适用于老高考新教材2023届高考数学二轮总复习专题二数列课件

专题二数列上篇内容索引010203高考小题突破3等差数列、等比数列培优拓展❷数列中的创新与数学文化◎高考满分大题二数列求和及其综合应用04培优拓展❸数列中的奇、偶项问题考情分析1.从题型和题量上看,高考对本专题的考查基本稳定在“一大一小”的形式上,总分约15分或17分.2.从内容上看,小题主要考查等差数列、等比数列基本量的运算,等差数列、等比数列的性质等.解答题主要考查数列通项公式的求解、等差(等比)数列的判断与证明、数列求和、数列的综合问题等.同时,可能命制结构不良型的题目.难度中等.3.核心素养:数学运算、逻辑推理等.备考策略1.熟记公式:熟练记忆等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式等,并要注意各个公式应用的条件.2.重视对运算正确率的训练:本专题中数学运算素养无处不在,需要加强训练.如乘公比错位相减法求和等,要掌握方法,规避易错点,不但要会做,还要做对.3.注重归纳规律方法:本专题知识结构清晰,重点突出,题型规律明显.要通过题目总结方法,并了然于胸,如什么情况下应用什么样的方法求数列的通项公式或前n项和,对症下药,事半功倍.4.重视数学文化背景的数列试题:本专题内容非常适宜于与数学文化结合命题,尤其是中国古代数学名著中涉及的一些常见数列题,要理解题意,转化为相应的数列问题.真题感悟1.(2022·全国乙·理8)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(

)A.14 B.12 C.6 D.3答案D

解析

设公比为q(q≠0),则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q-a1q4故选D.2.(2021·全国甲·理7)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B

解析

当数列{an}满足q=1>0,a1=-1时,an=-1,Sn=-n,{Sn}不是递增数列;当{Sn}是递增数列时,n≥2时,an=Sn-Sn-1>0,q>0,所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.3.(2022·全国乙·文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=

.

答案

2

解析

设等差数列的公差为d.由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.4.(2022·新高考Ⅱ·17)已知{an}为等差数列,{bn}为公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.(1)证明

设等差数列的公差为d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,得d=2b1.由a2-b2=b4-a4,可得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),可得a1+2b1-2b1=8b1-(a1+6b1),整理可得a1=b1,得证.(2)解

由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,得2k-1=2m.∵1≤m≤500,∴2≤2k-1≤1

000.∴2≤k≤10.又k∈Z,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.5.(2021·新高考Ⅰ·17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.解

(1)(方法一

最优解)显然2n为偶数,则a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2,所以{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,于是b1=2,b2=5,bn=2+(n-1)×3=3n-1.(方法二)b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.则bn=a2n=(a2n-a2n-1)+(a2n-1-a2n-2)+…+(a2-a1)+a1=1+2+…+1+1+a1=n×1+2(n-1)+1=3n-1.所以数列{bn}的通项公式bn=3n-1.(2)(方法一

奇偶分类讨论)设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+a3+…+a20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=(b1-1+b2-1+b3-1+…+b10-1)+b1+b2+b3+…+b10=2×-10=300.(方法二

分组求和)由(1)知,数列{an}的偶数项组成的数列是以3为公差的等差数列,由已知得an=an+1-1,n为奇数,所以数列{an}的奇数项组成的数列也是以3为公差的等差数列.设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)知识精要1.等差数列、等比数列的基本公式

应用等比数列的前n项和公式时,若公比不确定,一定要分析其为1的情况

名师点析数列的本质是定义域为N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数.2.等差数列、等比数列{an}的常用性质

等号两边项数一样多,避免出现am+an=am+n的错误

误区警示在应用上述等比数列的性质③时,要注意m为偶数且q=-1的情况不适用此公式.3.判断数列是等差数列的常用方法(1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.(2)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.4.判断数列是等比数列的常用方法

