数项级数理论及其应用

PAGE14级数理论及应用PAGE13咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文-PAGE14-PAGE13前言我们学习了级数理论，但是我们知道的仅仅是结果，对于过程确实不甚了解。级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，从芝诺(ZenoofElea，约公元前490一约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数，亚里士多德(Aristotle)也认为这种公比小于1的几何级数有和，到阿基米德(Archimedes，公元前287一公元前212)在他的《抛物线图形求积法》一书中，在求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级数，并且求出了它的和，这时中国对于级数也有所发现，中国古代的《庄子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。而级数理论的形成和建立是在19世纪，柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家，之后在经过了几十年，级数理论才得以真正的完善，大致分为数项级数，函数项级数，幂级数，傅里叶级数。级数理论的发展可以分成几个时期：级数的早期工作、函数的展开、级数的求和、收敛与发散的初探、理论的形成、理论的建立、一致收敛、影响与发展、渐近级数、级数的可和性。每个时期都经过很长的时间才得以发展，都是经过很多数学家的共同努力才得出的结果。无穷级数在18世纪的形式发展，促成了数学家在19世纪建立无穷级数理论。无穷级数作为分析的一个有效工具，丰富了数学理论的发展。此外，发散级数在天文、物理上的广泛应用，推动了人类发展的进步。级数理论的发现极大的丰富了数学的内容，也使得数学史上的很多问题得以解决，也使得我们的生活更加便捷。一，数项级数1，一般概念定义1：给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式++…++…（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为数项级数（1）的通项。数项级数（1）也常写作：或简单写作。定义2：在数项级数中，每一项都是正数时，则称为正项级数。任意项级数：①若级数的各项符号正负相间，即称为交错级数。②级数称为等比级数（几何级数）。③级数称为调和级数。数项级数（1）的前项之和，记为==，称它为数项级数（1）的第个部分和，也简称部分和。定义2：若数项级数（1）的部分和数列收敛于（即），则称数项级数（1）收，称为数项级数（1）的和，记作或。若是发散数列敛，则称数项级数（1）发散。又若收敛，则称级数绝对收敛；而收敛，但发散，则称级数条件收敛。2.基本性质（1）.级数与（是常数）有相同的敛散性，且若，则。（2），若，（即它们收敛），则；若，之一发散（另一收敛），则发散；若，皆发散，则敛散不定。（3），加减有限不改变其敛散性（若级数收敛，其和有变化）。（4），收敛级数不改变顺序的任意结合添加括号后，所得级数收敛，且有同一和数；反之任意结合后的级数发散，厡级数发散；任意结合后的级数收敛，原级数不一定收敛。3，级数收敛的判别必要条件（即，则发散）。充要条件（柯西准则）任给，存在N，使当n>N时，对任意正整数m均有。充分条件（级数收敛的判定）级数收敛的充分条件，即级数收敛的判定条件，我们区分正项级数和任意级数进行讨论：正项级数：①比较法：若，则收敛收敛；发散发散。常用的比较级数有：几何级数，调和级数和p-级数。②比值法（达朗贝尔（d’Alembert，J.）判别法），若，收敛；若，发散；若，敛散不定。③高斯（Gauss，C.F.）判别法：，当或，，级数收敛；当或，，级数发散（，为常数，为有界变量）。④根值法：，当，收敛；当，发散；当，敛散不定。⑤积分法（柯西准则）（这里）：存在收敛；不存在发散。⑥其它方法。交错级数（莱布尼兹判别法）：，则当，且时，级数收敛。任意级数：若收敛，则亦收敛。几何级数，调和级数，P-级数收敛判别表几何级数收敛（和为）发散调和级数发散P-级数（P>0为常数）P>1收敛P≤1发散4,一般应用（1），数项级数收敛例1，若正项级数与都收敛，试证级数与也收敛。证：注意到题设，均为正数，由算数—几何平均值不等式，又知，均收敛，则也收敛，从而收敛。令=，则=，注意到收敛，故亦收敛。例2，若级数（1），（2）收敛，求，的值。解：（1）注意到～（时），故，即与同敛散，故〉时原级数收敛。（2）若，由≠＞(),级数发散；若＞0,将展开成Maclaurin级数有=，故=。从而收敛当且仅当＞1，即＞时。综上（1）（2）得＞，＞。(2),数项级数求和例3，求级数的和。解：由，故，消相得，故。例4，根据定义求级数的和。解：因为=，所以，从而二，函数项级数1，一般概念定义1：设是定义在数集E上的一个函数列，表达式（2），称为定义在E上的函数项级数，简记为或，称为函数项级数（2）的部分和函数，为（2）的和函数，则称为余和。2，基本性质定义2：若余和，对时,一致成立，称在上一致收敛。判别法：对于与，若对于总有，又收敛，则在上一致收敛（M-判别法）。