八年级数学勾股定理的证明初中教育

16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在tΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明D=90，∠PAC=90，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90，∠BCA=90，AD=AB=c，122babcabbbaaaabcDaHbAGaccaCbFaBbbccEaaacbccbbcaaba2b24ab，整理得a2b2c2.1形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90,∴∠AEH+∠BEF=90.∴四边形EFGH是一个边长为c的∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90,∴∠EHA+∠GHD=90.又∵∠GHE=90,∴∠DHA=90+90=180.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于ab2.1c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=ba,∠HEF=90.∴EFGH是一个边长为HGF≌RtΔBDC.即过Q作QM⊥AG，垂足是M.SS由=∠BEA=90，可知∠ABE欢迎下载=∠=90.∴四边形EFGHc的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=ba,∠HEF=90.∴EFGH是一个边长为HGF≌RtΔBDC.即过Q作QM⊥AG，垂足是M.SS由=∠BEA=90，可知∠ABE欢迎下载=∠=90.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠DA.又∵∠DGT=90，∠DHF=90，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90，∴cGaA12a2b222c2CE、B三点CDccbaAbEaB1角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90，∴∠EAB+∠HAD=90，DFFHEB∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=ba,∠HEF=90.∴EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于..1形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90,∴∠AED+∠BEC=90.c2又∵∠DAE=90,∠EBC=90,∴AD∥BC.∴ABCD1112.∴a2b2c2.一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,2，.【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.AM.又RtΔHBT≌SS85.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAECBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABDCADBCAbccFQaAbcBc.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，又∵AB=BE=EG=GA=c，∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90.即∠CBD=90.BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.FaGCcCbEPcabHabaAcBD设多边形GHCBE的面积为S，则∴a2b2c2.），C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90∴∠MPC=90∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90，，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90∠ABC+∠MBA=∠MBC=90.，，EbcPMNacC∴∠QBM=∠ABC，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.AB=BC=c，BF=CG=a，∴∵RtΔABF≌RtAB=BC=c，BF=CG=a，∴∵RtΔABF≌RtΔBCG.欢迎下载∴∴S122ABC2，2ab4SABC，AECEBDCD=CECD=r+r=2r,∴∴∴4r2rc4SABC，42c2.欢迎下载【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，=90，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得AC2AEADABBEABBDCc=c2ABC2aBGaDcb9c21FA34567EBaC8RHPQTB三点在一条直线上，连结GBF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.L∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，a2aFaΔGAD的面积等于矩形ADLM∴矩形ADLM的面积=a2.同理可证，矩形MLEB的面积=b2.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEBHAcDDCbMKbBE如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，即AC2ADAB.CbDcBDAB.∴AC2BC2ADDBABAB2，即a2b2c2.⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∴∠DAH=∠BAC.AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.ΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=ΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠H角形拼成如图所示形状，使A、在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠A+∠MDC=∠ADE+∠EAD∴∠ADC=90.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c∵∠QMF=∠ARC=90，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4S6.∵又∵∴即=c1=21∠TBH+Tb831aMEA2CD所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=ba.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GTGF=ba.2∵S1S8S2S31S5①，Sb2abS=b2SS②2=∴S1b2a2S2b2b2b2S92=b2a2.分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条∵∠TBE=∠ABH=90，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GTHT=ba.又∵∠GHF+∠BHT=90，∠DBC+∠BHT=∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EBED=bBR6H7GF45cQ∠HGF=∠BDC=90，过Q作QM⊥AG，垂足是M.由=∠BEA=90，可知∠ABEa2b2c2.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分ΔABC中，设直角边ACa2b2c2.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分ΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假BH=90，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌Rt的正方形.∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABFa2b2c2即∴=bEaaBaDADaAbbBaC=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABERtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90，∠BAE+∠CAR=90，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4S6.即7S2，S87S2，S81Sa2b2S1S=S5，S4SSS2S5SSb2SSS=c2，.在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因AC2AEADABBEABBDCc=c2a2，b2c2a2，a2b2c2.在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.ABDCADBCACBD，∵AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，∴AB2BC2AC2，即c2a2b2，∴a2b2c2.在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图设⊙O的半径为r.∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，90=90.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠90=90.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.，，∠CDB≠90.这与作法CD⊥AB矛HGF≌RtΔBDC.即过Q作QM⊥AG，垂足是M.SS由=∠BEA=90，可知∠ABE欢迎下载=∠，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a2b2S2ab,c2S2ab,∴∴即∴∴即∵∴AFBF又∵∠ACB=90ABACBCABa2b22ab1ABC2，2ab4SABC，SABC=1212AOBAECEBDCD2，aBaBF2cOrDabC=AOC=AOCSSSBOC=ABC，，如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设a2b2c2，即假设AC2BC2AB2，则由AB2可知AC2ABBC≠BC：AB.ABAB=ABADBD=ABADABBDBC2ABBD即AD：AC≠AC：AB，或者BD：在ΔADC和ΔACB中，∴若AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.，这与作法CD⊥AB矛盾.所以，CabDcAC2BC2AB2的假设不能成立.∴a2b2c2.则每个直角1三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴CBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABDCADBCA∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90，∴∠EAB+∠HAD=90则每个直角1三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴CBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABDCADBCA∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90，∴∠EAB+∠HAD=90，D∴ABCD是一个边长为CBD，∵AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，∴AB2BC2AC2，即c2a2b2，∴abab2bab2aaaabbCADBBc54cFAba3cCbE1G2a6D7HaaMbAAabB1212bcaaab2c22bDbaCc方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD部分，则正方形ABCDa2b22aba2b2c2.b22ab；把正方形ABCD122分别为a、b的正方形（b>a把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则AD=c.∵EM=EH