第二章概念与性质第八节对数函数

第八节对数函数⁠1.通过具体实例，了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.CONTENTS010203/目录

知识·逐点夯实考点·分类突破课时·过关检测01⁠1.对数函数的概念函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是

（0，＋∞）

⁠.提醒

对数函数y＝logax的3个特征：（1）底数a＞0，且a≠1；（2）自变量x＞0；（3）系数为1.2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与性质底数a＞10＜a＜1图象⁠⁠（0，＋∞）

性质定义域：

（0，＋∞）

⁠值域：R图象过定点

（1，0）

⁠，即恒有loga1＝0当x＞1时，恒有y＞0；当0＜x＜1时，恒有y＜0当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0在（0，＋∞）上是

增函数

⁠在（0，＋∞）上是

减函数

⁠注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论（0，＋∞）

（1，0）

增函数

减函数

3.反函数指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.y＝ax与y＝logax的函数图象关于

y＝x

⁠对称.y＝x

⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.

（

）答案：（1）×

（3）当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.

（

）答案：（2）√

答案：（3）×

其中是对数函数的有

（

）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：A

①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a

4.函数y＝log2（x＋1）的图象大致是

（

）解析：C

函数y＝log2（x＋1）的图象是由函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点（0，0），函数定义域为（－1，＋∞），且在（－1，＋∞）上是增函数，故选C.

⁠对数函数图象的特点

（3）在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.⁠1.（多选）（2023·济宁一模）如图是三个对数函数的图象，则

（

）A.a＞1B.0＜b＜1C.2b＜2c＜2aD.c＜b解析：ABC

由结论（3）可知A、B、C正确.2.函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是

⁠.

解析：当x＝2时，函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的值为2，所以图象恒过定点（2，2）.答案：（2，2）02⁠对数函数的图象及应用【例1】

（1）已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），则y＝f（｜x｜－1）的图象可能是

（

）

答案

（1）B

答案

（1）B

（2）B｜解题技法｜利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想；（2）对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.⁠1.已知函数f（x）＝logax＋b的图象如图所示，那么函数g（x）＝ax＋b的图象可能为

（

）解析：B

因为函数y＝logax的图象过定点（1，0），当a＞1时，y＝logax在定义域上单调递增，且函数f（x）＝logax＋b在定义域上单调递增，函数f（x）＝logax＋b的图象是由函数y＝logax的图象向下平移（－b）个单位长度得到的，所以a＞1，1＜－b＜2.当a＞1时，函数y＝ax为增函数，其图象过定点（0，1）.函数g（x）＝ax＋b的图象是由函数y＝ax的图象向下平移（－b）个单位长度得到的，观察选项知，只有B满足题意，故选B.2.已知函数f（x）＝｜lnx｜，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则ab＝

⁠.

解析：因为0＜a＜b且f（a）＝f（b），所以｜ln

a｜＝｜ln

b｜且0＜a＜1，b＞1，所以－ln

a＝ln

b，即ab＝1.答案：1对数函数的性质及应用考向1

比较对数式的大小【例2】

已知实数a，b满足loga2＞logb2＞1，则

（

）A.1＜a＜2＜bB.1＜a＜b＜2C.1＜b＜a＜2D.a＜1＜b＜2

法二：因为loga2＞logb2＞1，所以a＞1，b＞1，令f（x）＝logax（a＞1），g（x）＝logbx（b＞1），h（x）＝log2x，又f（2）＞g（2）＞1＝h（2），所以函数f（x），g（x），h（x）的图象如图所示，所以1＜a＜b＜2，故选B.答案

B｜解题技法｜比较对数值大小的常见类型及解题方法考向2

解对数方程或不等式

｜解题技法｜求解对数不等式的两种类型及方法（1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；（2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.考向3

对数型函数性质的综合问题

A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数D.f（x）的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）

答案

ACD｜解题技法｜

与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性.⁠1.已知a＝log25，b＝log53，c＝20.7，则

（

）A.b＜a＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.b＜c＜a解析：D

因为a＝log25＞log24＝2，b＝log53＜log55＝1，c＝20.7＞20＝1，c＝20.7＜21＝2，所以b＜c＜a，故选D.2.已知函数f（x）＝lg（x2－4x－5）在（a，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是

（

）A.（－∞，－1]B.（－∞，2]C.[2，＋∞）D.[5，＋∞）解析：D

由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（5，＋∞）.又函数y＝x2－4x－5在（5，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减，所以函数f（x）＝lg（x2－4x－5）在（5，＋∞）上单调递增，所以a≥5.故选D.

03⁠1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝

（

）A.log2xD.2x－2解析：A

由题意得，f（x）＝logax（a＞0且a≠1），因为f（2）＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f（x）＝log2x.2.函数y＝loga（2x＋7）－2（a＞0，且a≠1）的图象一定经过的点是

（

）B.（－3，－2）C.（－3，－1）D.（－4，－2）解析：B

令2x＋7＝1，得x＝－3，此时y＝－2，即函数图象过定点（－3，－2）.故选B.3.若函数y＝a｜x｜（a＞0，且a≠1）的值域为{y｜y≥1}，则函数y＝loga｜x｜的图象大致是

（

）解析：B

由于y＝a｜x｜的值域为{y｜y≥1}，所以a＞1，则y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又函数y＝loga｜x｜的图象关于y轴对称.因此y＝loga｜x｜的图象应大致为选项B.

A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b

5.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为[H＋]＝2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH约为（参考数据：lg2≈0.301）

（

）A.0.398B.1.301C.1.398D.1.602

6.（多选）已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的说法为

（

）A.f（x）的图象关于原点对称B.f（x）的图象关于y轴对称C.f（x）的最大值为0D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增解析：BC

f（x）＝log2（1－｜x｜）为偶函数，不是奇函数，所以A错误，B正确；根据f（x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x）≤log21＝0，故C正确.7.函数y＝logax（a＞0，a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝

⁠.

8.已知函数f（x）满足：①定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；②值域为R；③f（－x）＝f（x）.写出一个满足上述条件的函数f（x）＝

⁠.

解析：f（x）＝ln｜x｜的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为R，且f（－x）＝ln｜－x｜＝ln｜x｜＝f（x），因此f（x）＝ln｜x｜符合题意.答案：ln｜x｜（答案不唯一）9.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝lg（3x＋1）－1，则不等式f（x）＞0的解集为

⁠.

解析：当x≥0时，由f（x）＝lg（3x＋1）－1＞0，得x＞3.又因为函数f（x）为偶函数，所以不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）.答案：（－∞，－3）∪（3，＋∞）10.设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.（1）求实数a的值及f（x）的定义域；

⁠

A.（0，＋∞）B.（2，＋∞）C.（1，＋∞）

12.（多选）已知函数f（x）＝ln（x－2）＋ln（6－x），则

（

）A.f