(4)前n项和公式法:Sn=Aqn-A(A为非零常数,q≠0,1)⇒{an}是等比数列.名师点析1.如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数列;数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件.2.=an·an+2(n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件,也就是在判断一个数列是等比数列时,要注意各项均不为0.5.常用的数列求和方法(1)分组转化法若数列是几个数列的和或差的组合,如:等差数列加等比数列,等比数列加等比数列.对于这类数列求和,就是对数列进行分解,然后分别对每个数列名师点析通项公式中含有(-1)n的数列求和时,要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.(2)错位相减法如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.误区警示1.注意“错位对齐”,以便下一步准确求解.2.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项,尤其要注意相减后最后一项的符号.3.在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.(3)裂项相消法实质是将数列中的通项公式分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键就是准确裂项和消项.①裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.②消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.误区警示

2.消项后,不一定剩余两项,也可能有剩余四项等情况.高考小题突破3

考点一等差数列、等比数列基本量的运算典例突破1(1)(2020·全国Ⅱ·文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1

D.21-n-1A.d=1 B.a10=20(3)(2020·山东·14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为

.

(2)(2022·福建莆田模拟)已知{an}是等差数列,公差d>0,其前n项和为Sn,若答案

(1)B

(2)A

(3)3n2-2n

(3)数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{an}的前n项和为增分技巧等差(等比)数列基本运算的解题思路(1)设出首项a1和公差d(或公比q).(2)根据已知条件列出关于a1和d(或q)的方程(组),解方程(组)得到a1和d(或q).对点练1(1)(2022·广东汕头一模)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3,a5成等差数列,则a1=(

)(2)(2022·湖南永州三模)已知等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则(

)A.d>0B.a8>0C.S15>0D.S7,S8均为Sn的最大值答案

(1)A

(2)D

解析

(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),易知a1≠0,由题意可得

考点二等差数列、等比数列的性质考向1等差数列的性质典例突破2(1)(2022·河北石家庄二模)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a2021=6,则S2022=(

)A.3033 B.4044 C.6066 D.8088(2)(2022·安徽蚌埠三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=15,S9=99,则S6=

.

(3)(2022·重庆七中模拟)已知数列{an}与{bn}均为等差数列,其前n项和分别解析

(1)因为{an}为等差数列,所以a2+a2

021=a1+a2

022=6,(2)因为等差数列{an}的前n项和为Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6).因为S3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.(3)因为数列{an}与{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn与Tn,所以可设Sn=An(4n+2),Tn=An(3n-1),增分技巧等差(等比)数列性质问题的求解策略(1)抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.(2)数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,可利用函数的性质解题.对点练2(1)(2022·安徽滁州模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且S7=5,S14=20,则S28=(

)A.35 B.50 C.80 D.110(2)(2022·江西新余二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2020>0,S2021<0,则当Sn取最大值时,n=(

)A.1011 B.1010 C.1009 D.1012(3)(2022·河北秦皇岛二模)已知{an}是等差数列,a3+a9=12,则a13-a20=

.

答案

(1)C

(2)B

(3)3

解析

(1)因为Sn为等差数列{an}的前n项和,所以S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21也成等差数列,所以5,15,S21-20,S28-S21成等差数列,即S21-20=25,S28-S21=35,所以S28=80.a1

010>0,即a1

011+a1

010>0,a1+a2

021=2a1

011<0,即a1

011<0,可得a1

010>0且a1

011<0,所以等差数列{an}为递减数列,所以当Sn取最大值时,n=1

010.考向2等比数列的性质典例突破3(1)(2021·全国甲·文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(

)A.7 B.8 C.9 D.10(2)(2022·江西宜春模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a2a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a7=

.

答案

(1)A

(2)7

解析

(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠1.根据等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.(2)由已知得数列{an}是各项均为正数的等比数列,对点练3(1)(2020·全国Ⅰ·文10)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(

)A.12 B.24 C.30 D.32(2)在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则{an}的前8项和为(

)(3)(2022·四川石室中学模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=

.

