19放缩取点-解析版

第19讲放缩取点知识与方法谈到“放缩取点”,对于各位拔尖的同学来说并不陌生.在近几年高考中经常出现的与函数零点有关的问题中,就要用“取点”配合“零点存在定理”来说明函数零点的分布情况.在一直很流行的“端点效应”类问题中,找“矛盾区间”或“矛盾点”的时候,也需要用到“取点”.实际上,只要与极限有关的问题,基本上都需要用“取点”来说明问题.题型及处理方法:题型1:与函数零点有关的证明或者求参问题例如,已知f(x)=此题中f(x)单调递增,且容易看出f1e=1一般这种题目的参考答案会直接给出取点的最终结果,如feea下面对“放缩取点的原理”、“放缩手段”、“函数增长(减少)速度”、极限运算”进行一一讲解.放缩取点的原理:1.函数f(x)在定义域D若f(x)<ℎ(x),此时,结合f(x)单调性,f2.函数f(x)在定义域D上先减后增,f当x<a时,若f(x)>当x>a时,若f(x)>此时,结合f(x)单调性,f当然了,有时候也可以一次放缩同时找到两个点.若f(x)>m(3.函数f(x)在定义域D上先增后减,x⩾a时(a∈D),f(x此时,结合f(x)单调性,fx1<0,f通过这三种情形估计大家也已经明白了其中的原理,其它情形在这里就不一一列举了.找点问题中常用的放缩手段:1.常用基本公式(1)x>0时,要缩小ex,常会用到ex>x,用(2)x<0时,要放大ex,常会用到ex<−1x(3)x>0时,要放大ln⁡x,常会用到ln⁡x<x,用(4)0<x<1时,要缩小ln⁡x,常会用到ln⁡x>−12.在不影响函数极限的前提下,可考虑将某一项放缩为常数,也可以将常数放缩为一个函数(非常函数).3.如果第一问有提示,可考虑使用第一问的结论来进行放缩找点.4.如果你还储备了其它的放缩公式,在能把控好函数中各项的增长(减少)速度的前提下,也可以拿来先证后用,如ex5.如果参数的正负对放缩有干扰,可考虑使用a⩾−|a|6.如果有必要,解题时也可以临时创造一些放缩,以供解题时使用.常用函数增长速度的比较：1.x趋于+∞时,常见函数(部分举例)趋于正无穷的速度由快到慢依次为:e22.x趋于0+时,常见函数(部分举例)趋于负无穷的速度由快到慢依次为:3.x趋于一∞时,常见函数(部分举例)趋于零的速度由快到慢依次为:e2利用函数的增长速度进行简单的极限运算:1.如limx→+∞ ex−x=+∞,这是由于2.如limx→0 ln⁡x+1x=+∞3.如果你在课外学习了洛必达法则,那么在分析函数极限时,那更是锦上添花.如：limx放缩找点举例：1.已知函数f(x)=x+ln⁡分析:注意到f(x)单调递增,且limx→+∞ f(x)=+∞.而在f(x)中,limx→+∞方法1:丢项放缩取点思路：由于x>0,所以f(x)=x即x1=e过程书写:f方法2:利用x>ln⁡取点思路:由于x>ln⁡x,所以令2ln⁡x−a即x1=e过程书写:f令t(a)=ea2−所以,fe方法3:局部值域放缩取点思路：注意到f(x)当x>1e令1e+ln⁡x所以,x1=e过程书写:当a>0时,ea−方法4:局部值域放缩取点思路：注意到f(x)当x>1e令x−1−a=0所以,x1=a过程书写:当a>0时,f方法5:利用ln⁡x取点思路：由于ln⁡x所以f(令x2−ax−1=0,解得所以,x1=a过程书写：令t(x)=ln⁡当x∈(0,1)时,t当x∈(1,+∞)时,t所以t(x)⩾t(1)=0,即ln⁡x⩾f方法6:平方差凑项放缩取点思路：在方法5的基础之上继续放缩,使得缩小之后的函数可以分解因式.f(令(x+1)(x−1−a所以,x1=a过程书写:当a>0时,f2.f(x)=ex分析:容易得到f(x)在(−∞,0)单调递减.在f(x)中,当x→−∞方法1:丟项放缩取点思路：f令−ax−2=0,解得所以x1=−2过程书写:当a>1时,−2取x1=−2方法2:利用ex取点思路：x→−∞时,由于a>1,所以−ax趋于正无穷速度比x趋于负无穷的速度快,于是利用ef令x−ax−2=0所以x1=2过程书写:设t(x)=ex−x,当x<0当a>1时,2取x1=23．，当时，找一点，使得．分析：这种形式的找点问题，多出现在用分离参数法解题的情景中．对于初学者建议先将与x分离为两项再找点．即．由于，找点时只需要关注即可．注意到，这是由于x趋于无正穷时，趋于负无穷的速度比趋于正无穷的速度要快．此时，使用放大即可．取点思路：．令，解得．所以时，．过程书写：设，当时，，即单调递减，．所以时，．当时，，取，则．．4．，，找一点使得．分析：容易分析出在上单调递减，且．注意到，这是由于时，趋于正无穷的速度比趋于负无穷的速度快此时，可考虑使用缩小．取点思路：因为所以．令，得．当时，，所以取，可得．过程书写：设，则．当时，，单调递减，即．所以时，．当时，，取，可得．所以对于此题，此解法并算不上简洁．这里的目的在于演示一种常用的放缩手段（时，的放缩）．此题最简单的做法应该是将转化为，即找一点，使得．这就容易了很多，放缩为即可，请读者自行尝试．典型例题【例1】已知．（1）若有两个零点，求a的取值范围．【解析】（1）．①当时，，在R上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意．②当时，令，解得，此时单调递减；令，解得，此时单调递增；即．i．当，即时，．此时，无零点．ii．当，即时，．此时，有一个零点．iii．当，即时，令，当时，，在上单调递增，．所以时，，即．所以．令，当时，．所以．即时，．由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．