广的矩阵进行了研究，加深了对循环矩阵的理解.定义1.1称复数域C上的n阶矩阵L

an-1öç ÷A1 L

an-2÷çL L L L L ÷ç ÷为n阶循环矩阵.

èL

a0ø可以看出：循环矩阵是由它的第一行按同一方向依序循环所得到,简记为A,,a2,L定义1.2称n阶循环矩阵1 0 Lç0 0 1 L

,an-1).0 0ö0 0÷ç ÷JL L L L L÷ç0 0 0 L

0 1֍ ֍1 0 0 L

0 0÷è ø为基本循环矩阵，简记为C(0,1,0,L

,0).显然J,J2,L

Jn-1,Jn（其中In个循环矩阵为循环矩阵基本列.2 循环矩阵的性质性质2.1循环矩阵基本列J,J2,J3,L

,Jn-1,Jn是线性无关的.证明设xJJ2Jn-1Jn，则1 2

n-1

nL

xn-1öç ÷çxn-1çxn-2

xnxn-1LL

xn-2÷xn-3，ç ÷çM M M M÷xç1 xL n÷xè øx因此=x2

=xn，所以J,J

2,J3,L

,Jn-1,Jn

是线性无关的.性质2.2设,B均为n阶循环矩阵则AB,,T阵.

kÎC)均为n阶循环矩注此性质2.2运算都是封闭的.这里就不加以证明了.性质2.3任意的n阶矩阵A为循环矩阵等价于矩阵A可以由循环矩阵基本列线性表示，若记J0=Jn，即任意一个n阶循环矩阵A= 2

n-1.C(a0,,a2,L

,an-1)IJJ1J证明必要性显然.2.2A可以由J0,J,J2,J3,L

,Jn-1A一定为n阶循环矩阵.注由上面的证明，令f(x)

xx2

xn-1，则A=f(J)，称f(x)是A的生成多项式.

0 1 2

n-1性质2.4任意两个n阶循环矩阵相乘得到的仍然是循环矩阵，且其乘法满足交换律.证明设A、B为两个n阶循环矩阵，可设2AIJJ21J

n-1

=f(J)，2BIJJ21J

n-1

=g(J)，因为Jk=J，(k为非负整数，且J0=Jn），所以AB=f(J)g(J)=g(J)f(J)=h(J)=BA，其中多项式h(J)的次数不高于n-1次，所以知AB是n阶循环矩阵，且满足交换律，即AB=BA.性质2.5可逆循环矩阵的逆矩阵还是循环矩阵.证明设A为n阶循环矩阵，由性质2.3知，只要能找到n阶循环矩阵2BIJJ21J

n-1,其中i即

,n-ABI为n阶单位矩阵，2ABIJJ21J

n-1)(bIJJ21J

n-1)0 1 20 1 21)In-1，1)J要AB，当且仅当下列方程组成立1)Jì1ï + + + =ï í

an-

a2bn-1 0 ，ï L L L L L L Lan-1上述线性方程组以,,,L

,b 为未知量，以

为系数矩阵，由于An-1=A¹0，于是上述方程组的解是唯一的，所以满足上述方程组的逆矩阵Bn-1存在，且矩阵B是循环矩阵.性质2.6可逆循环矩阵的伴随矩阵仍是循环矩阵.证明设A为n阶循环矩阵，则=AA-1，由于0 1 2n-1A-1IJ0 1 2n-11J

