函数在实际生活中的应用 论文

函数在实际生活中的应用摘要在数学领域里,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应另一个集合里的唯一元素.也就是说用解析式表达函数关系的式子.函数有许多种:一次函数,二次函数,较简单的函数在实际生活中的应用问题.一次和二次函数比较简单,主要是运用一些图象来泛,对于一些较为复杂的问题用这些理论求解更为简单可行.关键词 导函数；定积分；二次函数；最优化模型；正态分布函数PAGEPAGE10引言在实际生活中要用到函数来研究一些问题。所谓函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y,变量Y随X一起变化,且依赖于XX取某个特定的值,Y依确定的关系取相应的值,那么称Y是X19世纪提出来的,但最早产生于德国的数学家莱布尼茨,17世纪他首先使用了function,汉语的意思是函数,直到18世纪法国数学家达郎贝尔在进行研究中才给函数下了一个定义,他认为所谓变量的函数,就是指用这些变量和常量所组成的解析表达式,即用解析式表达函数关系。我们常见的一次大特点在于它突出了函数之间的依赖变化的关系,反映了函数概念的本质属性。有些同学在学习数学知识时,脱离实际,硬被定理就会觉得非常枯燥。其实,学习数学如果能与实际问题决一些实际问题。一、函数的概念给定两个实数集D和MfD内每一个数x唯一的一个数yÎ

M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:D®M,xay。数集D称为函数f的定义域，x所对应的函数y，称为f在点x的函数值，长记为f(x)。全体函数值的集合f(D)y=f(x),xÎ

DM)称为函数fx为自变量，y二、函数的最值及导数、定积分在实际生活中的应用1、导数的应用定义1设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，若极限

f(x)-

f(x0)x®x0

x-x0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'(x0).下面是导数的应用举例例1求函数f(x)=x2在点x处的导数，并求曲线在点处的切线方程。解由定义求得f-

f(x) -1 f=lim

=lim

=lim

=lim(2由此知道抛物线y=x2在点处的切线斜率为k=f所以切线方程为y-1=2(x-即y=2x-1例2求下列函数的导数f(x)=x3解当时，f(x)=x3.f'(x)=3x2当时，f(x)x3.f'(x)3x2.-0

--0当x时，f'(0)=limf'(0)=limÞf'(x)

+ì3x2,íï0,xíîï-3x2,î

- 例3100米高度相同的支柱上，铁链的最低点在悬点下10米处，求铁链与支柱所成的角。解建立坐标系如图。设铁链的抛物线方程为y=kx2因为x米时，y米，代入得到10=2500kÞ

y=1x2250而tana=f=lim所以铁链与支柱所成的角

(50-502 2=2505b

p-a

p-arctan2==2 2 5.==2.函数的最值问题定义2设f为定义在数集D上的函数。若存在x0Î

D,使得对一切xÎD有f(x0)³

f(x)(f(x0)£f(x))，则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x0)为f在D上的最大（最小）值。下面是一些具体的例子例1 求函数z=2x2+y2-8x-2y在D：2x2+y2£1上的最大值和最小值。解zx=4x-zyy-2令其为零得xy，点Ï

D,故z在D上的最大值最小值只能在D的边界2x2+y2上取到。于是问题转化为：求z8x-2y在条件2x2+y2下的最大值和最小值。构造Lagrange乘法函数L8x-2y-l(2x2+y2-求L的所有偏导数，并令其等于零得ì-8-4lxíï-2-2lí

yîï2x2+y2-1î解得x=2,y

1,或x2,y1=3 3 3 3=代入得zmaxzmin例2 求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在ax=1下的最小值。解令L(x,y,z,l)=x2+y2+z2(ax-则=2xa,Lyyb,=2zc,-令=Lyìx=得到唯一解aï a2ïíïy=ïíïz=

ba2cîï a2î显然f有最小值，而稳定点唯一，故该点为最小值点，因此最小值为( 2 2 2( 2 2 2f )))= .

a2

a2

a2

a2例3一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知当速度为km/h6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元。问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？解假设速度为x(km/h),根据题意每航行1km的耗费为y=1(kx3x有已知当x时，k故得比例系数k=0.006.所以有y=1(0.006x3xÎx

(0,).令y'=0.012(x3-8000)x2求得稳定点x。由极值第一充分条件检验得x是极小值点，由于在(0,)点。所以求得当船速为20(km/h)时，每航行1km的耗费为最少，其值为iny =0.006´in

96+20+3.定积分及其应用定义3设区间[a,b]内有n-1个点依次为a01..n-1nb，它们把a,b]分成n个小区间ii-1,i,i,2...这些分点或子区间构成对a,b]的一个分割，记为T0,1,...n或,2,..n。小区间的长度为-xi-1，并记T

xi,称为分割T的模。定义4设f是定义在a,b]上的一个函数。对于a,b]的一个分割T1,2,..n,任取点iÎi,i,,..n,并作和式nå

f.称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和，也称黎曼和。定义5设f是定义在[a,b]上的一个函数，J数e，总存在某一正数d，使得对[a,b]的任何分割T，以及在其上任意选取的集i,只要T就有nå

f-J则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积；数J称为f在[a,b]上的定积分或黎b曼积分，记作Jaf(xd.其中，f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a和b分别称为这个定积分的下限和上限。例1求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cos的一拱与x轴所围成的平面图行的面积。解摆线的一拱可取tÎ

