第7章 典型的代数系统

重庆文理学院计算机学院

离散数学第七章典型的代数系统AnIntroductiontoDatabaseSystenm第七章典型的代数系统7.1半群与群7.2环和域7.3格与布尔代数AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群与群7.1.1半群与独异点7.1.2群的定义与性质7.1.3子群7.1.4陪集与拉格朗日定理7.1.5正规子群与商群7.1.6群的同态与同构AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群与独异点定义7.1.1（1）设是代数系统，为二元运算，如果是可结合的，则称V为半群。（2）设是半群，若是关于运算的幺元，则称V是幺半群，也叫做独异点。有时也将独异点V记作。例7.1.1

（1）、、、、都是半群，+是普通加法。且这些半群中除外都是独异点。（2）为半群，也是独异点，其中为集合的对称差运算。（3）设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群与独异点因为半群中的运算是可结合的，可以定义运算的幂。对任意，规定是

用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。如果半群中的二元运算是可交换的，则称V为可交换半群。例7.1.1中（1）,（2）都是可交换的半群，而（3）不是，因为矩阵的乘法运算不适合交换律。独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。由于独异点V中含有幺元e，对任意的，可以定义x的零次幂，即AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群与独异点半群的子代数叫做子半群，独异点的子代数叫做子独异点。根据子代数的定义可知，若V=<S,◦>是半群，T⊆S，只要T对V中的运算封闭，那么<T,◦>就是V的子半群。对独异点<S,◦,e>来说，T⊆S，不仅T要对V中的运算◦封闭，而且e∈T，此时<T,◦,e>才构成V的子独异点。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群与独异点定义7.1.2设，为半群，则也是半群，且对任意的有称为和的积半群。定义7.1.3设，为半群，，且对任意的有

则称为半群到的同态。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群与群7.1.1半群与独异点7.1.2群的定义与性质7.1.3子群7.1.4陪集与拉格朗日定理7.1.5正规子群与商群7.1.6群的同态与同构AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定义与性质定义7.1.4设是代数系统，为二元运算，如果是可结合的，存在幺元，且对G中的所有元素x都有，则称G为群。若群G中的二元运算是可交换的，则称群G为交换群，也叫阿贝尔群。若群G中有无限多个元素，则称群G为无限群；否则称为有限群。对于有限群G，G中的元素个数也叫做G的阶，记作。只包含一个元素的群，即G={e}，称为平凡群。例7.1.6（1）是阿贝尔群，幺元是0，每个的逆元是。（2）是阿贝尔群，幺元是1，每个的逆元是。（3）和都是无限群，是有限群，其阶是n，Klein四元群也是有限群，其阶是4。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定义与性质定理7.1.2设为半群，若（1）有左幺元，即，使，；（2）每个元素有左逆元，即，，使，则是群。例7.1.7

考虑代数系统，其中

是G上的矩阵乘法运算。则是半群，且（1）是的左幺元；

（2），；但无右幺元，故不是群。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定义与性质定理7.1.3设G为半群，对，若方程和在G中都有解，则是群。定理7.1.4设G为群，则G中的幂运算满足：（1），。（2），。（3），。（4），。（5）若G为交换群，则。定理7.1.5群中不可能有零元。定理7.1.6设G为群，则（1），方程和在G中都有唯一解；（2）G中消去律成立，即对，有若，则若，则AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定义与性质元素的阶的概念：设<G,◦>是群，若a∈G，使得成立的最小正整数r，称为a的阶，记为|a|。

