平行、垂直的综合问题

第六节平行、垂直的综合问题考向1

平行与垂直关系的综合问题【典例1】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点.求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路点拨】(1)由B1C1=A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证.(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化为证明线面平行.【规范解答】(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1=A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM平面B1NC,B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM=M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.【互动探究】将本例条件“B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点”改为“AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点”，求证：(1)B1C∥平面A1BD.(2)B1C1⊥平面ABB1A1.【证明】(1)如图，连接AB1.令AB1∩A1B=O，则O为AB1的中点.连接OD，∵D为AC的中点，∴在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB=B1B，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形.∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵AC1⊂平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，AC1∩AB1=A，∴A1B⊥平面AB1C1.又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥B1C1.又∵A1A⊂平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B=A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.

【拓展提升】解决平行与垂直关系的综合应用问题的方法解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图.图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线平行与垂直关系是证明的关键.【提醒】在利用线面平行、垂直关系的判定与性质证明问题时，一定要把条件写全，否则不一定成立.【变式备选】如图，已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F为AD的中点.(1)求证：EF∥平面ABC.(2)求证：平面ADE⊥平面ADC.(3)求四棱锥A-BCDE的体积.【解析】(1)取AC中点G，连接FG，BG，∵F,G分别是AD，AC的中点，∴FG∥CD，且FG=CD=1.∵BE∥CD，BE=CD，∴FG与BE平行且相等，∴四边形BEFG是平行四边形.∴EF∥BG.又EF平面ABC，BG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵△ABC为等边三角形，∴BG⊥AC，又∵DC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴DC⊥BG.∴BG⊥平面ADC.∵EF∥BG，∴EF⊥平面ADC.∵EF⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ADC.(3)方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥：E-ABC和E-ACD.方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，又BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，∴AO为四棱锥A-BCDE的高且又S四边形BCDE=∴VA-BCDE=考向2

平面图形的折叠问题【典例2】(1)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面三个结论：①直线BE与AF异面；②直线BE与CF异面，EF∥平面PBC；③平面BCE∩平面PAD=EF.其中正确的有______(把所有正确结论的序号都填上).(2)(2013·郑州模拟)图1是由菱形BCDE和△ABC组成的五边形，其中P为AB的中点，现沿BC将菱形BCDE折起，使得AD=AB，得到如图2所示的几何体.证明：①AD∥平面PCE；②平面ABD⊥平面ACE.【思路点拨】(1)该几何体是一个四棱锥，先画出四棱锥，然后再判断.(2)①由于P为AB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；②要证平面ABD⊥平面ACE，可证明BD⊥平面ACE.【规范解答】(1)如图所示，①显然正确；由已知可得EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，即E，F，B，C共面，∴②错误；③正确.答案:①③(2)①如图，设菱形BCDE的两条对角线交于点Q，连接AQ，PQ.在△ABD中，Q为BD的中点，P为AB的中点，则AD∥PQ.又∵PQ⊂平面PCE，AD平面PCE，∴AD∥平面PCE.②∵四边形BCDE为菱形，∴BD⊥CE，且BQ=DQ.又在△ABD中，AB=AD，BQ=DQ，∴AQ⊥BD.又AQ∩CE=Q，∴BD⊥平面ACE.又BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE.【拓展提升】解决折叠问题的关注点(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.【变式训练】已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：BC⊥平面CDE.(2)求证：FG∥平面BCD.(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面BCD，并说明理由.【解析】(1)由已知得：DE⊥AE，又DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC.又BC⊥CE，DE∩CE=E，∴BC⊥平面CDE.(2)取AB的中点H，连接GH，FH.∵G为AD的中点，∴GH∥BD，FH∥BC.又∵BD⊂平面BCD，GH平面BCD，BC⊂平面BCD，FH平面BCD，∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.又GH∩FH=H，GH，FH⊂平面FHG，∴平面FHG∥平面BCD.∵FG⊂平面FHG，∴FG∥平面BCD.(3)R点满足3AR=RE时，平面BDR⊥平面BCD.证明如下：取BD中点Q，连接DR，BR，CR，CQ，RQ.容易计算CD=2，BD=，CR=，BR=，DR=，CQ=在△BDR中，∵BR=，DR=，BD=，根据余弦定理可得RQ=.在△CRQ中，CQ2+RQ2=CR2，∴CQ⊥RQ.又在△BCD中，CD=CB，Q为BD的中点，∴CQ⊥BD.∴CQ⊥平面BDR，又CQ⊂平面BCD，∴平面BDR⊥平面BCD.考向3

立体几何中的探索性问题【典例3】(2013·海淀模拟)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD.(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD.(3)在棱PC上是否存在点M(异于点C)使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【思路点拨】(1)利用菱形的对角线互相垂直求证.(2)可由面面垂直的性质得BD⊥平面PAC，然后借助菱形的性质求得PB=PD.(3)可假设存在点M，然后从BM∥平面PAD推得结论.【规范解答】(1)因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为AC⊥PD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD.(2)由(1)知AC⊥BD.因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因为PO⊂平面PAC，所以BD⊥PO.因为底面ABCD是菱形，所以BO=DO，所以PB=PD.(3)不存在满足题中条件的点M.下面用反证法说明.假设在棱PC上存在点M(异于点C)使得BM∥平面PAD.在菱形ABCD中，BC∥AD，因为AD⊂平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为BM⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，BC∩BM=B，所以平面PBC∥平面PAD.而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.故假设不成立，即不存在这样的点M.【拓展提升】1.探索性问题的类型(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.(2)探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么.2.求解探索性问题的方法(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.【变式训练】如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，F是PB的中点.(1)求证：PA⊥DF.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由.【解析】(1)如图，取PA的中点E，连接EF，DE，则EF∥AB.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.又AB⊥AD，PD∩AD=D，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA.∵EF∥AB，∴EF⊥PA.∵PD=DC=DA，∴DE⊥PA.∵DE∩EF=E，∴PA⊥平面DEF，∴PA⊥DF.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点.理由如下：取AD的中点G，连接PG，BG，GF，EG，∵∠PDA=∠BAD，DG=AG，PD=DC=BA，∴△PDG≌△BAG，∴PG=BG.又F为PB的中点，故GF⊥PB.∵EF∥AB，AB⊥BC，∴EF⊥BC.∵EG∥PD，PD⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∴EG⊥BC.又∵EG∩EF=E，∴BC⊥平面EFG.∵GF⊂平面EFG，∴BC⊥GF.∵GF⊥PB，PB∩BC=B，∴GF⊥平面PBC.【满分指导】解答立体几何中的折叠问题【典例】(12分)(2012·江西高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG.(2)求多面体CDEFG的体积.【思路点拨】

【规范解答】(1)因为DE⊥AB，CF⊥AB，CD∥AB，所以四边形CDEF为矩形.……………1分由GD=AD