第六章 投影变换

第六章投影变换§6-1问题的提出§6-2换面法基本概念点的投影变换规律四个基本作图问题§6-2应用举例第六章投影变换§6-1问题的提出§6-2换面法基本概念点的投影变换规律四个基本作图问题§6-2应用举例§6-1问题的提出

几何元素相对投影面处于某种特殊位置时，其投影往往能直接反映交点、交线的位置或图形实形、线段实长等。定位问题度量问题实形距离实长交点交线几何元素处于一般位置时怎么办？几何元素不动变换投影面位置投影变换的目的改变几何元素与投影面的相对位置，借助于改变后所得投影——辅助投影，以达到简化解题过程的目的。投影面不动几何元素绕某轴旋转换面法旋转法§6-2换面法如何求线段AB的实长？当V1//AB时a1'b1'

=|AB|VHXV1X1a1'b1'Aaba'b'B一、选择新投影面的原则VHXV1Aaba'b'BX1a1'b1'新投影面必须垂直于原投影面体系中的某一投影面以构成新的相互垂直的新投影面体系

新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置X1aa'axAVHXV1ax1a1'XVHa'aaxX1HV1a1'ax1点到H面之距二、点的投影变换规律点的投影变换规律

在新投影面体系中，点的新投影和不变投影的连线必须垂直于新投影轴。

新投影到新轴之距=被更换的旧投影到旧投影轴之距X1HV1a1'ax1XVHa'aax旧投影不变投影新投影新投影轴XVHa'a点的二次换面X1X2HV1V1H2a1'a2注意:必须依次更换投影面三、四个基本问题将一般位置直线变换成投影面平行线求AB实长及对H面倾角

X1a1'b1'

实长HV1a'b'abOVHX空间分析当AB为新投影面的平行线时，其投影直接反映实长更换哪个投影面？V要求（与H面倾角），则必须保留H面而使AB平行V1如何确定X1轴的方向X1aba1b1V1H投影分析X1//ab一次换面例可以将一般位置直线变换为投影面平行线，从而求出直线的实长以及直线与不变投影面之间的夹角。将一般位置直线投影面垂直线更换一次投影面不能实现PXX1BabP1b1a1P2a2b2A将一般位置直线变换成投影面垂直线VHV1a1'H2空间分析将投影面平行线更换一次投影面投影面垂直线两次换面1、将一般位置直线投影面平行线２、将投影面平行线投影面垂直线X1X2Baba'b'b1'a2b2AXX1X2a2

b2a1'b1'作图HV1V1H2将一般位置直线投影面平行线将投影面平行线投影面垂直线Xaba'b'HVVHXX1X2Baba'b'V1b1a1H2a2b2A新投影轴方向的确定X1//abX2

a1b1关键a'b'k'kabXVH过点K作直线与AB垂直相交并求其实长X1b1'k1'X2l1'll'X1//abk1l1//X2HV1V1H2空间分析在什么情况下所求线段的投影直接反映其实长?ABKLPablkABPKL//P如何将AB变换成投影面垂直线？//a1'求点K到直线AB之距离，并求垂足。投影分析如何确定新投影轴的方向将AB变换成投影面平行线将AB变换成投影面垂直线如何返回原投影面体系ABKLPablkX2a1b1a2b2l2k2例一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？

a

b

c

abcdVHABCDX

d

把一般位置平面变换成投影面垂直面如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。V1X1c1b1a1

d1空间分析：在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！必须使平面内某一直线成为该投影面的垂直线取平面内的投影面平行线X1X1方向如何确定X1

bmm'mc1'HV1a'b'c'bacXVH一次换面

a1'b1'将一般位置平面变换成投影面垂直面a'b'c'bacXVH将一般位置平面变换成投影面平行面求ABC实形空间分析平面相对于投影面处于何种位置时其投影直接反映实形投影面平行面先将平面变换成投影面垂直面X1HV1a1'a2b1'b2c1'c2X2V1H21'1X1

b1再将平面变换成投影面平行面X2//c1'b1'a1'实形两次换面例b

a

abcd●c

例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN●m

●d

●a1

≡b1

≡m1

●n1

●c1

●d1

●n空间及投影分析：VHXHV1X1圆半径=MN●n

●m当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：请注意各点的投影如何返回？求m点是难点。..空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例:过C点作直线CD与AB相交成60º角。d

X1HV1X2V1H2ab

a

c

b

XVHc作图：c2●●●c1

●a1

b1

●a2●d2●d●b2●

几个解？两个解！已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D点的投影如何返回？..H2V1X2HV1X1c

d

b

a

dacb●d1

●c1

●a1

●d2●b1

c2●●a2≡

b2θVHXθ例：求平面ABC和ABD的两面角。空间及投影分析：由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。..本章主要介绍了投影变换的一种常用方法——换面法点的变换规律是换面法的作图基础，必需熟练掌握。3.4本章内容总结选择新投影面的原则四个基本问题是解题的基本作图方法。应熟练掌握。换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关系,同时又有利于解题。换面法的四个基本问题：

2.把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线解题思路：采用反推法空间分析建立解题结果模型由结果反推解题过程根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。例：求已知直线与平面的夹角的实际大小。m’n’nma'c'b’bca解题过程分析：空间分析建立解题结果模型由结果反推解题过程当直线MN平行于某一投影面，且平面ABC同时垂直该平面时，即可得到

p3MNm3n3

ABCa3b3c3解题过程：将一般位置平面ABC变换成投影面平行面将一般位置直线MN变换成投影面平行线两次变换一次变换三次变换例（6-19）：求已知直线与平面的夹角的实际大小。m’n’nma'c'b’bcaX1HV1a'

1b'

1c'

1m'

1n'

1X2V1H2a2b2c2m2n2X3H2V3a'

3b'

3c'

3m'

3n'

3θ.例（6-17）：求两异面直线的距离。a'c'b'abcdd'OVHHX1V1a1

b1

c1

d1

V1H2

X2c2d2a2b2m2n2n1

m1

m2n2为距离实长。m1的位置？MN为何种位置线？空间分析：只需将其中的一条直线变换为投影面垂直线即可。继续，返回到原投影！XMN为P2的平行线！m1n1//X2轴。P2CABNMa2b2c2m2d2n2D.需要几次变换？两次变换mnn'm'..例过点A作直线，令它与H面夹角为450，并垂直于线段BC。空间分析过点A与H面的夹角为450的直线的轨迹是：以A为顶，过A的铅垂线为轴线的圆锥面。过点A与直线BC垂直的直线的轨迹是：过点A垂直于直线BC的垂面P。a

b

c

abcOX450交线即为所求作图步骤1、作出圆锥面的两面投影BC的垂面如何作出？将BC变换为投影面平行线，则垂面为投影面垂直面。2、保持H面不变，将直线BC变换为投影面平行面。X1HV1b1

c1

a1

PV1m1(n1)3、过点A作直线BC的