福建省宁德市高三质检数学文试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013年福建省宁德市高三质量检查数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分)（2013•宁德模拟）集合U={1,2,3,4，5｝，集合A={2，4｝，则∁UA=()A．{1，3，5}B．｛1，2，3｝C．{1，2，4，5｝D．｛1,4｝考点:补集及其运算．分析：根据补集的定义，∁UA中的元素一定在集合U中,且不在A中，从而求解．解答:解：∵U={1，2，3，4，5}，A={2,4｝，∴∁UA=｛1,3，5}．故选A．点评:本题主要考查补集的概念及补集的运算．属于容易题．2．（5分)（2013•宁德模拟）已知x，y∈R，则“x=y”是“|x｜=|y|"的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y”成立，然后判断“｜x｜=|y|”是否一定成立；然后假设“|x|=|y｜”成立,再判断“x=y”是否一定成立,然后结合充要条件的定义，即可得到结论．解答:解:当“x=y”成立时,“|x|=|y|”一定成立,即“x=y"⇒“|x|=｜y|"为真假命题；但当“|x|=｜y|”成立时，x=±y即“x=y”不一定成立，即“|x｜=｜y｜”⇒“x=y”为假命题；故“x=y”是“｜x｜=｜y｜”的充分不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系．3．（5分）（2013•宁德模拟）若角α∈（，π）,则点P（sinα，cosα）位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题:三角函数的图像与性质．分析：由角的范围即可得到sinα、cosα的符号,进而即可判断结论．解答:解:∵角α∈（，π)，∴sinα＞0,cosα＜0．∴点P（sinα，cosα）位于第四象限．故选D．点评：熟练掌握三角函数所在象限的符号是解题的关键．4．(5分)（2013•宁德模拟）棱长均为2的几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(）A．4B．4C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析:通过三视图判断几何体的特征，利用已知数据，求出几何体的体积即可．解答:解：由三视图可知几何体是正三棱柱，底面边长为：2，高为2的棱柱，所以几何体的体积为:=2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的视图能力，几何体的体积的求法，考查计算能力．5．(5分)（2013•宁德模拟)已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由抛物线y2=8x可求得其焦点F（2，0）,利用它也是双曲线﹣=1的焦点即可求得a，从而可求得双曲线的离心率．解答：解：∵y2=8x，∴其焦点F（2，0），依题意,F(2,0）也是双曲线﹣=1的焦点，∴a2+2=4，∴a2=2．∴双曲线的离心率e===．故选D．点评：本题考查双曲线的简单性质，求得抛物线y2=8x的焦点F（2,0）是基础,属于中档题．6．（5分）（2013•宁德模拟）若直线l1：x+my+3=0与直线l2：（m﹣1）x+2y+6m=0平行，则m=（)A．B．2C．﹣1D．2或﹣1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析:由平行可得1×2﹣m(m﹣1）=0，解之,排除重合的情形即可．解答:解：∵直线l1:x+my+3=0与直线l2：(m﹣1）x+2y+6m=0平行，∴1×2﹣m（m﹣1)=0，即m2﹣m﹣2=0,解得m=﹣1或m=2，经验证当m=﹣1时,直线重合应舍去，故选B点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7．（5分）(2013•宁德模拟）已知a=()0。2，b=log35，c=log0.53，则（）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．c＜b＜a考点:对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析:利用指数函数与对数函数的性质即可得到答案．解答：解：∵0＜a=（)0。2＜=1,b=log35＞log33=1，c=log0。53＜log0.51=0,∴c＜a＜b．故选B．点评：本题考查对数值大小的比较,考查有理数指数幂的化简求值，属于中档题．8．(5分）（2013•宁德模拟)函数f(x）=sin2x﹣cos2x的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称考点：两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正弦公式化简函数f（x)为2sin(2x﹣），求得函数的图象的对称轴方程以及它的对称中心的坐标，从而得出结论．解答:解：由于函数f(x）=sin2x﹣cos2x=2(sin2x﹣cos2x）=2sin(2x﹣），令2x﹣=kπ+，k∈z，可得对称轴方程为x=+,k∈z．令2x﹣=kπ，k∈z，可得x=+，k∈z，故函数的图象的对称中心为(+，0)，k∈z．故函数的图象关于点（，0）对称，故选D．点评：本题主要考查两角和差的正弦函数，正弦函数的对称性，属于中档题．9．（5分)（2013•宁德模拟）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）［f（x1)﹣f（x2）]＜0的是（）A．f(x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=exD．