n-1，0 1 2所以其伴随矩阵=AbI+AbJ+AbJ20 1 23 循环矩阵的对角化

+Ab Jn-1为循环矩阵.引理3.1在复数域C上，基本循环矩阵J能够对角化.证明由于1 0L0 1 L

0 0ö0 0÷ç ÷JMM Mç ÷0 0L0 0L

0 1÷0 0÷è ø所以l -1 0 L 0 00 l -1L 0 0lE-J

=M M M M Mn-1，0 0 0 L-1 0 0 L

l -10 l从而它在复数域C上有nn表示单位根）l

k2kpsin2kp,kn n

,n-i21，且lk¹lj(k¹

j)，因此J能够对角化.进一步，易得J的相应特征值0,1,2,L

,en-1分别对应的特征向量为T 2 n-1T

2 n-1T，0L,1,1,1,L

),L

,dn-11,en-1,L

,en-1 1 L 1öç ÷作可逆矩阵Te2Le2 L1÷e2则1 2 n-1ç ÷M M M÷en-1

en-1 L

en-1֏ 1 2

n-1øöç ÷ç T-1JTe

÷,e,L,e ).ç ç ÷

n-1ç O ÷ç 1÷è ø定理3.1在复数域C上，任意一个n阶循环矩阵A都可以对角化.证明设A的生成多项式为2f(x)xx21x

n-1，由于A=f(J)，由引理3.1的证明可知，存在可逆矩阵T，使得-1TJT,e2,L

,en-1),-12 2 2 2TJT,e2,LL

,en-1),-1n-1

n-1

n-1

n-1TJ T将上述n个式子相加，得

,L,en-1),T-1AT

-1(aIJJ21J

-10 1 2-0 1 2

-12

-1n-1ITJTJTJ T=diag(ff),f),L所以n阶循环矩阵A可对角化，证毕.

,f1))，注由上述证明可知ff),f),L

,f1)为n阶循环矩阵A的全部特征值.同时dLT,d,e2,L

,en-1)T,L,d

,e2

,L,en-也0 1 1 1 1是A的线性无关的特征向量.

n-1

n-1

n-1

n-1定理3.2设n阶循环矩阵A=C(a0,,a2,L

,an-1)，则循环矩阵A可逆等价于对于任意的n次单位根,i2,L多项式.

,n，都有f)¹0，其中f(x)为A的生成证明由定理3.1，n阶循环矩阵A的行列式为detA=ff)f)L

f1)，所以A可逆等价于f)¹0，i2L

,n-1.推论3.1设A=C(a0,,a2,L

,an-1)为n阶循环矩阵，则A可逆等价于(f(x,xn-)1.证明由定理3.2知，f(x)xx2xn-1与xn-1无公共根，0 1 2故f(x)与xn-1互素，即(f(x,xn-)1.

n-1推论3.2循环矩阵A的行列式detA=ff)f)L为A的生成多项式.

f1)，这里f(x)推论3.3若f(x)xx2xn-1与xn-1互素，则0 1 2

n-1f(x)xx2xn-1,n-1 0nn-1 0n-3

n-2f2(x)=an-2Lxx2xn-1,f (x)xx2xn-1.都与xn-1互素.

n-1 1 2 3 0证明由于分别以f1(x),f2(x),L

,fn-1(x)的系数为元素组成的n个循环矩阵，它们与A只是相差了一个正负符号，因此由推论3.1可以得到此推论.例3.1已知n阶循环矩阵A2,

,n)，求矩阵A的行列式1 2 3L nn 1 2L

n-1n-1 n 1 LA=

n-1.M MM M3 4 1 L 2n-12 3 4n-1解由于A=f)f)f)L

fn-1)其中0,1,2,L

,e 为xn-1的根，而f(x)=1+2x+3x2n-1

+nxn-1，则

n-1

n-1，A带入得

)

)L11 )A(-A(-)n-1(n)n .2定理3.3任意一个对角矩阵都与一个循环矩阵相似.证明设L为n阶对角矩阵，L=diag1,l2,l3,L复数，构造线性方程组

,lnl1,l2,l3,L

,ln为ì aee2

en-10 10 20

n-10 1ï aee2

en-1ï 0 11 21í

n-11 2，ï L L L L L Lïaee2

en-1î0 1

n-1 2

n-1

n-1

n-1 n其中0,1,2,L

,en-1是n阶基本循环矩阵J的特征值.上述线性方程组以a0,,a2,L

,an-1为未知量，系数矩阵为范德蒙矩阵，记为D，由于0,1,2,L

,en-1互不相等，故D¹0，所以上面的线性方程组的解是唯一的，即特征值为l1,l2,l3,L

,ln的n阶循环矩阵是存在的，由定理3.1，A相似于diag1,l2,L

,ln定理3.4任意一个n阶方阵A相似于对角矩阵等价于A与某一个n阶循环矩阵相似.证明充分性如果A与循环矩阵B3.1，B与某对角矩阵L相似，所以A与对角矩阵L相似.必要性如果A与对角矩阵LL与某一个循环矩阵B相似，所以A与循环矩阵相似.4 循环矩阵的应用4.1循环矩阵在保密通信中的应用定义4.1设F是一个域，如果1，则称F为有限域，常用GF(pn)表示.当取p时，GF(2n)为常用的有限域，如GF(28)是一个经常用于域密码学的有限域.注在有限域中，下面的结论成立：GF(pn)的阶一定是素数p的方幂pnp为域GF(pn)的特征，n为域GF(pn)在其素数域上的次数.pi ù nf(x)满足(f(x),x

