2024届上海市实验中学数学高一上期末质量检测模拟试题含解析

2024届上海市实验中学数学高一上期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.2．化简的结果是（）A. B.1C. D.23．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（）A.18人 B.36人C.45人 D.60人4．函数在的图象大致为（）A. B.C. D.5．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（）A. B.C. D.6．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．根据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（）1234500.6931.0991.3861.60910123A. B.C. D.8．不等式的解集为（）A. B.C. D.9．若，则它是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角10．已知点A（2，0）和点B（﹣4，2），则|AB|＝（）A. B.2C. D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数，若关于的不等式的解集为，则__________12．若，则的定义域为____________.13．函数的定义域为_______________14．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______15．已知，，则____________16．已知圆心角为2rad的扇形的周长为12，则该扇形的面积为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）判断并证明在的单调性.18．已知，，，请在①②，③中任选一个条件，补充在横线上（1）求的值；（2）求的值19．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.（1）求圆M的方程；（2）若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.20．某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，21．已知圆过，，且圆心在直线上（1）求此圆的方程（2）求与直线垂直且与圆相切的直线方程（3）若点为圆上任意点，求的面积的最大值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据题意得，，进而根据复合函数的单调性求解即可.【题目详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，所以，，因为的解集为，即函数的定义域为由于函数在上单调递减，在上单调递减，上单调递增，所以上单调递增，在上单调递减.故选：C2、B【解题分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.【题目详解】原式.故选：B3、B【解题分析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.【题目详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽样比为：，抽取的男生人数为：.故选：B.4、A【解题分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.【题目详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B又，，排除C、D故选：A．【题目点拨】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.5、C【解题分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.【题目详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，因此，秒针的端点所走的路线长.故选：C.【题目点拨】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.6、A【解题分析】根据两个命题中的取值范围，分析是否能得到pq和qp【题目详解】若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp故p是q的充分不必要条件故选：A.7、C【解题分析】令，由表中数据结合零点存在性定理即可得解.【题目详解】令，由表格数据可得.由零点存在性定理可知，在区间内必有零点.故选C.【题目点拨】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.8、C【解题分析】将原不等式转化为从而可求出其解集【题目详解】原不等式可化为，即，所以解得故选：C9、C【解题分析】根据象限角的定义判断【题目详解】因为，所以是第三象限角故选：C10、D【解题分析】由平面两点的距离公式计算可得所求值.【题目详解】由点A（2，0）和点B（﹣4，2）,所以故选：D【题目点拨】本题考查平面上两点间的距离，直接用平面上两点间的距离公式解决，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.【题目详解】由于满足，即，可得，所以，，所以，方程的两根分别为、，而可化为，即，所以，方程的两根分别为、，，且不等式解集为，所以，，解得，则，因此，.故答案为：.【题目点拨】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.12、【解题分析】使表达式有意义，解不等式组即可.【题目详解】由题，解得，即，故答案为：.【点晴】此题考函数定义域的求法，属于简单题.13、【解题分析】由题可知，解不等式即可得出原函数的定义域.【题目详解】对于函数，有，即，解得，因此，函数的定义域为.故答案为：.14、【解题分析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围.【题目详解】设，则，所以，在上递增，且为奇函数，所以.故答案为：15、【解题分析】，，考点：三角恒等变换16、9【解题分析】根据题意条件，先设出扇形的半径和弧长，并找到弧长与半径之间的关系，通过已知的扇形周长，可以求解出扇形的半径和弧长，然后再利用完成求解.【题目详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，圆心角，则，因为扇形的周长为12，所以，所以，，则.故答案为：9.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）在上单调递增，在上单调递减，证明过程见解析.(1)【解题分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；（2）根据函数的单调性的定义进行判断证明即可.【小问1详解】因为是奇函数，所以，因为，所以是奇函数，因此；【小问2详解】在上单调递增，在上单调递减，证明如下：设是上的任意两个实数，且，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据所选的条件求得，，再由差角正弦公式求的值；（2）由题设可得，进而可得，结合及差角余弦公式，即可求值.【小问1详解】由，则：若选①，由，，得，，若选②，由得：，所以，若选③，由得，，，，所以.【小问2详解】∵，∴，又，∴∴.19、（1）（2）（3）存在，方程为【解题分析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解；（2）注意到当点C到直线AB距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解;（3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得.【小问1详解】∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），∴圆M的圆心为M（a，a），半径.又圆心M在直线上，∴，解得.∴圆M的方程为：.【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，∴由，解得.∴.易知圆心M到直线AB的距离，∴点C到直线AB的最大距离为.∴△ABC面积的最大值为.【小问3详解】方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.又∵，∴.又∵直线MP的斜率为，∴直线AB的斜率为-.∴.∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，∴此时点P不平分AB.当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.∵点A、B是圆M上的点，设，.∴由点差法得.由点P是弦AB的中点，可得，∴.∴∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）5年.【解题分析】Ⅰ由及联立解方程组可得；Ⅱ解不等式，利用对数知识可得【题目详解】Ⅰ，，

，又，即，，联立解得，，Ⅱ由Ⅰ得，由得，，故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍【题目点拨】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题21、(1)(2)或（3）【解题分析】（1）一般利用待定系数法，先求出圆心的坐标，再求出圆的半径，即得圆的方程.(2)先设出直线的方