物理学中的对称性与守恒定律

物理学中的对称性与守恒定律

现代音乐家充分运用类比原则，探索未知的基本原理。作为大学物理教学,应当把对称性原理及对称性与守恒定律的关系介绍给学生,使他们学会从普通物理的对称性理论去思考问题,充分利用守衡量,提出问题和分析问题,以达到对问题的一个总体估计和理解。所以,如何引入“对称性”概念,给工科物理以新的视野,成为许多人关心的问题。一、变性、对称和坚守对称性是人们在观察和认识自然过程中所形成的一种观念。它最早是一个几何学上的概念,其实就是某种不变性。比如,说某个图形具有旋转对称性,就意味着该图形绕某一个固定的轴转某一角度后,图形保持不变。因此对称性可概括为:如果某一系统(或现象)在某一变换下不改变,则说该系统(或现象)具有该变换条件下所对应的某种对称性(不变性)。在物理学中,对称性具有深刻的含义,它指的是物理规律在某种变化下的不变性。比如力学规律在匀速坐标系下的不变性,即伽里略变换下的不变性,它是牛顿力学的基础之一。对称性原理则是对称性理论的概括,它是由皮埃尔·居里(Pierrecunie)首先提出的。它的内容是:原因中的对称性必然反映在结果中,即结果中的对称性至少有原因中对称性那样多。反过来说,结果中的不对称性必然在原因中有所反映,即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那样多。一般来说,自然界千变万化的运动,都会从一些方面显现出各式各样的对称性,同时又通过对称性的演化和破缺来反映运动演化的特点。在实际中人们对某一规律的认识,更多地是先认识其中所包含的对称性,并且对这些对称性的认识往往在进一步认识物理规律中起着重要作用。所以对称性的研究是物理学规律探索的重要方面。对称性制约作用量的形式,然而物理学家并不可能先验地知道我们这个世界所涉及到的全部对称性,而已经确实知道的对称性又不足以完全确定作用量的形式。尽管作用量可能具有的形式已经大大受到限制,但他们仍然可以具有许许多多种可能的对称形式。物理学家们不得不采用试探性的方法,根据物理上的可能性依次考察每一个作用量的候选者,这种试探性的方法艰巨而繁难,而且很难说是有成效的。1916年诺特(A·E·Noether)提出一个著名定理,给探寻作用量的形式带来了曙光。诺特定理是说,作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律,有一个守恒量。对称和守恒这两个概念是紧密地联系在一起的。而且,当代物理学已证明,每一种对称性就相应地存在一个守恒定律,这是一个普遍的物理学原理。二、学以十分困难描述对称性的数学工具是群论,这对于工科物理教学是十分困难的。那么如何用普物的方法介绍对称性原理在大学物理中的应用呢?力学中的三大守恒定律与时空对称性的密切关系就是一个很好的例子。1.u3000能量的守恒性只要实验条件相同,任何一个物理实验的过程和结果都与它在什么时间做的没有关系。因此,物理规律具有时间平移不变性。它要求物理定律不随时间变化,即昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的。时间平移不变性又称时间均匀性或时间平移对称性。此对称性与能量守恒对应。质量为m的一个粒子,在势能V(x,t)场中作一维运动,其受力为F(x)则F做功AA=∫x2x1Fdx=-∫x2x1∂V∂xdx(1)∂V∂xdx(1)一般情况dV=∂V∂xdx+∂V∂tdt(2)dV=∂V∂xdx+∂V∂tdt(2)将(2)代入(1)得A=∫x2x1−dV+∂V∂tdt(3)-dV+∂V∂tdt(3)再由动能定理A=E2-E1,(3)式变为(E为动能)(E2+V2)-(E1+V1)=∫x2x1∂V∂tdt∂V∂tdt若热能函数不随时间t变化时即∂V∂t=0∂V∂t=0,则E2+V2=E1+V1=恒量。这说明当势能函数对时间平移具有不变性时,能量具有守恒性。用对称性原理可表述为,有势能对时间平移的不变性,就必有能量的守恒性。