从函数视角探寻初中数学找规律问题 论文

2022年安徽省基础教育教学论文从函数视角探析初中数学找规律问题摘要：初中数学找规律问题考查的是学生阅读理解、分析问题、解决问题等能力，综合性和灵活性强，是历年中考中不可或缺的一道实际性应用问题。初中数学找规律问化过程中序数号n（自变量）之间的函数关系。从函数的视角里用函数的思想来探析初中数学找规律问题就会把解决问题的思路变得简单，找到探寻规律的入手点和关键点。关键词：变量，函数，规律探索数学规律的活动体验，总结探寻规律的一般方法。一、内容解析题和函数有机结合，感悟数学思想方法的统一与和谐。1.理解函数概念及初中数学所学过的几种函数x与x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是x中学习了一次函数、二次函数、反比例函数和锐角三角函数。一次函数即形如y=kx+12022年安徽省基础教育教学论文b（k,b≠0)y=ax2+bx+c（a,b,c≠0)y=kx-1（k≠0)是在Rt△ABC中锐角与边之间的变化规律。初中数学找规律问题中“规律变化”常与一次函数、二次函数结合较多。2.理解找规律问题及其主要类型化规律，用数学语言及符号表示出数量关系。形变化规律的探寻转化为数式变化规律的探寻。式变化规律，并用数学语言及符号表示出数量关系。二、内容设计的注意点变量元素之间的关系为桥梁来衔接对应找规律问题中序数号n（自变量）和随其所对应的因变量y之间的关系，用函数的思想来解决找规律问题。1.研究命题间的转换和结合想来解决找规律问题就是在阅读的过程中确定序数号n即自变量和其对应的某一个因变出数量关系。2.研究用函数思想来解决数式变化找规律问题的一般思路理清已知元素序数号n与各未知元素的关联→函数数学模型的建立→确定各函数类型并求出函数解析式→研究解决问题3.研究解决问题的一般方法(1)能根据问题情境，合理构建函数模型，用函数思想探析研究解决问题；（2）“非数式变化”规律的先转化为“数式变化”类型，再构建函数，解决问题。22022年安徽省基础教育教学论文三、内容设计思想解决初中数学找规律问题。【问题类型Ⅰ】探寻数式变化规律(2022•安徽)例1.观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2=（2×2+1）2—（2×2）2第2个等式：（2×2+1）2=（3×4+1）2—（3×4）2第3个等式：（2×3+1）2=（4×6+1）2—（4×6）2第4个等式：（2×4+1）2=（5×8+1）2—（5×8）2······按照以上规律．解决下列问题：5个等式 ；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明。n个数式中各“项”与序数号n之间年中考的常考题型。本示例旨在揭示用函数思想解决“数式变化”规律类的一般方法。教学示范：观察等式，确定数式变化中的序数号n项、常数项和函数项（y1，y2），标注如下：序数号n常数项序数号n常数项函数项函数项常数项———项↓ ↓↓↓项

↓ ↓↓21y1y21第1×1+=（2×2+—（2×第2×2+=（3×4+—（3×第3×3+=（4×6+—（4×第4×4+=（5×8+—（5×······如上示范，不难发现，数式变化中各“项”中序数号n、常数项及相关运算符号其32022年安徽省基础教育教学论文实是有固定形式的，只需要探寻出函数项y1、2，结合数式中的结构特点就能写出第n个等式了第n个等式的结构模式应该（2×n+12=（y1×y2+12—（y1×y22接下来分别探寻函数y2关于序数号n的函n的表达式替换出上式y1y2即可求出第n个等式。y1与序数号n对应的有序数对为（1，2），（2，3），（3，4),(4,5)……容易发现y1的函数为y1=n+1.y2与序数号n对应的有序数对（12）（24）（3，6),(,8)……容易发现y2的函数为y2=2n.因此第n个等式为：（2×n+1）2=[(n+1)×2n+1]2—[(n+1)×2n]2.找出第n第5个等式：（2×5+1）2=（6×10+1）2—（6×10）2第n个等式为：（2n+1）2=[(n+1)×2n+1]2—[(n+1)×2n]2

