完全平方公式 名师获奖

14.2.2完全平方公式（一）

baabbaba

图1

图2

完全平方公式

一块边长为a米的正方形实验田，图1—6a

因需要将其边长增加b

米。

形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).

用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abb直接求：总面积=(a+b)；2间接求：总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发现了什么?探索:

2公式:一、创设情境a2ababb2

探究完全平方公式探究计算下列各式,你能发现什么规律?(p+1)(p+1)=______；(m+2)(m+2)

=________;(p-1)(p-1)=________;(m-2)(m-2)

=________.P2+2p+1m2+4m+4P2-2p+1m2-4m+4

完全平方公式(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;

a2−2ab+b2.

（2）小颖写出了如下的算式:(a−b)=[a+(−b)]2

(a−b)2=

她是怎么想的?利用两数和的完全平方公式

推证公式

(a−b)2=[a+(−b)]2=

2

+

2

+

2

aa(−b)(−b)=a22ab−b2.+你能继续做下去吗?的证明

二、合作交流你还有其它方法吗想一想

你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?baabbaba

图1

图2思考:bbaa(a+b)²a²b²abab++和的完全平方公式：完全平方公式的几何意义aabb(a-b)²a²ababb²bb差的完全平方公式：完全平方公式的几何意义(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数的积的2倍。（或差）（或减去）口决：首平方，尾平方，首尾二倍放中央。结构特征：(首

±

尾)²

=

首²

±2×首×尾

+尾²完全平方公式平方项都得正，积的符号首尾定。代数式首尾中间符号完全平方公式(a+3)2()2__2()()+()2(y-1/2)2()2__2()()+()2(-2s+t)2()2__2()()+()2(-3x-4y)2()2__2()()+()2-++-结论*首尾平方总得正；

**中间符号看首尾，同号得正，异号得负

***中间两倍

要记牢a3y-2st-3x4ya3a+3yy--2s-2stt+-3x-3x4y4y-例1、运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2解：(x-2y)2==x2(2)(x-2y)2(a-b)2=a2-2ab+b2x2-2•x•2y+(2y)2-4xy+4y2(1)1022解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404(2)992解：992=(100–1)2=10000-200+1=9801

例2、运用完全平方公式计算：1.运用完全平方公式计算:(1)(x+6)2;(2)(y-5)2;(3)(-2x+5)2;(4)(x-y)2.

2.运用完全平方公式计算:(1)9.9；(2)201.基础练习:思考

(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?

为什么?

下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2错错错错(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2

(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2想一想:计算：六、你会了吗一般选用和的完全平方公式；2.(-2a+3b)2=3.(-2a-3b)2=一般选用差的完全平方公式。当二项式中两项符号相同时，1.(3x+7y)2=方法：当二项式中两项符号相反时，八、错题解读

下列等式是否成立?说明理由．(1)(

4a+1)2=(1−4a)2；(2)(

4a−1)2=(4a+1)2；(3)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；(4)(4a−1)(

1−4a)＝(4a−1)(4a+1).(1)

由加法交换律

4a+l＝l−4a。成立理由:(2)

∵

4a−1＝

(4a+1)，成立∴(

4a−1)2＝[

(4a+1)]2＝(4a+1)2.(3)

∵(1−4a)＝−(

1+4a)不成立．即(1−4a)＝

(4a−1)＝

(4a−1)，∴(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[

(4a−1)]＝

(4a−1)(4a−1)＝

(4a−1)2。

不成立．(4)

右边应为:

(4a−1)(4a+1)。拓展练习:1.=_______;2.若是一个完全平方公式,则_______;3.若是一个完全平方公式,则_______;1例3.

若求4.请添加一项________，使得是完全平方式.5.已知(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2

.aabba2ababb2结构特征:左边是的平方;二项式右边是a2

两数和)(差)(a+b)2=a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2a2+2ab+b2两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.(a−b)2=a2−2ab+b2几何解释:用自己的语言叙述上面的公式语言表述:两数和的平方

等于这两数的平方和

加上这两数乘积的两倍.(差)(减去)三、总结归纳4.若求5.已知我们来计算(a+b)2,(a-b)2.(a+b