所求面积为2pA

a(1-cost)[a(t-sint)]'dt=a2ò

(1-cost)

2dt=3pa2.2p0 2p例3 在纯电阻电路中，已知交流电压为Vsin求在一个周期])内消耗在电阻R上的能量W，并求与之相当的直流电压。wV20解在直流电压)下，功率P=0R

,那么在时间T内所作的功为W=PT

V2T=0 .现在V为交流电压，瞬时功率为RP(t)

Vms2in2=R2=这相当于在任意时间区间t

很小时，可以把V近似看作恒为Vmsin的情形。于是取功的微元为dW=P(t)dtVT 2p 2 2V并由此求得W=

P(t)dt=

w ms2in。0 0

=R - 1T

w2

()2V2 2 P T0

2R R而平均功率为

= òP(t)dt= ×

m=m=

.上式结果表示交流电V=sin在一个周期上的平均功率与直流电压V=的功率是相等的，所以称2V为该交流电压的有效值。通常所说的220伏交流电压，其V2sin的有效值.三、线性规划最优解及其应用一般在性性规划问题中，DAxx³若xÎ

D则称xx*Î

D且对任意xÎ

D有cx*£cx,则称x*为(LP)的最友解，cx*为最优值。1.线性规划最优解的几种情况：（1）线性规划有最优解时，可能有唯一最优解，也可能有无穷多个最优解。当值均相等。（2）线性规划没有最优解时，也有两种情况。一是可行域为空集，二是目标函数值无界（求最大时无上界，求最小时无下界）例1求解下列线性规划minz-x2,-x£2, 1 2-4x2£2,,x2³0.解将原规划化为标准型minz-x2,-x 1 2 3-4x2,x2,,x4³0.单纯型表格如下图所示：得到最优解x*=(0.2)T,最优值z*2x的检验数为Y£01 1*可无限增大，此时最优值为z*2，最优解是(x*,x*),2),其中l³0.1 1 2x2x4x4-1101-401221-100x2x4-1110-30-4121000102.求目标值最大值情形对于目标值最大值的情形，我们可取c'c

或取c'-c

，M为适当ij ij

ij ij大的数，此法不会影响到最优解，通过此法，可将均变为非负数下面我们来列举在我们在生活中的例子。例2学生B,C,D的各门成绩如图所示，将这四名学生派去参加各门课的单项门课满分为10分）作为选派依据应如何分派最为有利。解由下面表格构造出每人各门课程失分-)情况，我们可以依据失分总和最少来指派同学参加竞赛，学科分数数学物理化学英语A89926881B87886578C95708572D75788996118321183219ö13 12 35 22÷5301528÷ç2522114÷øC=ç ÷将每个元素减去同行最小元素得到，则0 2411öç ÷0 2310ç ÷=

0 2510 23÷çç ÷18 7 0ø将中每个元素减去同行最小元素得到C2,则0 17 11ö÷1=÷1=ç0160253C2 23÷ç ÷18 0 0ø用三条直线覆盖C2的第一列，第二列和第四行，得到未被覆盖的元素的最小值，于是C3为0 14 8ö0 13 7÷ç ÷C3=

0 25 0 20÷çç ÷21 0 0ø用三条直线覆盖C3的第二列,第三行和第四行，得到未被覆盖的元素的最小值为0 13 7ö00=ç012602602C4 ÷0÷ç ÷22 0 0ø由C4对应的补矩阵D1 0 0ö1 0 0÷D÷01 0÷ç ÷01 1ø其积和式perD,可以得到最优解方阵1 0 0ö0 0 0÷X÷01 0÷ç ÷0 01ø即指派方案为：A由参加物理竞赛，B参加数学竞赛，C参加化学竞赛，D参加英语竞赛，总得分为92+87+85+96=360.四、函数在概率中的应用1.正态分布及其应用正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布。其密度函数[1]是(x-f(x)=s

