二阶常系数线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程的一般形式二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$y''+ay'+by=f(x)$$其中，$a$和$b$为常数，$f(x)$为一般函数，$y$为未知函数。二、特征方程为了解二阶常系数线性微分方程，我们需要首先解决特征方程的问题。特征方程是由原方程的常系数得到的，它的一般形式为：$$r^2+ar+b=0$$关于特征方程的特征根有以下三种情况：（1）特征根为不相等实数：$r_1\eqr_2$。此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$（2）特征根为相等实数：$r_1=r_2=r$。此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}$$（3）特征根为共轭复数：$r_1=\\alpha+i\\beta$，$r_2=\\alpha-i\\beta$，其中$\\alpha$和$\\beta$均为实数，而且$\\beta\eq0$。此时，原方程的通解为：$$y=e^{\\alphax}(c_1\\cos\\betax+c_2\\sin\\betax)$$其中，$c_1$和$c_2$均为常数。三、常数变易法常数变易法是解非齐次线性微分方程的常用方法。它的基本思路是先假设非齐次项的解为一个函数的形式，然后将它代入原方程，得到关于未知函数的一个代数方程，通过求解这个方程，就能得到非齐次方程的一个特解。通过常数变易法，设非齐次项的解为$y_p(x)=u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$均为一般函数。将$y_p(x)$代入原方程，得到：$$u''v+2u'v'+uv''+au'v+avu'=f(x)$$通过适当的选择$u(x)$和$v(x)$，可以让上式左边的部分消去。一般可以选择$u(x)$和$v(x)$为特征方程的解，即$u(x)$和$v(x)$满足：$$u''+au'+bu=0$$$$v''+av'+bv=0$$此时，如果特征根为不相等实数或者共轭复数，$u(x)$和$v(x)$可以分别取不同的解，而如果特征根为相等实数，$u(x)$和$v(x)$需要取不同的线性无关解。再考虑右边的$f(x)$，它是一般函数，所以我们需要找到一个特殊的函数，使得它为$f(x)$的一个特解。这个特殊的函数称为待定系数。一般可以根据$f(x)$的类型，选择相应的待定系数。以下列举几种情况：（1）$f(x)=e^{kx}$，可以取待定系数为$y_p(x)=Ae^{kx}$，其中$A$为待定常数。（2）$f(x)=\\sinkx$或$\\coskx$，可以取待定系数为$y_p(x)=A\\sinkx+B\\coskx$，其中$A$和$B$均为待定常数。（3）$f(x)=P_n(x)$，其中$P_n(x)$是$n$次多项式，可以取待定系数为$y_p(x)=Q_n(x)$，其中$Q_n(x)$为与$P_n(x)$同次的一般多项式，其中系数为待定常数。四、通解通过综合齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到原方程的通解。具体的方法是：$$y=y_h+y_p$$其中，$y_h$为齐次方程的通解，$y_p$为非齐次方程的特解。五、实例例如，假设我们要解一下二阶常系数非齐次线性微分方程：$$y''+6y'+9y=xe^{-3x}$$首先我们求解其特征方程：$$r^2+6r+9=0$$特征根为$r=-3$，此时特征方程有一个重根，因此我们选择解：$$y_h=(c_1+c_2x)e^{-3x}$$接下来我们采用常数变易法求解非齐次方程的特解。由于$f(x)=xe^{-3x}$是一个$x$和$e^{-3x}$的乘积，我们可以取待定系数为$y_p(x)=(Ax+B)e^{-3x}$。将$y_p(x)$代入原方程，得到：$$Ae^{-3x}=0$$$$(6A-3B)e^{-3x}=-xe^{-3x}$$$$(-9A+6B)e^{-3x}=0$$解得$A=0$，$B=-\\frac{1}{18}$，因此非齐次方程的通解为：$$y=(c_1+c_2x)e^{-3x}-\\frac{1}{18}xe^{-3x}$$六、总结二阶常系数线性微分方程是常见的微分方程类型之一