12-1-非参数统计秩和检验

参数的假设检验 总体分布类型，对假设干个未知参数〔如均值，方差〕作统计假设检验。非参数的假设检验〔NonparametricTests〕 不依赖总体分布类型，对总体分布的某种假设〔例如对分布的形状、分位数大小、对称性等假设〕进行作统计检验。

上节介绍的拟合优度检验就是一种非参数检验方法，这节主要介绍符号检验法(计数统计量)、秩和检验法〔秩统计量〕、符号秩和检验法〔符号秩统计量〕。非参数检验计数统计量

设X是随机变量，对给定的实数θ0，记 称为X按θ0分段的计数统计量

设X1,…Xn是来自连续分布总体的简单随机样本，对于检验问题：

H0:F(0)=1/2H1:F(0)≠1/2符号检验法〔SignTests〕 拒绝域：扩展：

H0:F(θ0)=p0H1:F(θ0)≠p0符号检验法〔SignTests〕 拒绝域：某工厂为提高某种产品的质量，对生产工艺进行了改变.随机地取一新产品和一旧产品作为一对进行比较，共比较了20对.记录如下〔＋表示新产品好，－表示旧产品好〕:＋，－，－，＋，＋，＋，＋，＋，－，＋，＋，＋，＋，－，＋，＋，＋，＋，＋，＋那么新工艺下的产品是否比原工艺下的产品质量确有改进?例8.2假设H0成立,新产品Y、旧产品X独立同分布,那么T=Y-X的分布关于0对称，即F(0)=1/2.

H0:F(0)=1/2H1:F(0)>1/2 拒绝域： 查表附表8得C＝15

B＝16拒绝原假设 结论：新产品比旧产品好例8.2秩和检验法符号检验法的缺点:没有充分利用数据本身提供的信息，而且两样本的时候必须在数据成对时使用。 如果两样本数据不成对，那么可用秩和检验法。设Z1,…Zn是来自连续分布F(Z)的样本，其次序统计量记为Z〔1〕≤…≤Z〔n〕.令Ri=min{k:1≤k≤N,Zi=Z(k)}(i=1,…,N) 称Ri为Zi的秩. 如果样本中几个观察值相同，占有了相邻的几个秩次，它们的秩可以有多种不同的约定〔同取最小的秩次，同取平均秩次，或同取最大秩次〕上式相当于约定为同取最小秩次。什么叫秩设Z1,…Zn是来自连续分布F(Z)的样本，Ri为Zi的秩.，那么随机向量R=(R1,…RN)在集合A={γ:γ是1,…N的一个排列}上等概率分布.有A=P(R=γ)=1/N!定理8.2(P165)用两种材料A和B制造同一件产品，今分别随机抽取假设干个进行比较，按产品性能从劣到优排列如下：

B,B,A,B,B,A,A,B,A,A,A,A

问：两种材料对产品的性能有无影响？

H0:A和B两种材料效果一样

<vs>

H1:A和B两种材料效果不同例8.4(P167)编秩BBABBAABAAAA123456789101112R1R2Q1R3R4Q2Q3R5Q4Q5Q6Q7来自A的样本容量为7〔m〕来自B的样本容量为5〔n〕秩和在原假设成立的条件下应该服从怎么样的分布

分析假设原假设H0:A和B两种材料效果一样成立，那么这两种质地的产品可以看作是一个样本，那么由定理8.2，它们的秩在A={γ:γ是1,…12的一个排列}上等概率分布.

{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

从1－12中任意抽取5个数出来，其和等于w的概率的概率 拒绝域：W的取值发生情形概率151，2，3，4，52，1，3，4，5…n!/（n+m)!181，2，3，4，82，3，4，5,7…>n!/（n+m)!………

m=7,n=5,取α＝0.10查表得到W1=22,W2=43,而实际的W为20，样本落入否认域.拒绝原假设，认为A,B两种材料对产品质量有显著差异.

例8.4(P167)符号秩和检验法假设X1,…Xn是来自连续分布F(X)的样本，Ri+为|X1|,…|Xn|在〔|X1|,…|Xn|〕中的秩，那么

为符号秩符号秩和检验法原理

定理8.4设是关于0对称的连续分布的样本，它们的绝对秩，那么服从p=1/2的伯努力分布(i=1,…,n),在A={:为1，2,…,n的排列}上均匀分布。

以n=2为例

(12)(1-2)(-12)(-1-2)(21)(-21)(2-1)(-2-1)

以n=2为例

(12)(10)(02)(00)(21)(01)(20)(00)

设X1,…Xn是来自连续分布总体F(X)的简单随机样本，F(X)连续有对称点0.

H0:θ=

0H1:θ≠0 拒绝域：符号秩和检验法W+的取值发生情形概率0(-1-2)(-2-1)1/41(1-2)(-21)1/42(-12)(2-1)1/43(12)(21)1/4

以n=2为例

设X1,…Xn是来自连续分布总体F(X)的简单随机样本，F(X)连续有对称点θ.