定理7.1.6设G为群，a∈G，且。设k是整数，则（1）当且仅当（r整除k）。（2）。定理7.1.7设G为有限群，，则，。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群与群7.1.1半群与独异点7.1.2群的定义与性质7.1.3子群7.1.4陪集与拉格朗日定理7.1.5正规子群与商群7.1.6群的同态与同构AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.3子群群的子代数叫做子群，定义如下：定义7.1.5设G为群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群，记作H≤G。若H是G的子群且则称H是G的真子群，记作。对任何群G都存在子群。G和{e}都是G的子群，它们称为G的平凡子群。定理7.1.8设G为群，H≤G，则（1）H的幺元就是G的幺元。（2），a在H中的逆元就是a在G中的逆元。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.3子群子群的判定定理。定理7.1.9（判定定理1）设G为群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当下面的条件成立：（1），有。（2），有。定理7.1.10（判定定理2）设G为群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当有。定理7.1.11（判定定理3）设G为群，H是G的非空子集。如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当有。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群与群7.1.1半群与独异点7.1.2群的定义与性质7.1.3子群7.1.4陪集与拉格朗日定理7.1.5正规子群与商群7.1.6群的同态与同构AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集与拉格朗日定理定义7.1.6设H是G的子群，。集合称为由a确定的子群H在群G中的左陪集，称a为aH的代表元素。集合称为由a确定的子群H在群G中的右陪集，称a为Ha的代表元素。例7.1.17（1）设是Klein群，是G的子群。那么H的所有的右陪集是：不同的右陪集只有两个，即和H。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集与拉格朗日定理（2）设，是A上的双射函数。其中令，则G关于函数的复合运算构成群。考虑G的子群做出H的全体右陪集如下：易见，，，不同的右陪集只有三个，每个右陪集都是G的子集。做出H的全体左陪集如下：易见，，，不同的左陪集只有三个，每个左陪集都是G的子集。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集与拉格朗日定理定理7.1.12设H是G的子群，则（1）（2）有定理7.1.13设H是G的子群，则有定理7.1.14设H是G的子群，在G上定义二元关系

则R是G上的等价关系，且。推论设H是G的子群，则（1），或（2）

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集与拉格朗日定理

以上是对子群H的右陪集及其性质的讨论。类似地，也可以得到H的左陪集的性质：（1）。（2），有。（3），有。（4）若G上定义二元关系，有则R是G上的等价关系，且。值得注意的是，尽管子群的右陪集和左陪集是不相等的，但右陪集的个数与左陪集的个数却是相等的。因此以后不加区分地统称为H在G中的陪集数，也叫做H在G中的指数，记作[G:H]。

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集与拉格朗日定理定理7.1.15（拉格朗日定理）设G是有限群，H是G的子群，则即，有限群的子群的阶必能整除该群的阶。推论1对n阶有限群G中的任何元素a，必有，其中e是群G中的幺元。推论2素数阶的群只有平凡子群。拉格朗日定理对分析有限群中元素的阶很有用，但值得注意的是，这个定理的逆命题并不为真。

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群与群7.1.1半群与独异点7.1.2群的定义与性质7.1.3子群7.1.4陪集与拉格朗日定理7.1.5正规子群与商群7.1.6群的同态与同构AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.5正规子群与商群

定义7.1.7设H是G的子群，如果∀a∈G都有aH=Ha，则称H为G的正规子群，记作。对于正规子群，不必区分左陪集或右陪集，而简称为陪集。值得注意的是，aH=Ha并不意味着∀h∈H，ah=ha，而是指∀h1∈H，∃h2∈H，使得ah1=h2a。任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群G和{e}都是G的正规子群。如果G是阿贝尔群，则G的所有子群都是正规子群。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.5正规子群与商群

定理7.1.16设H是G的子群，则下列条件等价：（1）（2），（3），（4），，

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.5正规子群与商群由群G和G的正规子群H可以定义一个新的群，就是G的商群G/H。设G是群，H是G的正规子群，令G/H是H在G中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即G/H={Ha|a∈G}在G/H上定义二元运算◦如下：∀Ha,Hb∈G/H，Ha◦Hb=Hab可以证明G/H关于运算◦构成一个群<G/H,◦>，称为G的商群。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群与群7.1.1半群与独异点7.1.2群的定义与性质7.1.3子群7.1.4陪集与拉格朗日定理7.1.5正规子群与商群7.1.6群的同态与同构AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.6群的同态与同构