答案

(1)D

(2)A

(3)81

解析

(1)设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.(2)因为{an}是等比数列,所以a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列.因为a1+a2=6,a3+a4=12,所以a5+a6=24,a7+a8=48.故{an}的前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.(3)因为数列{an}为等比数列,且Sn≠0,所以由等比数列的性质可得,S3,S6-S3,S9-S6,…成等比数列,即(S6-S3)2=S3(S9-S6).又S3=9,S6-S3=36-9=27,所以S9-S6=81,所以a7+a8+a9=S9-S6=81.考点三数列的通项公式典例突破4(1)(2022·河南濮阳高三检测)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-5n+2,则数列{|an|}的前12项和为(

)A.93 B.94 C.95 D.96(2)(2022·甘肃天水模拟)已知数列{an}满足a1=1,an=n(an+1-an),则数列{an}的通项公式为an=(

)解析

(1)当n=1时,a1=S1=-2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-5n+2-(n-1)2+5(n-1)-2=2n-6.所以数列{an}的通项公式为an=即数列从第2项开始为等差数列.由an<0得n<3,即数列的前2项为负,所以数列{|an|}的前12项和为|a1|+|a2|+…+|a12|=-a1-a2+a3+…+a12=2+2+=4+5×(0+18)=94.(方法三

特殊值法)当n=1时,a1=a2-a1.又a1=1,所以a2=2.由选项可知,当n=2时,只有选项D满足a2=2.增分技巧

2.求数列通项公式的常用方法(1)公式法:利用等差(等比)数列求通项公式.(2)累加法:在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项公式an.(3)累乘法:在已知数列{an}中,满足

=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项公式an.(4)构造法:将递推关系进行变换,转化为常见数列(如等差数列、等比数列).对点练4(1)若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=

.

(2)(2022·辽宁葫芦岛一模)已知数列{an},a1=1,对于任意正整数m,n,都满足(3)(2022·辽宁抚顺一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+n-7,若30<ak<50,则k的值为

.

解析

(1)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.(2)令m=1,得an+1=a1+an+n=1+an+n,所以an+1-an=n+1.则an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,…,a3-a2=3,a2-a1=2,所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(3)因为Sn=2an+n-7,所以Sn-1=2an-1+n-1-7(n≥2),两式相减,整理得an=2an-1-1(n≥2),所以an-1=2(an-1-1).当n=1时,S1=2a1+1-7=a1,解得a1=6,所以a1-1=5,所以数列{an-1}是以5为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=5·2n-1,即an=5·2n-1+1.因为30<ak<50,所以30<5·2k-1+1<50,培优拓展❷现在高考越来越重视情境命题,体现了数学应用的重要性.数列与现实生活联系密切,也成为情境问题的常见命题背景.特别是数学文化问题是近年来高考命题的亮点,此类问题把数学史、数学之美、文字之美与数学思维及数学方法结合起来,可有效考查我们在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解和对数学方法的迁移,因此备受命题者青睐.世界数学历史上,尤其是我国浩瀚的传统文化中,有丰富的与数列有关的数学文化背景知识,这也成为命题的热点.解决数列与数学文化相交汇问题的关键

【例1】

《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.现有一类似题目,若齐国到长安的路程为3000里,良马从长安出发往齐国去,驽马从齐国出发往长安去,同一天相向而行.良马第一天行155里,之后每天比前一天多行12里,驽马第一天行100里,之后每天比前一天少行2里,则良马和驽马相遇在(

)A.第10天 B.第11天C.第12天 D.第60天答案A

解析

设驽马、良马第n(n∈N*)天分别行an,bn里,则数列{an}是以100为首项,以-2为公差的等差数列,an=102-2n,数列{bn}是以155为首项,以12为公差的等差数列,bn=155+12(n-1)=12n+143,令

=3

000,整理可得n2+50n-600=0,所以n=10.题后反思设驽马、良马第n天分别行an,bn里,分析可知数列{an},{bn}均为等差数列,确定这两个数列的首项和公差,结合等差数列的求和公式可得出关于n的等式,即可得解.【例2】

(2022·湖南长沙雅礼中学模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得至其关.”则下列说法不正确的是(

)A.此人第二天走了九十六里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第三天走的路程占全程的D.此人后三天共走了42里路答案