-i2,L

,则f(x)为GF(p

)上不可约2û多项式.（3）对于n的每个正因子m，pn阶有限群有且只有一个pm阶子域.下面通过有限域的性质构造出可逆矩阵.推论4.1设n阶循环矩阵A=C(a0,,a2,L逆.

n-1,an-1),如果å，则A不可证明显然由矩阵的每一列加至第一列即可得到矩阵的行列式为可逆.构造出来.实际上，由定理3.2，可以知道可逆矩阵的生成方法，即把n次单位根带入矩阵A的特征多项式中结果不等于零，则此矩阵A就是一类可逆矩阵.由上面的推论，在任何域G上，可以生成一类生成元之和在域G不等于零的可讨论在有限域GF(28)下生成可逆的循环矩阵.01 2 3定理4.2c,c,c,c是域GF01 2 3öç ÷A÷ç ÷c0ø可逆的充分必要条件是c0¹0.证明1）必要性因为A可逆，则A¹0，按照有限域中的结论，并且用计算机在MathematicaA的行列式为A)4¹00 1 2 3c0¹0.2)充分性反之可得A¹0，故充分性得证.由此，可以快速生成域GF(28)上的可逆循环矩阵，即这种算法为：1）随机选取域GF(28)中的三个元素a,b,c，求和得到S.2）在集合GF(28)S}中随意选取一个元素da,b,c,d作为循环矩阵的某一行得到的循环矩阵就是可逆矩阵.结论在有限域GF(28)更加简便.4.2循环矩阵在分解降噪中的应用解是为有效降噪的一个方法.该方法的关键技术主要有两个，即用原始信号构造出重构矩阵以及确定它的有效阶次.现在的构造重构矩阵的方法一般为连续截断法和Hankel矩阵法两种，文献[12]中提出一种改进的重构矩阵设计方法—设计循环矩阵法.其A设计为如下çy(2)

y(2) LL

y(N)ö÷AçM M M ÷çy(N)L

y(N-1)÷è ø通过实验说明了在这种定义下ASID（信息完整度）比一般的重构矩阵高,最后通过实验结果表明设计循环矩阵法得到的滤波效果优于一般的连续截断法和Hankel矩阵法.4.3基于循环矩阵思想的数字图像置乱算法置乱技术在对图像的加密过程中是非常重要的.在文献[13]中也详细介绍了图像置乱技术，通过图像置乱技术来达到了保密的效果．强，下面将着重介绍一类置乱算法-基于循环矩阵思想的图像置乱算法．优点，而且通过循环矩阵的方法加密后的图像是不容易被破解的，即保密性效果更加显著.下面详细介绍此算.设n阶循环矩阵L

an-1öç ÷A1 L

an-2çL L L L L ÷ç ÷èL

a0ø对矩阵A成nn列个向量(a0,a0,L

,a0),,,L

,),L

,(an,an,L

,an)提取的这n个列向量用一个可逆的排序算法进行重新组合，得到一个新的矩阵，阵.例4.1设abcdöabcdöçe f g h÷çijkl÷ç ÷n p qø则可以提取4组4´1维列向量：(a,f,k,q)T,(e,j,p,d)T,(i,n,c,h)T,(m,b,g,l)T，再把它们分别放入4个列向量如,,,4个列向量进行重新排BB,,,)的新矩阵a m iöçj çj f bççpkgçdqlB c÷h÷hø阵组成的,将这种方法运用到实际的图像中，便能够使图像得到保密.5 循环矩阵的推广到由循环矩阵推广得到的矩阵，它们同样具有重要的研究意义.5.1广义循环矩阵定义5.1若把n阶循环矩阵A中的元素Î

C(i2,L

,n)都用矩阵来替换（是m´m矩阵），那就得到如下形式的矩阵L1öç ÷A 1 L2ç

M M M M÷ç ÷èLø这样的mn阶矩阵称为广义循环矩阵（也称分块循环矩阵）.定义5.2称矩阵

Im Löç ÷

Im L÷JmnM M M M÷ç ÷IçImLL

Im÷÷è ø为广义基本循环矩阵，这里表示m´m阶零矩阵，Im表示m´m阶单位矩阵.定义5.3设I是m阶单位矩阵，,,,L

,Bn-1都是m阶方阵且,,,L

,Bn-1两两可以交换，令矩阵æI I I L Iöç ÷çL

Bn-1÷BB2 B2

B2 L

B20 1 2

n-1ç ÷çM M M M÷çBn-1

Bn-1

Bn-1 L

Bn-1÷è称此矩阵为广义范德蒙矩阵.