证明:右边=[(n+1)×2n]2+2×(n+1)×2n×1+12—[(n+1)×2n]2=2×(n+1)×2n×1+12=4n2+4n+1=（2n+1）2=左边2022年、2019年、2018年都考查了一道数式变化规律题。探寻数式变化规律时，关键是通过观察分别确定数式变化中的各项（序数号n项、常数项和函数项），这里从函数的视角探析出函数项，结合题干中的已知固定的结构模式，仿写出通项，解决问题。【问题类型Ⅱ】探寻图形数变化规律(2021•安徽)例2.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列。【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图2)；当正方形地砖只有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图2)；以此类推。42022年安徽省基础教育教学论文【规律总结】(1)若人行道上每增加一块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n砖的块数为(用含n的代数式表示)。【问题解决】(3)现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？中找出与点数对应的规律，用函数的思想探析出函数关系，找出图形数的变化规律。教学示范：设这样的人行道一共有n（n为整数）块正方形地砖，记等腰直角三角形地砖的块数为y块，由特殊到一般，抽象出点数对（1，6），（2，8）……用函数思想探析变化规律，那么：当n=1时，y=6；当n=2时，y=8.猜想y=kn+b,解得y=2n+4.可通过画草图验证当n=3时，仍然符合原题规律，找到通项，可知：若人行道上每增加一块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为2n+4(用含n+4≤2021解得n≤1008.5,因为n为整数，所以n=1008,需要正方形地砖1008块。探寻图形数变化规律，实质是探寻第n个图形中某两个量之间的关系，关键是转化探寻图形数变化规律也是近几年中考中常考题型，其中2016年、2017年中考题更是通过图形数的变化规律巧妙设计数形结合和阅读理解来探究问题，设计比较成功，若一直有从函数的视角、用函数的思想来探寻找规律问题为基辅，那阅读解题将会事半功倍。【问题类型Ⅲ】探寻图形变化规律例题ABC的边长是BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的边B1C1边上的高AB2为边52022年安徽省基础教育教学论文作等边三角形，得到第二个等边三角形三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB3C3；……记△B1CB2的面积为S1,△B2C1B3的面积为S2,△B3C2B4的面积为S3,如此下去，则Sn=。用函数的思想来探寻出“不变”的量随图形变化序数号n之间的关系，解决图形变化规n所记的面积为的三角形都是含30n

0也是不变的，依据相似知识将问题转化即可用代数式表示其面积间的关系。S1的面积，问题是求解角形都是含300下：2 12 2 22 12 2 2

38 S2

S2 2

Sin2600 334同理易得：34Sn

4

2从而，通过数式变化规律，不难发现出Sn值。3 3 3S2448S34S2448

483 3 3 3

32 3……n 4

8S 3S

33462022年安徽省基础教育教学论文探寻图形变化规律，关键是是找到变化规律中不变的量随图形变化序数号n之间的关系，实质是转化图形变化为数式变化，从函数视角，分步探寻找到图形变化规律。【问题类型Ⅳ】探寻循环变化规律例4.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形A那么点B2022的坐标为。B的坐标变化规律，解题的关键是从特殊推广到一般，找到变化的周期。教学示范：探寻规律的入手点，根据图形可知，点B在以O为圆心，以OB为半次共旋转2022÷8=252……6，所以点B2022的坐标为（1，-1）。图；其次在代数式的计算中或变化的图形中找不变的量———即循环节；再次用函数思关系；最后将问题转化为数式变化规律来探寻。四、课后反思最简单的情况即序数号n=1的情况（如最小数量、最简的图形）开始研究，转化各规律类型为“数式变化”类型后，用函数的思想来探析规律y（因变量）随变化过程中序数号n（自变量）之间的关系，由特殊到一般，归纳，猜想，验证，直到得出结论。索，通过“探寻分析”身历其境，获得体验；通过“教学示范”碰撞思维，获得提升；72022年安徽省基础教育