又．由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．即时，有且仅有两个零点．综上，．下面说一下是如何找到的．，时，注意到时，．这要归功于趋于正无穷速度要比趋于负无穷的速度快的多，可以考虑将缩小为一个趋于正无穷的速度比趋于负无穷的速度快的函数，这里选用（解题过程中需要给出证明）．即．令，解得（舍），或．由基本放缩，可知即这个过程中为了取到的点比较好看，用到了判别式凑项放缩法，也可以用前面讲过的平方差凑项放缩．当然也可以不再放缩，由，解得（舍）或．由基本放缩，可知．也可以得到．【例2】设函数．（1）求时的单调区间；（2）求证：当时，．【解析】（1）时，的定义域为，∴，令，则所以当时，；当时，，所以函数的单调减区间为，单调增区间为．（2）的定义域为，．当时，恒成立，故没有零点，当时，∵为单调递增，单调递增，∴在单调递增，又，假设存在b满足时，且，，故当时，导函数存在唯一的零点，可设导函数在上的唯一的零点为，当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，由于，所以，故当时，．【解法2】导函数单调递增，注意到时，，，因此我们把，令，，那么，那么当，一定可以找到，那么令，那么得到总结：解决比较复杂的找点问题时，基本是由分析函数单调性、分析极限、分析各项增长（减少）速度、选择合适的放缩手段统一函数类型这四个主要环节构成．直接放缩找点有困难时，可考虑将问题做一些等价转化再研究．如果放缩后得到的是不可分解因式的二次函数，可考虑继续放缩，使其可以分解因式，也可以不再放缩，用二次方程的求根公式也可找出符合要求的点．强化训练1．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【解析】（1）略．（2）由于，所以等价于．设，则．所以在R上单调递增．所以至多有一个零点，从而至多有一个零点．又，．故有一个零点．2．已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求a的值．【解析】（1）略．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．i．当时，，没有零点；ii：当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．3．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）略．（2）令，则．当时，，，所以，函数在上是增函数，．①当时，，所以函数在上是增函数，所以，即对任意不等式恒成立．②当时，，使得．当时，单调递减，即，不合题意．综上，．4．已知函数．（1）若函数在处的切线与x轴平行，求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数．【解析】（1）略．（2）．令，由于，所以的零点即为的零点．．当时，，单调递减；当时，，单调递增；即．①当时，，即，无零点．②当时，，即有一个零点．③当时，，，，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；即，，所以，．即．由零点存在定理可知，此时，有且仅有两个零点，，且，，即有两个零点．④时，，有一个零点．⑤时，，，．即在上有一个零点．而当时，，即在上没有零点．即时，有且仅有一个零点．综上，时，没有零点；或时，有一个零点；时，有两个零点．5．已知函数．（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．【解析】（1）略．（2）设，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．若，则，则在定义域内单调递减，所以不满足条件，故，得．又∵，，．设，则，所以在上单调递减．当时，．即．∴，使．∴，即，单调递减；，即，单调递增；，即，单调递减，∵，∴．又∵，设，则，所以．由，得，，得．所以在上单调递减，在上单调递增，则．所以在上单调递增，则．即时，．所以，．∴由零点存在定理，得在和各有一个零点，又，结合函数的单调性可知有三个零点．6．已知函数．（1）当时，求的最大值．（2）讨论关于x的方程的实根的个数．【解析】（1）略（2）由得，令，所以方程的实根的个数即为函数在上零点的个数．∵，∴是函数的一个零点．又∵，∴在上的零点互为倒数，下面先研究在上的零点的个数；∵，i．若，则时，，∴在上的没有零点；ii．若，则，．令．①，即时，，∴，在上递增，∴，∴在上没有零点；②，即时，有两个不等实根，，且，∴大根，小根，∴时，，，单调递减，时，，，单调递增，∴．又∵，∴在上恒小于0，在上存在唯一使得，∴在上仅有一个零点．由于在上的零点互为倒数，且，所以时，仅有一个零点；时，有三个零点．综上：时，方程仅有一个实根；时，方程有三个实根．7．已知函数，其中．（1）当时，证明不等式恒成立；（2）若，证明有且仅有两个零点．【解析】（1）令，则，当时，，∴在上单调递减，∴，即不等式恒成立；（2）的定义域为，且．令，则，即在上单调递增，当时，，∴．．故在上有唯一解，即在上有唯一解，且．当时，，∴在上单调递减；当时，，∴在上单调递增；所以为唯一极值点．∵，∴，即在上有唯一零点．由于，结合（1）可知．所以．即在上有唯一零点，综上，在上有且仅有两个零点．8．已知函数，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数．