f（x）=ln（x+1）考点：函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由对任意x1，x2∈（0，+∞)，都有（x1﹣x2）［f（x1）﹣f(x2)]＜0，我们可得函数f(x）在区间（0,+∞）上为减函数,然后我们对答案中的四个函数逐一进行分析，即可得到答案．解答：解:若对任意x1,x2∈(0，+∞），都有（x1﹣x2)［f（x1）﹣f(x2）］＜0则f(x)在区间（0，+∞）上为减函数A中,f（x）=在区间（0，+∞）上为减函数，满足条件．B中，f（x）=（x﹣1）2在区间(1，+∞)上为增函数，不满足条件C中，f（x）=ex在区间（0，+∞）上为增函数，不满足条件D中，f（x)=ln（x+1）在区间（0，+∞）上为增函数，不满足条件故选A点评：对任意x1，x2∈A，都有（x1﹣x2）［f(x1）﹣f（x2）]＜0，则函数f（x)在区间A上为减函数；对任意x1，x2∈A，都有（x1﹣x2）［f（x1）﹣f（x2）]＞0,则函数f（x)在区间A上为增函数．10．(5分）（2013•宁德模拟）若不等式组所表示的平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分，则实数m的值为（）A．﹣B．﹣C．1D．2考点：简单线性规划．专题:计算题；作图题．分析：先根据约束条件：，画出可行域,求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．解答：解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线mx+y+2=0恒经过点A（﹣2，0），当直线mx+y+2=0再经过BC的中点M（1，﹣3)时，平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分．令x=1，y=﹣3,代入直线mx+y+2=0的方程得：m=1，故选C．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．11．（5分）（2013•宁德模拟）已知函数f（x)=ax2+a（x＞0）的图象恒在直线y=﹣2x的下方，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）∪（0,+∞)C．（﹣∞,0)D．（﹣∞,﹣1）∪(1，+∞）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析:把恒成立问题等价转化，利用导数即可得出a的取值范围．解答：解:由题意可得：当x＞0时，﹣2x﹣(ax2+a）＞0恒成立．即x∈（0，+∞）时，恒成立⇔，x∈（0,+∞）．令,x∈（0，+∞），则，令g′(x)=0,则x=1．当x＞1时,g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当0＜x＜1时，g′(x)＜0，函数g(x）单调递减．∴当x=1时，函数g（x）取得极小值g（1)=﹣1，也是最小值．∴a＜﹣1．因此a的取值范围是（﹣∞，﹣1)．故选A．点评:正确把恒成立问题等价转化，熟练掌握利用导数求函数的极值最值是解题的关键．12．(5分）（2013•宁德模拟）已知P是函数y=f（x）（x∈［m，n]）图象上的任意一点，M、N为该图象的两个端点，点0满足=λ，•i=0（其中0＜λ＜1，i为x轴上的单位向量），若｜｜≤T（T为常数)在区间[m，n］上恒成立，则称y=f（x）在区间［m，n］上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=2x+1；②y=；③y=x2．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近"的函数的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点:函数恒成立问题．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由=λ,可得Q点在线段MN上，由•=0，可得P,Q两点的横坐标相等，故｜｜即为P，Q两点纵坐标差的绝对值，分析三个函数中，x∈[1，2］时，｜｜≤是否恒成立,可得答案．解答：解：由=λ，可得Q点在线段MN上，由•=0，可得P，Q两点的横坐标相等，故|｜即为P,Q两点纵坐标差的绝对值，当f（x）=y=2x+1，x∈［1，2],则M（1,3），N（2，5），函数y=f（x)的图象即为线段MN，故｜|=0≤恒成立，满足条件；当f（x)=时，则M（1，1），N（2，），线段MN的方程为y=﹣x+，此时｜|=﹣x+﹣，则｜|′=﹣+，令｜｜′=0，则x=,故当x=时,｜｜取最大值﹣，故｜|≤恒成立，满足条件；当f（x)=x2．则M(1,1），N（2，4），线段MN的方程为y=3x﹣2，此时｜|=﹣x2+3x﹣2,当x=时，||取最大值，故｜|≤恒成立，满足条件；故在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为3个故选D点评：本题考查的知识点函数恒成立问题，函数的值域，正确理解“T级线性逼近”定义，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题卡的相应位置。13．(4分）(2013•宁德模拟）若复数(1+bi）．i=1+i（i是虚数单位），则实数b=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数的左边利用单项式乘多项式展开，然后让实部等于实部求b．解答：解：由(1+bi）•i=1+i，得：﹣b+i=1+i,所以，﹣b=1，b=﹣1．故答案为﹣1．点评：本题考查了复数代数形式乘除运算，考查了复数相等的条件,两个复数相等，当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题．14．（4分）(2013•宁德模拟)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X的值为2,则输出的结果是﹣3．