C

对于B,后五天所走的路程为378-192=186里,则第一天走的路程比后五天走的路程多192-186=6里,故B正确;破题技巧本题只给出了原文,需认真阅读,先理解题意,转化为等比数列问题,再结合选项进行基本量的运算.【例3】

(2022·湖南株洲一模)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法.十九岁为一章.四章为一蔀,七十六岁.二十蔀为一遂,遂千五百二十岁.……生数皆终,万物复始,天以更元作纪历.”某老年公寓住有19位老人与1位义工,老人与义工的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中义工年龄不满24岁,老人的年龄依次相差1岁,则义工的年龄为(

)A.18岁

B.19岁 C.20岁

D.21岁答案B

解析

设19位老人的年龄由小到大依次为a1,a2,…,a19,设义工的年龄为x,由已知可得a1+a2+…+a19+x=+x=19a10+x=1

520,则19a10=1

520-x.∵1≤x<24且x∈N*,则19a10∈[1

496,1

519),且a10∈N*.又19×78=1

482,19×79=1

501,19×80=1

520,∴a10=79,x=1

520-1

501=19.规律方法对于数学文化中涉及的数列模型,解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,然后构造恰当的数列模型,再利用数列的相关知识解答,最后对实际问题作出解释,必要时进行检验.高考满分大题二考点一等差数列、等比数列的判定与证明典例突破1(2021·全国甲·理18)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.证明

若选①②⇒③(方法一)设

=an+b(a>0),则Sn=(an+b)2,当n=1时,a1=S1=(a+b)2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+b)2-(an-a+b)2=a(2an-a+2b).因为{an}也是等差数列,所以(a+b)2=a(2a-a+2b),解得b=0.所以an=a2(2n-1),a1=a2,故a2=3a2=3a1.若选①③⇒②设等差数列{an}的公差为d.因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,所以d=2a1,若选②③⇒①(方法一

定义法)设

=an+b(a>0),则Sn=(an+b)2,当n=1时,a1=S1=(a+b)2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+b)2-(an-a+b)2=a(2an-a+2b).因为a2=3a1,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,若b=0,则a1=a2,an=a2(2n-1),当n≥2时,an-an-1=2a2,满足等差数列的定义,此时{an}为等差数列;综上可知,{an}为等差数列.an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,an=(2n-1)a1也成立,∴an=(2n-1)a1,n∈N*.又an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{an}是等差数列.增分技巧判断数列为等差(等比)数列的技巧(1)判断给定的数列{an}是等差(等比)数列的常用方法有:①定义法,②等差(等比)中项法.(2)若数列{an},{bn}为等差数列,且项数相同,则{kan},{an±bn},{pan+qbn}都是等差数列.对点练1(2021·全国乙·理19)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.考点二分组转化法求和典例突破2(2022·山东聊城二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3Sn-1=Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=log3,求数列{an+bn}的前n项和Tn.解

(1)当n=2时,3S1=S2-1=a1+a2-1,a1=1,∴a2=3.当n≥3时,3Sn-2=Sn-1-1,3Sn-1=Sn-1,增分技巧分组转化法求和的常见类型

(1)求{an}的通项公式;(2)在ak和ak+1(k∈N*)中插入k个相同的数(-1)k+1·k,构成一个新数列{bn}:a1,1,a2,-2,-2,a3,3,3,3,a4,…,求{bn}的前100项和S100.考点三裂项相消法求和增分技巧裂项相消法求和的基本步骤

考点四错位相减法求和典例突破4(12分)(2021·全国乙·文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;【规范解答】

【教师讲评】1.本题以一个等比数列的通项公式与另一个数列通项公式间的关系为载体,考查数列的通项公式及前n项和.2.第(1)问利用与等比数列有关的三项成等差数列建立关于公比q的方程,解方程即可;第(2)问利用公式法、错位相减法分别求出Tn,Sn,再作差比较即可.增分技巧错位相减法求数列{an}的前n项和的步骤与注意事项(1)适用条件:若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,求数列{an·bn}的前n项和Sn.(2)基本步骤(3)注意事项①在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两式“错位对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn;②作差后,应注意减式中所剩各项的符号要变号.对点练4(2021·浙江·20)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{b