0 1 2

n-1ø定义5.4称n阶数量矩阵Dç0

0 LL

0ö0÷i2,L

,n-1,i çMMO ç ÷è0 0 Lø为广义n次单位根，其中(i2,L

,n-为n次单位根.引理5.1广义范德蒙矩阵B的行列式B=P-Bj.0£j<i£n-1证明用数学归纳法来证明，当n时，由于æI OI

öI öç 所以

Iø-øI OI I I I= ，-

I

O -I O I I

=-，-I

O -I IB B1 0所以 =B B1 00 1

，即当n时，结论成立.假设当nn,,,L换，则

,Bn-1两两可交æI O L

O OI I L Iöç ÷I LçO -B L

O OO OLB2 B2 L÷B2÷0 0 1 2 kç ÷çM M O M M M MO M÷çO O L

-B IBk

Bk L

Bk֏ 0

0 1 2 køI I L I öç ÷--B L-÷O 11-0)

22-0) L

kk-0)，ç ÷çM M M O M ÷Bk-1

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

-Bè 1 1 0 2 2 0

k k 0øæ --L-öç ÷ç11-0)

22-0) L

kk-0)÷ç M M O M ÷-1(B

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

-Bè1 1 0 2 2 0

k k 0øæI I I L

I-

O O L O öç ÷çB2 B2LB2 LB2

O -O LO O B-B L

O ÷O 1 2 3 k 3 0ç ÷çM M M O M

M M M O M ֍Bk-1

Bk-1

Bk-1 L

Bk-1

O O O

L B-B֏1 2 3

k

k 0øIIILIIILIIOLOOIIILI012Lk-0ILOO012LkB2 B2

B2 L

B2=O

B L

O OB2 B2

B2 L B20 1 2 k

0 0 1 2 kM M MO M M M O M MM M MO MBk Bk

Bk L Bk

O O L

B IBk Bk

Bk L Bk0 1 2 k

0 0 1 2 kI I I L IO -=O 11-0)-B L22-0) L-kk-0)M M M O MO Bk-1(B

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

B)1 1 0 2 2 0

k k 0-11-0)=-L22-0) L-kk-0)M M O MBk-1(B

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

B)1 1 0 2 2 0

k k 0IIILI-OOLOLO-OLO=B2 B2

B2 L B2

O O B-B L O1 2 3 k 3 0M M M O M M M M O MBk-1

Bk-1

Bk-1 L

Bk-1

O O O

L B-B1 2 3

k k 0æ öÕ-BjÕ-Õ-Bj.j<i£k-1

ø0£j<i£k即当n时结论也成立，则由数学归纳法可知引理5.1对任意自然数均成立.定理5.1对于广义循环矩阵，如果,,,L可以准对角化.证明取

,1两两可以交换，则æI I L I öç ÷çTD2LD2 L

Dn-1÷D20 1 n-1ç ÷çM M O M÷çDn-1

Dn-1 L

Dn-1֏0 1

n-1ø其中,,,L

,Dn-1为广义n,,,L

,Dn-1引理5.1可知T可逆，显然k k0 Lç0 e L

0ö 0÷ ç0

0 L 0öek L 0÷Dki

÷iI，i,k2,L

,n-1，i çMMO

çM MO ikç ÷ keè0 0 Leø è0 0 L iøi其中Dn，I为m阶方阵，因此i0 1i 2iA0 1i 2i1Dn-1

n-1i,i2,Ln

,n-1，2

n-11n-12n-22，(2

)Li,i2L

,n-12 n-1

n 2

n-123232 n-2

n-1

n-3 2 ，(23

)Li,i2L

,n-1L L L2 n-1

n

n-1n-1 2 3

n-1 ,

(D)