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用．分析：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值，令x=2，代科分段函数的解析式可求出相应的函数值．解答：解：分析如图执行框图，可知：该程序的作用是计算分段函数f(x）=的函数值．当x=2时，f（x)=1﹣2×2=﹣3故答案为：﹣3点评：本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．15．（4分）（2013•宁德模拟）若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣2x﹣3，则函数f(x）的单调递减区间是(﹣1，3）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题:导数的综合应用．分析：令f′（x)＜0即可得到函数的单调递减区间．解答：解：令f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3)（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜3，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣1，3)．故答案为（﹣1，3）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．16．（4分）（2013•宁德模拟）一种平面分形图的形成过程如图所示，第一层是同一点出发的三条线段,长度均为1，每两条线段夹角为120°;第二层是在第一层的每一条线段末端,再生成两条与该线段成120°角的线段，长度不变；第三层按第二层的方法再在第二层每一条线段的末端各生成两条线段；重复前面的作法,直至第6层，则分形图第6层各条线段末端之间的距离的最大值为6．考点：进行简单的合情推理．专题：规律型．分析：分析图形可知，左右两端的两个点为各条线段末端之间的距离的最大值．再根据30°直角三角形的性质、等腰三角形的性质分别计算前三个图形中的距离，进一步推而广之．解答：解:第一层的左右两端的两个点的距离为；第二层的左右两端的两个点的距离为2；第三层的左右两端的两个点的距离为3;第四层的左右两端的两个点的距离为4;…推而广之，则第6层的左右两端的两个点的距离为6．而各层各条线段末端之间的距离的最大值为的左右两端的两个点的距离．即分形图第6层各条线段末端之间的距离的最大值为6．故答案为6．点评：此题考查了简单的合情推理，综合运用了等腰三角形的性质、30°直角三角形的性质以及数的计算．三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）(2013•宁德模拟）已知在数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an（n∈N+)，数列{bn｝是公差为3的等差数列，且b2=a3．(I）求数列{an}、｛bn｝的通项公式;（II）求数列{an﹣bn｝的前n项和sn．考点：数列的求和;等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可求得数列{an｝的首项与公比、｛bn｝首项与公差，从而可求其通项公式；（II）通过分组求和，即可求得数列{an﹣bn}的前n项和sn．解答：解：（I）∵an+1=2an（n∈N+),a1=1,∴数列｛an｝是公比为2的等比数列，∴an=1×2n﹣1；…3分∵等差数列{bn}的公差为3,b2=a3=22=4，∴bn=b2+(n﹣2）×3=3n﹣2…6分（II）Sn=(a1﹣b1）+（a2﹣b2）+…+（an﹣bn）=(a1+a2+…+an）﹣（b1+b2+…+bn)…8分=﹣…10分=2n﹣n2+﹣1…12分点评:本题考查数列求和,着重考查等差数列与等比数列的通项公式与分组求和，考查转化思想，属于中档题．18．（12分）(2013•宁德模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（﹣1）=﹣1．(I)求函数f（x）的解析式；（II)若函数g(x）=f（x）+（2﹣k）x在区间（﹣2，2）上单调递增，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析:（I)由偶函数的图象关于y轴对称,可得b值，进而根据f(﹣1)=﹣1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k)x在区间（﹣2,2)上单调递减，可得区间（﹣2，2）在对称轴的左侧，进而得到实数k的取值范围解答：解:（I)∵二次函数f（x)=ax2+bx+1为偶函数，故函数f（x)的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f（﹣1）=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f（x）=﹣2x2+1（II)由（I）得g（x)=f（x)+（2﹣k）x=﹣2x2+（2﹣k）x+1故函数g（x)的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g（x)在（﹣∞,］上单调递增，又∵函数g（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，∴≥2解得k≤﹣6故实数k的取值范围为（﹣∞,﹣6］点评:本题考查的知识点是函数解析式的求法,二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．19．（12分）（2013•宁德模拟）如图,已知平面AEMN丄平面ABCD,四边形AEMN为正方形，四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，BC=CD=2AB=2,E为CD的中点．（I）求证：MC∥平面BDN;（II)求多面体ABDN的体积．