质点动力学习题(英文版)

Problem9-67DeterminetheCMofamachinepartthatisauniformconeofheighthandradiusR.[Hint:Dividetheconeintoaninfinitenumberofdisksofthicknessdz]SOLUTIONTheCMlinesonthez-axis:Foradifferentialelementweuseacircleatheightz,thicknessdz,andradiusIf

isthemassdensity,themassofthiselementisWeintegrateovertheconetofindzCM:ThustheCMisatHomework:9-67HINT:Wecantreatthesystemastwocircles:acircleofradius2R,density

andacircleofradiusR,density-.试求:该质点对原点的角动量矢量.解：例:一质量为m的质点沿一条二维曲线运动其中a,b,

为常数

(恒矢量)或由5

例

锥摆的角动量对O点力矩：对O点合力矩不为零，角动量变化。对O

点力矩：合力矩为零，角动量大小、方向都不变（向上）。（合力不为零，动量改变！）OlO

锥摆m注意：重力矩的方向6

例

一根长为l的轻质杆，端部固结一小球m1

，碰撞时内力矩之和为零，重力和轴力（杆中的张力）都通过O，解：选m1（含杆）+m2为系统另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度ω对O

总力矩为零，故角动量守恒。lm1O

v0m2

解得：思考（m1＋m2）的水平动量是否守恒？有例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向离开大物体时速度v

，求：内力所做的功。对m，内力所做的功对M，内力所做的功对M,m分别用质点的动能定理：RabDC解：M,m为系统，在水平方向不受外力动量守恒可得：m:也可从机械能定理的角度考虑这一对内力具有相同位移，故这一对内力所做的功总和为零。RabD系统的机械能守恒！例：一弹簧原长为R,劲度系数为k,其一端固定半径为R的半圆环一端A处,另一端和一套环相连,在把小环由半圆中点B移到另一端点C的过程中,弹簧的拉力对小环所作的功。ABC解:弹簧拉力是保守力,保守力做功为势能增量的负值brminvv0所求机械能守恒对太阳的角动量守恒例从太阳系外飞入太阳系的一颗流星离太阳最近的距离为rmin，这时它的速率为7.5×104m／s。若不考虑其它行星的影响，试求这颗流星在进入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄准距离b

。分析：例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数

，在外力作用下小物体（质量m）以速率v做匀速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r解：小物体对环带压力走一段小位移ds摩擦力所做的功转一周OabABVdv12P44相对运动问题的关键：一个动点；两个参考系(1)如图，对物体、槽和地球系统，外力不做功，物体和槽的相互压力N和N'具有相同位移，所以做功之和零。因此系统的机械能守恒。以

和分别表示物体离开槽时物体和槽的速度，则有解：4.对物体和槽系统，由于水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒。又由于和皆沿水平方向，所以有联立上两式可得（2）对槽只有物体对它的压力N推它做功。由动能定理可知在物体下落过程中，物体对槽做的功就等于槽的动能的增量，即(3)物体到达最低点B的瞬间，槽在由于水平方向不受外力，加速度为零，此时可将槽当作惯性系。在惯性系中，物体的水平速度为由牛顿第二定律得解得再由牛顿第三定律可知此时物体对槽的压力为其方向向下(1)该时刻物体A相对于桌面的速度的水平分量与竖直分量;(2)写出A相对于桌面的动能的表达式;5.如图,为弧形槽B的1/4光滑圆弧,置于光滑桌面C上.当质量为m的物体A沿下滑过程中B将向左运动.若A滑到d点时相对于B的速度为v12,此时B相对于桌面的速度为v2,方向水平向左,求:OabABv2dv12课后练习题如图在地面参考系中，对于子弹和木块系统，水平方向不受外力，动量守恒。以V表示最后的共同速度，则有以s1表示子弹停在木块内前木块移动的距离，则子弹对地面的位移，对子弹用动能定理，摩擦力f对子弹做的功等于子弹动能的增量，为对木块，摩擦力f'

对它做的功等于木块动能的增量,为考虑到,将两式相加可得说明子弹和木块总机械能增量等于一对摩擦力之一沿相对位移做的功6.解：(1)(2)清华书P2264-6子弹以v0射入小球的过程中，二者动量守恒。以表示它们的共同速度大小为，其方向与弹簧轴线垂直.则有含子弹的小球受的弹力总指向o点，所以它对o点的角动量守恒，即又小球运动过程中只有弹簧的拉力（保守力）做功，所以小球弹簧系统的机械能守恒，即7.ABav0vblOl0

P118解：联立上述方程式可得这是综合性题。分析子弹和小球碰撞过程和碰后的运动过程的特点，根据学过的定理和定律建立适当的方程联立求解。例

炮弹爆炸后的运动一炮弹飞行到其抛物线轨道的顶点时爆炸成质量相等的两块,如图所示.爆后一秒钟,解：由于爆炸力远大于重力，所以炮弹爆炸前后动量守恒：Hx1x2Lα笫一块落到爆炸点正下方的地面上,此处距抛出点的水平距离