Li,i2L

,n-1上述等式用矩阵可表示为L

æI I1D D

L I öL D ÷çA A A L

A 0 1

n-1֍n-1 0 1

n-2D2

D2 L

D2÷÷çM M MO M0 1÷

n-1ç L

M M O M÷èøçDn-1

Dn-1 L

Dn-1־I I L

è0 1I 0 O O L

n-1øOöç ÷çL

Dn-1O L1 O L O÷D2

D2 L

D2O O L L

O0 1 n-1 2MMOOMMOOOLçM M O MM M÷çDn-1

Dn-1 L

Dn-1O L÷è0 1因此

n-1nøæI I Lç L

I 0 O O LL L

OI I L öI-1I-1ç

Dn-1O

1 O O

Dn-1÷A D2

D2 L

D2O O L L

OD2

D2 L

D2÷，0 1

n-1 2 0 1

n-1ç ÷çM M O MM M MO M

M M O M֍Dn-1

Dn-1 L

Dn-1O O O L

L 1

Dn-1 L

Dn-1֏0 1

n-1

n-10 1

n-1øn-1i å ji mn其中矩阵L=

j

ADj，i2,L

,n-1，因此A

能够准对角化.由此定理的证明过程可以得到以下广义循环矩阵的两个结论.推论5.1的行列式为

n-1Li.推论5.2可逆等价于矩阵Li,i2,L5.2r-循环矩阵定义5.5若矩阵A具有形状

,3均可逆.æa0L

an-2

an-1öç ÷çran-1A2

a0ran-1LL

an-3an-4

an-2÷an-3MMrMMr2r3LçM M M÷çra

ran-1 0÷1aè ø1a则称A为r-循环矩阵.由于A决定于第一行元素a0,,L

,an-1及参数r，故简记为A(a0,,,L

,an-1)，所有n阶r-循环矩阵的集合记作CMr，特别地，这里当r时即为定义1.1中的循环矩阵.定义5.6称n阶r-循环矩阵1 0L0 1 L

0 0ö0 0÷ç ÷JrMMO Mç ÷0 0L

0 1÷0 0L

0 0÷è øi为基本r-循环矩阵Jr0,L

,0)Jr(0,0,L

,1,0,L

,0)0 ,n .Jr=In

Jr=rIn定理5.2若A(a0,,L

,an-1)Î

CMrA=f(Jr)A=f(Jr)，n-1i则A(a0,,a2,L

,an-1)Î

CMr，其中f(x)ix.证明由Jr带入f(x)的表达式即得.定理5.3若A(a0,,L

,an-1)Î

CMr,b,,L

,bn-1)Î

CMr,则kA(ka0,,L

,kan-1)Î

CMr；A(a0,,L

,an-11)Î

CMr；n-1

n-1

n-1BACr(00rin-i,010rin-i,L

,in--i)Î

CMr.引理5.2基本r-循环矩阵Jr在复数域C上能够对角化.证明由于1 0L0 1 L

0 0ö0 0÷ç ÷JrMMO Mç ÷0 0L

0 1÷0 0L

0 0÷è ø所以l -1 0 L 00 l -1L 0 n ，lE-Jr

=M M MO-r0-r 0 0 L l从而它在复数域C上有n个互异的特征值l0，l1，l2L，ln-1n-1，n其中(i2,L

,n)为n次单位根，q=r.对于li(i2,L

,n-解相应的线性方程组(liE-Jr)xli各自的基础解系为（各基础解系都只有一个线性无关的特征向量）z,L

,qn-1en-1)T,i2,L

,n-1，i i i作可逆矩阵T0,z1,z2,L

,zn-1)，即æ1 1 1 L 1 öç ÷Tq L1çM M M O M ÷ç ÷qn-1

qn-1en-1

qn-1en-1 L

qn-1en-1è则T-1JT,L

1 2)

n-1ør 1 2

n-1定理5.4n阶r-循环矩阵A可对角化.证明由引理5.2知，r 1 2T-1JTr 1 2

1)所以J-1，又由于AEJJ2Jn-1,则r 0 1r

2r n-1rT-1AT=diag(

n-1aqi,

n-1aqiei,L

n-1, aqiei),所以A可对角化.5.3反循环矩阵

Si

Si 1

Si n-1当r-循环矩阵中r取-1时，就是下面所要讨论的反循环矩阵.定义5.7称复数域C上的n阶矩阵æa0L

an-1öç ÷Aan-1 L

an-2֍M M M O M֍ ֏-

-a2

-L

a0ø为反循环矩阵，简记为C-1(a0,,L定义5.8称n阶反循环矩阵

,an-1).1 0Lç0 0 1 L

0 0ö0 0÷ç ÷JMMMO Mç0 0 0L

01÷ç ÷1 0 0L

0 0÷è ø为基本反循环矩阵.定理5.5设n阶反循环矩阵A和基本反循环矩阵J，则有0 1 Lç0 0 0L

0 0ö0 0÷（ 1）

2J， J

ç ÷÷M MMO ML，÷-ç1 0 0-

0 1֍0 -1 0L

0 0÷-0 0-

è ø0 1ön-1

ç1 0 0L

0 0÷÷ n 0 ÷ J MMMO MJI，（定义J=JI）均为n阶反循环00L000L00L000L-1ç ÷ç0 0÷è ø矩阵（这n个矩阵称为反循环矩阵基本列）.2（2）n阶反循环矩阵A能够被反循环矩阵基本列J,J,L