考点：直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积．专题:常规题型；证明题；空间位置关系与距离．分析：(I)通过证明四边形AEMN为平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理证明MC∥平面BDN；(II)说明BC的长度就是D到AB的距离，利用VA﹣BDN=VN﹣ABD，求出多面体ABDN的体积．解答：解：（I）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点,∴ABCE，∴四边形ABCE为平行四边形,∴BCAE,∵四边形AEMN是正方形，∴AEMN，∴BCMN，所以四边形BCMN为平行四边形，∴MC∥NB，又∵NB⊂平面BDN，MC⊄平面BDN，∴MC∥平面BDN；(II）因为平面AEMN丄平面ABCD，平面AEMN∩平面ABCD=AE，又AN⊥AE，AN⊂平面AEMN，∴AN⊥平面ABCD，∵AB∥CD,∠ABC=90°，∴BC的长度就是D到AB的距离，∴VA﹣BDN=VN﹣ABD====．∴多面体VA﹣BDN的体积为．点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力空间想象能力．20．（12分）(2013•宁德模拟）岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只,正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后,海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．(I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．考点：余弦定理;正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析:（I)在△ABC中，依题意，利用正弦定理即可求得AB；(II)在△BCD中，利用余弦定理可求得航行的方向及时间;解答：解:(I)依题意得∠BAC=45°，∠ABC=75°,BC=10，∴∠ACB=60°，…2分在△ABC中,由正弦定理得：=…3分∴AB====5．答:海监船接到通知时，距离岛A5海里…5分（II）设海监船航行时间为t小时，则BD=10t，CD=10t,…6分又∵∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣60°=120°,∴BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcos120°，…7分∴300t2=100+100t2﹣2×10×10t•（﹣），∴2t2+t﹣1=0,解得t=1或t=﹣（舍去）…9分∴CD=10，∴BC=CD,∴∠CBD=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=75°+30°=105°，…11分答：海监船的方位角105°航行，航行时间为1个小时…12分点评：本题主要考查正、余弦定理，解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数方程思想，属于难题．21．（12分）（2013•宁德模拟）已知椭圆Γ：（a＞b＞0)过点A（0，2)，离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．（I)求椭圆Γ的方程；（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题:探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：(Ⅰ)由点A（0，2）可得b值，由离心率为可得=，再由a2=b2+c2，联立方程组即可求得a，b值；（II)假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，根据以AM为直径的圆C过点F可得∠AFM=90°，求出直线MF方程，联立直线MF方程与椭圆方程可得求得M坐标，利用直线与圆相切的条件d=r分情况验证圆与直线x﹣2y﹣2=0相切即可；解答:解:(Ⅰ）依题意得，解得，所以所求的椭圆方程为；（Ⅱ）假设存在直线l,使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，又=﹣1,所以直线MF的方程为y=x﹣2,由消去y，得3x2﹣8x=0,解得x=0或x=,所以M（0,﹣2）或M(，），(1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；(2）当M为（,）时,以AM为直径的圆心C为（），半径为r===，所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时kAF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．点评：本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在,由此推理,若符合题意，则存在，否则不存在．22．（14分）(2013•宁德模拟)已知曲线f（x）=x3+bx2+cx在点我A（﹣1，f（﹣1））,B（3,f（3)）处的切线互相平行,且函数f(x)的一个极值点为x=0．（I）求实数b，c的值；(II）若函数y=f（x）（x∈［﹣，3］)的图象与直线y=m恰有三个交点，求实数m的取值范围；（III）若存在x0∈[1，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使得f′（x0)+alnx0≤ax0成立(其中f′（x）为函数f（x）的导函数），求实数a的取值范围．考点:利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取