导数中不等式证明的思维拓展 论文

PAGEPAGE1导数中不等式证明的思维拓展摘要：本文探讨了虚设零点，切线放缩，凹凸反转等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路.使用这些方法可以简洁、快速地解决一些不等式的证明问题.关键词：导数;不等式;证明引言：导数作为高中数学内容的重点知识，也是历年来高考的典型题型，通常会设置在压轴题目位置，并与求证不等式结合，从而考查学生利用导数对不等式进行求解的掌握能力，有些不等式的求解难度高，通过比较法、归纳法、判别法、数学归纳法、反证法等都难以求解，对学生来说求证难度大，导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法.本文对导数证明不等式的方法进行了几种归纳和探究，利用之，能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解，寻找一些规律，实现一题多解，帮助学生拓展思维，打开思路，快速攻克不等式求证.1.单变量不含参不等式证明方法之虚设零点（隐零点问题）（1）隐零点问题处理的基本思路：形式上虚设，运算上代换，数值上估算．（2）隐零点问题求解步骤：①用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f)，并结合f的单调性得到零点的取值范围．②以零点为分界点，说明导函数f的正负，进而得到f(x)的最值表达式．③将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．2.单变量不含参不等式证明方法之切线放缩生成方法一：利用曲线的切线放缩，实现以直代曲，化超越函数为一次函数（1）y=ex设y=ex上任一点P的横坐标为m，则过该点的切线方程为：y-em(x-m)，即y(x-mem，由此可得与ex有关的不等式：ex³em(x-mem，其中xR，mR，等号当且仅当x时成立．特别地，当m时，有ex³1+x;当mex³ex．（2）y

x设yx上任一点的横坐标为n，则过该点的切线方程为：y-ln

n=1(x-n)，即y=1x-n，n n由此可得与lnx有关的不等式：ln

x£1x-n

n，其中xn，等号当且仅当x时成立．特别地，当n时，有ln

x£x-1;当n时，有lnx£1x．e生成方法二：利用曲线的相切曲线进行放缩，化超越函数为分式函数由图1可得lnx³

x-1;由图2可得lnx

x³-1 ;ex;由图3可得，ln

x£2(x-(0<x，lnx³x

2(x-(x³;x由图4可得，lnx³

1(x-2

1)(0<x，lnx

x£1(x-2

1)(x³．x用xx的位置，相应的可得到与ln(x有关的常用不等式．3.单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转（或公切线隔离）（1）凹函数、凸函数的几何特征yｙ＝fyｙ＝f(x)Ox1x2xyｙ＝f(x)Ox1x2x图象上任意弧段位于所在弦的下方的函数为凹函数

O图象上任意弧段位于所在弦的上方的函数为凸函数x图5凹凸函数几何特征图（2）凹函数、凸函数的导数特征①定理1设函数f(x)为区间(a,b)上的可导函数，则f(x)为(a,b)上的凹函数Û

f为(a,b)上的递增函数Ûf(x)³0不在(a,b)的任一子区间上恒为零．②定理2设函数f(x)为区间(a,b)上的可导函数，则f(x)为(a,b)上的凸函数Û

f为(a,b)上的递减函数Ûf£0且不在(a,b)的任一子区间上恒为零．（3）凹凸反转证明f(x)时，大多数情况下都是证明f(x)min，但很多时候，f的零点无法求解.此时可以用设隐零点的方法,但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.例1(2021高考模拟）设函数f(x)x-2ln

x求证：f(x)³4．解析 可证f存在唯一零点，所以可设f在(0,)上的唯一零点为x0．当xÎ

(0,x0)时，f;当xÎ

(x0,)时，f．所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,)上单调递增，当且仅当x时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．x因为2e2x0-x