n,J线性表示，反2n阶矩阵A能够被反循环矩阵基本列J,J,L环矩阵.证明（1）显然.（2）设n阶反循环矩阵A的多项式2

n,JA为反循n-1，f(x)xx1x则A=f(J)，反过来，因为反循环矩阵是r-循环矩阵的特殊形式，所以它对矩阵的和与数乘也是封闭的，故反过来也成立.注此时，称f(x)为反循环矩阵A的生成多项式.定理5.6设A和B是两个n基本反循环矩阵，则（1）AB是反循环矩阵，且AB=BA；-1（2）若A可逆，则A

是反循环矩阵.证明（1）因为反循环矩阵是r-循环矩阵当r1时的特殊形式，所以也显然成立.（2）设A1(a0,,L

,an-1)，X1(x0,,L

,xn-1)，则oAJ

2JJ

1J

n-1，oXJ令AX，得到方程组

2JJ

+xn-1J

n-1.ìa0-an-1-an-2x2L

-xn-1ï + -

L- =ï íï

a0

an-1x2LL

a2xn-1 0 ，an-123x2Lxn-1T上述线性方程组以x0,,x2,LT

,xn-1为未知量，系数矩阵为A

，由于A可逆，故A=A

¹0，所以线性方程组的解是唯一的，从而使线性方程组成立的n阶反-1循环矩阵X存在，即为A的可逆矩阵，也就是说A

是反循环矩阵.定理5.7设A为任意的n阶反循环矩阵，那么（1）A相似于对角矩阵；（2）A一定与循环矩阵相似；（3）任一n阶矩阵B可对角化等价于B相似于某一个n阶反循环矩阵.证明（1）先讨论基本反循环矩阵的相似标准形，J的特征多项式为lE-Jn特征值为xn的n个根，设为l

,l,l

,L,l

，显然0 1 2

n-1ls¹lt(s¹t,0<s,t-，所以它们互异，则存在可逆矩阵T，使得J可对角化，即0 0 1 2

T-1JT=diag(l,l,l,L

,ln-1)，-12

2 2 2 2T JT=diag(l0,l1,l2,L

,ln-1)，-1n-1

Ln-1

，n-1

n-1

n-1T J T=diag(l02

,l1

,l2n-1

,L,ln-1)，由以上可知，可逆矩阵T可使得J,J

,L

同时对角化，由定理5.5知n阶反循环矩阵A可由n阶基本反循环矩阵J的方幂线性表示，即取生成多项式则A=f(J)，所以-1

f(x)xx2-1 221x

n-1，n-1T

(a0IJJ1J -1 -1

-1n-1ITJTJ T=diag(f(l0),f(l1),f(l2),L所以反循环矩阵可以对角化.

,f(ln-1)),（2）设C为n阶循环矩阵，所以令它的生成多项式为2g(x)xx21x

n-1，由（1）知存在可逆矩阵T，有T-1=diag(f(l

),f(l

),f(l

),L

,f(l

))成立，欲使A与C相似，只须C与T-1相似，所以令

0 1 2

n-1g(ek)=f),k2,L

,n-

2kpsin2kp,i21，n n所以此方程组的系数矩阵为æ1 1 L 1 öç ÷DL1çM M O M÷ç ÷en-1

en-1 L

en-1è0 1

n-1 ø而detD¹0，所以线性方程组存在唯一解(c0,,c2,L

,cn-1),此时故A与C相似.

C=DT-11=(TD-1)-1A(TD-1),（3）必要性n阶矩阵B可以对角化，即存在可逆矩阵P,使得0 1 2P-1BP=diag(l,l,0 1 2

,ln-1),令f(x)xx2xn-1a,a,a,L,a

的线性方程组0 1 2

n-1

0 1 2

n-1f)k,(k2,L其中系数矩阵为

,n-=exp(i(2k/n),1 L

1 ön-1 ÷HL

e M O M ÷ç ÷e1Ln-1e1Lè 11

)n-1ø且detH¹0，所以方程组的解是唯一的，记为a0,,a2,L故B与n阶反循环矩阵A相似.

,an-1，令A=f(J)，充分性若B与某一n阶反循环矩阵AAB与对角矩阵相似.结