定义7.1.8设、是群，，若都有则称是群到群的同态映射，简称同态。例7.1.25（1）设是整数加群，是模n的整数加群。令则是群到群的同态。因为，有（2）设是实数加群，是非零实数关于普通乘法构成的群。令则是群到群的同态。因为，有AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.6群的同态与同构定义7.1.9设，是群到群的同态，（1）若是满射的，则称为满同态，这时也称是的同态像，记作。（2）若是单射的，则称为单同态。（3）若是双射的，则称为同构，记作。（4）若，则称是群G的自同态。定理7.1.17设是群到群的同态映射，和分别为和的幺元，则（1）（2）AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.6群的同态与同构例7.1.26设是有理数加群，是非零有理数乘法群。证明不存在G2到G1的同构。证明：假设是G2到G1的同构，那么有于是有从而有，这与的单射性矛盾。因此不存在G2到G1的同构。定义7.1.10设是群G1到群G2的同态，令其中e2为G2的幺元，称为同态的核。定理7.1.18设是群G1到群G2的同态映射，（1）；（2）是单同态当且仅当，其中为G1的幺元。AnIntroductiontoDatabaseSystenm第七章典型的代数系统7.1半群与群7.2环和域7.3格与布尔代数AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2环和域7.2.1环的定义7.2.2整环与域7.2.3环与域的性质7.2.4子环、理想与商环AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.1环的定义

定义7.2.1设是代数系统，R为集合，+，为二元运算，如果（1）为阿贝尔群；（2）为半群；（3）乘法对加法+满足分配律，则称是环。例7.2.1（1），，，都是环，其中+和分别为数的普通加法和乘法。（2）是环，其中是n阶实矩阵的集合，+和分别为矩阵的加法和乘法。（3）是模n的整数环，其中，和分别表示模n的加法和乘法。即，有在中，的幺元称为零元，记作0。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.1环的定义对，a关于+的逆元称为a的负元，记作-a。，简记为。对，记作。对，，a关于+的n次幂称为a的n倍，记为na。

定理设<R,+,·>是环，则，，有其中，0是加法幺元。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2环和域7.2.1环的定义7.2.2整环与域7.2.3环与域的性质7.2.4子环、理想与商环AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.2整环与域定义7.2.2设<R,+,·>是环，（1）若半群<R,·>是可交换的，则称<R,+,·>为可交换环。（2）若<R,·>是独异点，则称<R,+,·>为含幺环，并把<R,·>的幺元记为1。（3）若∃a,b∈R-{0}，使得a·b=0，则称<R,+,·>为有零因子环，并称a和b为<R,+,·>的零因子。若∀a,b∈R,a·b=0，必有a=0或b=0，则称<R,+,·>为无零因子环。（4）若<R,+,·>是交换环、含幺环和无零因子环，则称<R,+,·>为整环。定义7.2.3设代数系统<F,+,·>满足：(1).<F,+>是阿贝尔群；(2).<F-{0},·>为阿贝尔群；(3).运算·对运算+满足分配律，则称代数系统<F,+,·>为域。

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2环和域7.2.1环的定义7.2.2整环与域7.2.3环与域的性质7.2.4子环、理想与商环AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.3环与域的性质定理7.2.1设<R,+,·>是环，则，有（1）（2）（3）（4）

（5）

（6）若，则，即二项式定理成立。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.3环与域的性质例7.2.5

在环中计算和。解：

定理7.2.2设<R,+,·>是环，则<R,+,·>是无零因子环当且仅当在R中乘法满足消去律。定理7.2.3两个域的积代数不是域。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2环和域7.2.1环的定义7.2.2整环与域7.2.3环与域的性质7.2.4子环、理想与商环AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.4子环、理想与商环

定义7.2.3设<R,+,·>是环，S是R的非空子集。若<S,+,·>也是环，则称<S,+,·>为<R,+,·>的子环。定义7.2.4设<R,+,·>是环，S是R的非空子集。若对S中任意元素a和b，有(1)a+b∈S(2)-a∈S(3)0∈S(4)ab∈S则称<S,+,·>为<R,+,·>的子环。

上述定义中的(1),(2)和(3)说明<S,+>为<R,+>的子群，而(4)说明<S,·>为<R,·>的子半群。子环必是环，且其零元与原环零元一致。显然，任意环都有两个平凡子环，即它自身和<{0},+,·>。定理7.2.5设<R,+,·>是环，S是R的非空子集。如果（1）∀a,b∈S，有a-b∈S（2）∀a,b∈S，有a·b∈S则<S,+,·>是<R,+,·>的子环。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.4子环、理想与商环

定义7.2.4

设<R,+,·>是环，<D,+,·>是其子环。若∀a∈D和∀x∈R有a·x∈D(或x·a∈D)，则称<D,+,·>是<R,+,·>的右(左)理想子环，简称右(左)理想。若∀a∈D和∀x∈R