性质：⑴，若的每项均在连续，且一致收敛则，①，和函数也在上连续，②，对于任何恒有=（可逐项积分）⑵，若在上收敛于，且均在上连续，又在上一致收敛，则=。（可逐项微分）3,一般应用（1），收敛域与一致收敛性例1，求函数项级数的收敛域。解：因为，所以当＜1，即时，级数绝对收敛。当＞1，即时，级数发散。当=1，即级数为，这是一个收敛的交错级数。因此，函数项级数的收敛域为。例2，利用Weiersyrass判别法证明函数项级数在上一致收敛。证：当时，=，级数收敛，从而级数在上一致收敛。三，幂级数1,一般概念定义1：由幂级数列所产生的函数项级数(1)它称为幂级数。当时得到幂级数（2）2，基本性质定理1（阿贝尔定理）：若幂级数（2）在收敛，则对满足不等式的任何幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在时发散，则对满足不等式的任何，幂级数（2）发散。幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以表示区间的长度，则称为幂级数的收敛半径，称为幂级数（2）的收敛区间。定理2：若幂级数（2）的收敛半径为，则在它的收敛区间内任一闭区间上级数（2）都一致收敛。定理3：对于幂级数（2），若，则当（ⅰ）时，幂级数（2）的收敛半径；（ⅱ）幂级数（2）的收敛半径；（ⅲ）幂级数（2）的收敛半径。在收敛区间内和函数连续，可逐项微分，逐项积分。定理4：（ⅰ）幂级数（2）的和函数是内的连续函数；（ⅱ）若幂级数（2）在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上左（右）连续。定理5：设幂级数（2）在收敛区间上的核函数为，若为内任意一点，则（ⅰ）在可导，且（ⅱ）在0与这个区间上可积，且。3，函数的幂级数展开定义1：如果函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为（3）的级数称为为函数在的泰勒级数。如果能在的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数在的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式的右边为在处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。在实际应用上，主要讨论函数在处的展开式，这时(3)式可以写作称为麦克劳林级数。4，一般应用（1），收敛域与展开例1，将函数展开成的幂级数，并指出其收敛域。解：因为，及重要公式，得（，即）。（2），求和例2，试求级数的和。解：所求级数的和为幂级数在的值，设，不妨再设，则故，所以即=四，傅里叶级数1,一般概念对于级数，只要当（如果，可用代替），由于所以=（1）。记，，则级数（1）可写成+（2），它是由三角函数列所产生的一般形式的三角级数。2,基本性质定理1：若级数收敛，则级数（2）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。定理2：若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：0,1,2，…，0,1,2，…，（3）一般地说，若是以为周期且在上可积的函数，则可按公式（3）计算出和，它们称为的傅里叶系数，以的傅里叶系数为系数的三角级数称为的傅里叶级数，记作～。（4）定理3：若以2为周期的函数在上按段光滑，则在每一点，的傅里叶级数（4）收敛于在点的左，右极限的算术平均值，即，其中，为的傅里叶系数。预备定理1（贝塞尔（Bessel）不等式）：若函数在[]上可积，则，其中,为的傅里叶系数，称为贝塞尔不等式。预备定理2：若是以为周期的函数，且在上可积，则它的傅里叶级数部分和可写成，当时，被积函数中的不定式由极限来确定。3，以为周期的函数的展开式设是以为周期的函数，通过变量置换或可以把变换成以为周期的的函数。若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是：～其中=0,1,2，…，=1,2，…，因为，所以=，于是得～（5）与=0,1,2，…，=1,2，…，（6）这里（5）式是以为周期的函数的傅里叶系数，（5）式是的傅里叶级数。设是以为周期的函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，是奇函数，+称为余弦函数，称为正弦函数。4一般应用（1）展开与求和例1，将函数展开成以为周期的Fourier级数，并由此求级数的和。解：函数是符合Dielchlet条件的偶函数，故级数中的，只需计算即可因，，且在区间上连续，所以由Dielchlet收敛定理得，当时，，从而，又因为，从而。参考文献【1】谢惠民，钱定边，易法槐，珲自求，数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社2004：1-137.【2】上海交通大学数学系，高等数学习题与精解[M].上海：上海交通大学出版社2005:399-425.【3】吴振奎，高等数学（微积分）复习及试题精选[M].北京：北京工业大学出版社2004:600-628【4】华东师范大学数学系，数学分析（下册）第三版[M].北京：高等教育出版社2001:1-78.【