2，2xln

x所以f(x)=1

³4.x0 0 0 0x0 01(当且仅当=2

时等号成立)所以f(x)³4.法二（凹凸反转）e2x-2lnx

4 e2x

2ln

xf(x)³4Û ³ Û ³ ．x x x x构造函数g(x)=

e2xx

，求g(x)min.构造函数h(x)=

2ln

xx

，求h(x)max，由g(x)min³h(x)max即可证明.法三f(x)³4Û

e2x-2ln

x³4Û

e2x³2ln

x.证明e2x³2ex，2ln

x£2ex即可.（即找y和y=2ln

x的隔离直线y.或者说对y进行切线放缩）点评：法一利用f的隐零点x0求出f(x)最小值，结合基本不等式即可证明，解法较为常规，有时隐零点求最值较为繁琐.法二通过构造双函数g(x),h(x)由g(x)minh(x)max来证明，要求非常熟练掌握一些常见的指对函数和多项式组合的函数与最值.法三通过找隔离直线y来证明较为简单.例2(2022高考模拟21题第二问）已知函数f(x)³ln

x．证明：对任意的x，不等式xex³

f(x)恒成立，解析 法一（最值分析）要证对任意的x，不等式xex³

f(x)恒成立，PAGEPAGE5即证x时，xex³ln

xx(ex--ln

x-1³0恒成立，令g(x)=x(ex--ln

x-1，=x(ex-

1-1=(xxx xx

-，再令h(x)=xex-1，=(x，所以h(x)为(0,)上的增函数，又h(0)1，-1，所以存在唯一的Î使h(x0)，即

-1，所以当xÎ

(0,)时，h(x)g(x)为减函数;当xÎ

(x0时，h(x)g(x)为增函数;所以g(x)ing(x)x(e0-)-nx

-1xe0-nx

-x-1，0 0 0 0 0 0又由xe0-10得xe0,-nx

=x．0 0 0 0x所以g(x)min=g(x0)-1+x0.x故对"xg(x)³

g(x0)xe

³ln

x恒成立，即对任意的x，不等式xex³

f(x)恒成立．法二（最值分析）要证对任意的x，不等式xex³

f(x)恒成立，即证x时，xex³ln

xlnx£1恒成立，xexg(x)=ln

x

g(x)max

g(x)max£1令xex

，求 由 即可证明.法三（同构＋切线放缩）要证对任意的x，不等式xex³

f(x)恒成立，即证x时，xexx³ln

xex³

x恒成立即得）点评：法一构造差值函数g(x)，再利用隐零点法求g(x)min0证明，法二构造商函数g(x)，再求g(x)max1证明，法三同构函数结合切线放缩来证明较为简单，但要求熟练掌握一些常见指对函数同构，通过巧妙的同构函数，借助该函数的单调性简化不等式.同构思想非常考察学生的数学建模、数学抽象、数学运算等数学核心素养.例3（2020福州模拟)已知函数f(x)=eln

x-ex证明：xf(x)-ex£0．PAGEPAGE6解析 法一(指对分手（凹凸反转）)ex因为x，所以只需证f(x)£ -2e,xx因为f(x)max=fe．记g(x)=ex

-2e(x，则=(x

-1)exx2

x，所以当0<xg(x)递减;当x，g(x)单调递增，所以g(x)mine．ex综上，当x时，f(x)£g(x)，即f(x)£ -2e,即xf(x)-ex£0．xyyxg)= 2∙exOxf)=∙ln)∙x图6法二(指对分手（凹凸反转）)由题意知，即证exln

x-ex2-ex£0，从而等价于ln

exx-x£ ．ex设函数g(x)

x-x，则=1-1．x所以当xÎ时，g(x)单调递增;当xÎ)时，g(x)递减;从而g(x)在xÎ

(0,上的最大值为x xx设函数h(x)=e

，则=e(

-．ex2所以当xÎ时，h(x)递减;当xÎ)时，h(x)递增;从而h(x)在(0,)上的最小值为．综上，当x时，f(x)£h(x)，即xf(x)-ex£0．PAGEPAGE7yyxh)=∙xOg)=ln)x+2x图7法三（同构＋切线放缩）由题意即证exln

x-ex2-ex£0Û

exlnx-x£ Û

lnx-x<ex-lnx-1．②整体代换：令t=x-ln

x-1³0，ex②证明 =ex-Inx-1³ex

x-ln

x-=x-ln

x³1lnx-x£x-1-x法四（同构＋切线放缩）由题即证ex=ex-lnx．

lnx-ex2-ex£0Û

exlnx-x£ Û

eln

exx-ex£x①整体代换：令t=x-ln

x³1，ex②证明： =ex-lnx³e(x-lnx

x)-eln

x³ex-e(x-;eln

x-ex£e(x--ex即可．点评：法一、法二构造双函数，利用其最值进行证明，凹凸反转关键是如何分离，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较;法三、法四通过同构函数结合切线放缩证明，同构法是证明不等式的一种技巧，同构法