可见,如果物理定律随时间变化,例如重力法则随时间变化,那就可以利用重力随时间的可变性,在重力变弱时把水提升到蓄水池中去,所需做的功较少;在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来,利用水力发电,释放出较多的能量。这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机,这是与能量守恒定律相违背的。这就清楚地说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系。2.把握各奏动量函数的运动规律一个物理实验与它所处的空间位置没有关系。只要实验条件相同,在两个不同地方所做的实验结果都相同。因此,物理规律具有空间平移不变性。空间平移不变性也称空间均匀性或空间平移对称性。此对称性与动量守恒对应。质量为m的一个粒子,在势能V(x,t)的场中作一维运动,若P为粒子的动量函数,其运动由下面方程所决定。dpdt=F=−∂V∂xdpdt=F=-∂V∂x若空间势能函数V不随位置x变化,即∂V∂x=0∂V∂x=0,则p=恒量。这说明,当势能函数对空间平移具有不变性时,动量具有守恒性。即有势能对空间平移的不变性,必有动量的守恒性。例如,考虑两个质点组成的系统,它们的相互作用能为U,U是这两个质点位置r1、r2的函数U(r1、r2),由于物理定律具有空间平移对称性,质点的绝对位置是一个不可观测量,质点间的相互作用势能只能依赖质点间的相对位置,即U(r1-r2)。将质点1和质点2移动相同的小量,相互作用能U不变,则相互作用力做功的总和为零。由于位移相同,因此系统相互作用力之和为零,即两个质点之间的作用力与反作用力大小相等,方向相反,且在一条直线上,这正是牛顿每三定律。而我们知道,在力学范围内牛顿第三定律与动量守恒是互为因果的。可见空间平移对称性与能量守恒之间的联系。3.时空对称结构的分布和作用原理只要实验条件相同,物理实验与空间的取向无关。把实验装置转换一个方向,并不影响实验过程和结果,因此,物理规律具有空间转向不变性,空间转向不变性也叫空间同向性或空间转向对称性。此对称性与角动量守恒对应。一个质量为m的粒子,在势能V(x,y,t)的场中作二维运动,且绕Z轴转动如果用极坐标(γ,θ)代替笛卡尔坐标(x,y),则粒子的转动方程为:dLzdt=γFθ=−∂V∂θdLzdt=γFθ=-∂V∂θ其中L为角动量,若势能函数V(x,y,t)不随空间变化时,即∂V∂θ=0,∂V∂θ=0,则Lz=恒量。这说明,当势能函数对于空间转向具有不变性时,角动量具有守恒性。即有势能的空间转向不变性,必有角动量的守恒性。例如,考虑两个质点组成的系统,固定质点1,将质点2以质点1为中心移动一小段弧长S,如果相互作用力存在切向力分量,则相互作用能改变为U=f切S。空间各向同性意味着两个质点相互作用势能只与它们之间的距离有关,与两者联线在空间的取向无关,所以移动操作不改变相互作用能,从而U=0,于是相互用力切向分量f切=0,或者说两质点的相互作用力沿两者的联线,这与“角动量守恒”是等价的,从而空间各向同性与角动量守恒是联系在一起的。综上所述,对力学三大守恒定律可以提高到时空对称性的高度去理解,从而使学生明确三大守恒定律是比牛顿运动定律还要高一个层次的理论,它是物理学中最普遍的规律在经典力学中的反映。当然,如果还要展开讲,那么对称性原理在电磁学中的应用,在量子力学中的应用都可联系工科物理的内容来介绍。总之,揭示系统所具有的各种对称性,寻求对应的物理量,或者反过来用守恒量去探求系统所具有的对称性,已成为当代物理学重要而卓有成效的方法之一。对称性在物理学中具有深刻的意义。一种对称性的发现远比一种物理效应或具体物理规律的发现的意义要重大得多!例如,源于电磁理论的洛仑兹变换变换不变性,导致力学的革命;爱因斯坦为寻找引力理论的不变性而创立了广义相对论;狄拉克为使微观粒子的波动方程具有洛仑兹变换不变性,修正了薛定谔方程,并根据方程解的对称性预言了反电子(正电子)的存在,进而使人们开始了