2023-2024学年湘教版选择性必修第一册 第4章 计数原理本章总结提升 课件（21张）

专题突破素养提升专题一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理是求解排列组合问题的基础,主要通过对问题进行分类或者分步进行分析求解.两个计数原理主要是提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的核心素养.【例1】某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动,举行一年一度的春季中学生运动会.某校决定从6名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4×100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?(1)甲、乙两人都不入选;(2)甲、乙两人必须入选,且跑中间两棒;(3)甲不跑第一棒,且乙不跑第四棒.分析本题中是含特殊位置与特殊元素的排列问题,求解时,可根据题目要求,恰当地进行分类与分步.解

(1)甲、乙两人都不入选,则剩下的4人参加,对这4个排列进行全排列,则共有

=24种排法.(2)根据题意,分两步进行:第一步,甲、乙两人必须入选且跑中间两棒,则甲、乙两人的排法有

=2种;第二步,在剩下的4人选2人,跑第一棒和第四棒,有

=12种排法,由分步乘法计数原理可得甲、乙两人必须入选,且跑中间两棒共有2×12=24种不同的排法.(3)根据题意分两类进行:第一类,若甲跑第四棒,此时只需在剩下的5人中任选3人,安排在第一、根据分类加法计数原理可得,甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有60+192=252种安排方法.规律方法

应用两个计数原理解题的方法(1)选择使用两个原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式而定,确定是分类还是分步,要抓住两个原理的本质.(2)分类加法计数原理的关键是“类”,而分步乘法计数原理的关键是“步”,分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次,分步时还要注意满足完成一件事必须只有连续完成这n个步骤后,这件事才算完成,只有满足了上述条件,才能用分步乘法计数原理.(3)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,要注意分类中含分步,分步中含分类.变式训练1如图,一个地区分为5个区域,现给这5个区域进行着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,求不同着色方法共有多少种.(以数字作答)解

因区域1与其他四个区域都相邻,宜先考虑,区域1有4种涂法.若区域2,4同色,有3种涂法,此时区域3,5均有2种涂法,共有4×3×2×2=48种涂法;若区域2,4不同色,先涂区域2有3种方法,再涂区域4有2种方法,此时区域3,5都只有1种涂法,共有4×3×2×1×1=24种涂法,根据分类加法计数原理,可得不同的涂法共有48+24=72种.专题二排列组合的综合应用排列组合的综合应用是本章的核心内容,求解排列组合应用题时,应明确分类与分步的标准,按照元素的性质进行分类,按照事件发生的过程分步,对于含限制条件较复杂的问题,应将问题分解成若干个简单的基本问题后结合两个计数原理求解.排列组合的综合应用主要是提升逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养.【例2】在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目、4个舞蹈节目.(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个栏目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序?分析按照“特殊元素先排法”分步进行,先特殊后一般.解

(1)第一步,先将4个舞蹈节目进行排序,有

种方法;第二步,将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排列,有

=5

040种方法.根据分步乘法计数原理,共有5

040×24=120

960种不同的排法.(2)第一步,将6个演唱节目进行排列,共有

=720种方法;第二步,再将4个舞蹈节目排在演唱节目产生的7个空隙中,则共有

=7×6×5×4=840种方法.根据分步乘法计数原理,共有720×840=604

800种不同的排法.规律方法

求解排列问题的六种主要方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中定序问题除法处理对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法变式训练2现有7位高中毕业生,其中4名男生、3名女生,(1)他们准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?(2)他们准备报考6所高等院校,每人报且只报一所,且要求每所院校都有学生报考,不同的报名方法共有多少种?(3)7人站成一排合影留念,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?(4)7人站成一排合影留念,要求女生按从左到右由高至矮排列,共有多少种不同的排法?(5)从7人中选取3人进行问卷调查,要求至少有一名女生,共有多少种不同的选法?解

(1)每一个人都有3种选择,故可知共有37种报名方法.(3)先把甲乙,丙丁分别捆绑在一起看作两个元素,再和另外的3人进行全排列,故有

=480种不同的排法.(4)先把7人全排列,再除以3名女生的顺序,故有

=840种不同的排法.(5)利用间接法,从7人中选3人,再排除全是男生的情况,有

=35-4=31种不同的选法.专题三二项式定理二项式定理的核心内容是二项展开式的通项

(0≤r≤n,r∈N,n∈N+),它主要体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.利用二项式定理求解实际问题,主要是提升数学建模与数学运算的核心素养.【例3】已知(+3x)n展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中含有x4的项;(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求展开式中系数最大的项.分析(1)根据题意,得到各项系数和与二项式系数和,求得n,化简得到通项Tr+1,结合通项,即可求解;(2)由n可得到二项式系数最大项,结合(1)中的通项,即可求解;(3)设展开式中第r+1项系数最大,列出不等式组,求得r,代入通项,即可求解.解

(1)令x=1,可得二项展开式的各项系数和为4n,又二项式系数和为2n,则可得4n-2n=992,解得n=5,即展开式中含有x4的项为90x4.(2)因为n=5,所以展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,规律方法

应用二项式定理解题的方法(1)求(a+b)n展开式中特定项的系数、特定项等常借助二项式的通项;(2)求展开式的各项系数的和用“赋值法”,而求展开式的二项式系数的和是一个定值2n;(3)展开式中第r+1项的