1 -e

2s2R,sxÎRyx=0x与xx线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。(见下图)(1)、“3σ－原则”及其应用谓X是来自正态总体N2)时，则有P(X-m£)=0.9973»1。由中心极限定理知，同一条生产流水线上生产的产品的某质量指标应该服从正态分布N2)，如果生产正常，那么，这种产品的该项指标数值都应在,)内，否则，认为生产是要及时发现误差，分析造成误差的原因并及时调整。位：小时）是否符合正态分布规律。具体数据如下：1791093013207929321519025936785365343430281174322461382871051452212381959016534923244218111114732338023215229118194265123284241159280101212224379179264222362168250149260485170344216326272158296308220229191369190274175197359193382223164219438279319341317273244337170239284401326264328运用概率统计的知识对以上数字进行分析可知：在“3σ原则”下质量标准合格率为99.73%。(2).随机贮存策略例1商店在一周中的销售量是随机的,每逢周末经理要根据存货的多少决定是否订购货物,以供下周的销售.适合经理的一种简单的策略是制订一个下界s和一个上界S,当周末存货不少于s时就不订货;当存货少于s时就订货,且订货量使得下周初的存货量达到S。分析显然，总费用（在平均意义下）与(s,S)策略，销售量，随机规律以及单项费用的大小有关。模型假设：时间以周为单位，商品数量以件为单位。(1)每次订货为（与数量无关），每件商品购进价为，每件商品一周的的贮存费用为c2，每件商品的缺货损失为，相当于出售价，所以。(2)一周的销售量r是随机的，可视为连续变量，概率密度函数为P(r)。(3)一周的销售量是集中在周初进行的，即一周的贮存量为x-r不随时间改变。由此建立模型，当周末存货时，订货量从而计算一周总费用的期望值，即平均费用。(4)记周末的存货量为x，订货量为u，并且立即到货，于是周初的存货量为x。则J(u)

ì+L(xu，（1）íîL(x),uíx ¥其中L(x)ò(x-r)p(r)drò(r-x)p(x)dr（2）0 x我们先在的情况下，求使J(u)达到最小值，从而确定S为此计算dJ du120

¥p(r)dr-3xu

p(r)dr（3）令dJdu记x，并注意到

¥0p(r)dr1，可以得到：cI(s)cI(s)+cI(s)SòP(r)dr c-c 0¥Sp(r)dr

=3 1（4）c2这就是说令订货量u加上原来的存量xSc2，S应越大。下面确定s，当存货量为x时，若订货则由（1）式在S策略下平均费用为J1(S-x)+L(S),若不订货则平均费用为J2=L(x)。显然，当J2£J1,即L(x)£(S-x)+L(x)（5）时应不订货。记I(x)x+L(x)（6）则不订货的条件（5）表为I(x)£(S)（7）(7)式右端为已知数。于是s应为方程I(x)(S)（8）的最小正根。I(x)与J(u)式），可知I(x)是下凸的，且在x时达到极小值，如图所示，在极小值I(S)上叠加，按照图中箭头方向即可得到s。综上所述，根据模型（1）（2）所确定的(s,S)策略，由（4）（6）(8)式给出，当,,c2,及p)给出后，s,S可以唯一解出。注在这个模型中贮存费用的计算是比较困难的，因为一般说贮存费与贮存时间有关，所以必须对一周内贮存量的变化情况作出适当的假定。五、几个简单函数在实际生活中的应用1.二次函数定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2其中（a，b，c为常数，a¹0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,｜a｜还可以决定开口大小,｜a｜越大开口就越小,｜a｜越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数（2）二次函数的类型在平面直角坐标系中，可以看出二次函数的图象是一条抛物线。类型I：已知f(x)=2x2，求f(x这里不能把f(x理解为x=xx函数值。类型Ⅱ：设f(x=x2-4xf(x)fxx2-4x，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成xf(x=x2-4x(x-6(x，再用x代xf(x)=x2-6x(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令 t=x则

x-1∴

f(t)--4(t-2-6t从而f(x)=x2-6x在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2在区间(-¥,-b]及[-b,)2a 2aR上或是只有化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再适当的补充一些练习。二次函数，它有非常丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它问题的能力。（3）应用举例例1 应用二次函数知识解决赢利问题将单价为8元的商品按10元一个销售时,每天可卖100个,若这个商品销售价每上涨1元,销售价就减少10个,为了获取最大利润,此商品的售价应定为每个多少元?解 设商品售价每个应定为x元,则每个商品利润为:x-8销售量为:

100-10(x-10)-10x.设总利润为y,则Y=(x-8)(200-10x)10(x2-28x10(x-14)2所以当x时,可获最大利润360元.故此商品的售价应定为每个14元.注:一般地,对于盈利问题,主要是依据公式:利润=销售量乘以单个利润,以此列出函数解析式.2.三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。它有六种基本函数：函数名正弦余弦正切余切正割余割符号是sincostancotseccsc正弦函数sinq=a余弦函数cosq=b正切函数h htanq=a余切函数cotq=bb a下面来学习一下三角函数在实际生活中的应用问题:停车场设计问题例1如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮,其中ATPN是一半径为90米的扇形小山,P是弧TN上的一点,其余部分都是平地现在一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值.分析矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关,连接AP,延长RP交AB于M,若直接设RP的长度为x.则PM=100－x3.14在a=

Rt三角形APM中,AM=

902--x)26从而得PQ=MB=100－AM,S=(100－AM)x=PQx显然可以得出函数关系,但是求解面积的最值比较复杂.不妨以角为变量建立函数关系.解 如图添加辅助线,设角PAB=

A(0＜A＜90),则AM=90cosA,PM