自动控制原理 第七章 非线性系统

内容提要7.1典型非线性特性

7.2描述函数法

*7.3相平面法第七章非线性系统

前面几章讨论的都是线性系统，实际上所有的实际系统都不可避免地带有某种程度的非线性，只要具有一个非线性环节，就称作非线性系统，因此严格的说所有系统都是非线性系统。

本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及其中的一种基本分析方法——描述函数法。

7.1典型非线性特性

在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性特性。7.1.1典型非线性特性的种类1．饱和特性

饱和特性的静特性曲线如图7-1所示，其数学表达式为：

式中，a为线性区宽度；k为线性区斜率。饱和特性的特点是：输入信号超过某一范围后，输出不再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节器就具有饱和特性。yxka-a0图7-1饱和特性M-M其数学表达式为

yxka-a0图7-2死区特性2．死区特性

死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零，其静持性关系如图7-2所示。若引入符号函数

死区小时，可忽略；大时，需考虑。工程中，为抗干扰，有时故意引入。比如操舵系统。

滞环特性

滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3所示。其数学表达式为：

这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当x>a时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。

例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。yx图7-3滞环特性0b-ba-a继电器特性

继电器非线性特性一般可用图7-4表示，不仅包含死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：

yx图7-4继电器特性0ama-a-mab-b

特殊情况：(1)若a＝0，称这种特性为理想继电器特性，如图7-5(a)所示.(2)若m=1，其静特性如图7-5(b)所示，则称为死区继电器特性.(3)若m＝-1，则称为滞环继电器特性，如图7-5(c)所示。实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。图7-5三种继电器特性（a）理想继电器特性（b）死区继电器特性（c）滞环继电器特性yx0b-b(a)yx图7-4继电器特性0ama-a-mab-byxa-a0-bb(b)yxa-a0-bb(c)

7.1.2非线性系统的若干特征

非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非线性微分方程描述，不满足叠加原理，故在非线性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两者之间有着不同的运动规律。

具体表现在：

上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非线性。

对于线性系统，其稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。考虑非线性一阶系统：（1）稳定性的复杂性设t=0时,系统的初始状态为x0

10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x0

1相应的时间响应随初始条件而变。当x0>1，t<lnx0/(x0

1)时，随t增大，x(t)递增；t=lnx0/(x0

1)时，x(t)为无穷大。当x0<1时，x(t)递减并趋于0。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。（2）可能存在自激振荡

无外界周期信号输入时产生的具有固定振幅和频率的稳定振荡。对于线性二阶系统，也会出现等幅振荡，但不会是稳定的振荡（Why？）。

（3）频率响应对于线性系统，输入是正弦函数时，其稳态输出也是同频率的正弦函数，可以用频率特性来描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。

可见，非线性系统要比线性系统复杂的多，会存在多种运动状态。已无法用线性系统理论解释或分析，必须应用非线性理论来研究。

7.1.3非线性系统的分析方法

非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化，然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限制。（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。（3）计算机求解法：用计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的。

本章以系统分析为主，而且是以稳定性分析为核心内容，着重介绍在工程上广泛应用的描述函数法。描述函数的定义描述函数的求法组合非线性特性的描述函数

用描述函数法分析非线性系统7.2描述函数法7.2.1描述函数的定义

1.描述函数的应用条件（1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N和一个线性部分G(s)串联的闭环结构，如图7-8所示。

描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限制。

分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一般不给出时域响应的确切信息。xyNG(s)r(t)=0c(t)图7-8非线性系统典型结构图

-

（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直流分量。（3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。2.描述函数的定义对于图7-8所示的非线性系统，设系统的非线性环节输入信号是正弦信号：则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数：若系统满足上述第二个条件，则有A0=0

由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即

类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的相量比定义为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示，即

由非线性环节描述函数的定义可以看出：

(1)描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。线性系统频率法的推广。（2）描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。一般来说，它应该是输入信号幅值和频率的函数，但对于绝大多数的实际非线性环节，由于不包括储能元件，它们的输出仅是幅值的函数，与频率无关，故常用N(A)表示。

7.2.2描述函数的求法

描述函数可以从定义式(7-22)出发求得，一般步骤是：(7-22)(1)首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形y(t)

，并写出输出波形y(t)的数学表达式。(2)利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。(3)将求得的基波分量代入定义式(7-22)，即得N(A).下面计算几种典型非线性特性的描述函数。

1．理想继电器特性当输入为x(t)＝Asinωt时，理想继电器特性的输出波形如图7-9所示：yx0M图7-9理想继电器特性的输出波形ωt0xπ2πωty0π2πM-π-MxyN

由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数中的直流分量与基波偶函数分量的系数为零A0＝A1=0

，而基波奇函数分量的系数为：

ωty0π2πM故理想继电器特性的描述函数为

即N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.请牢记！2.饱和特性

当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a时，饱和特性的输出波形如图7-10所示。

所以基波分量为：yyxx000ππ2π2πM图7-10饱和特性的输出波形akψ1ωtωtψ1xyN

式中ψ1=arcsin(a/A)

由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为显然其输出信号也是奇函数，因此A0＝A1=0

，而y0π2πωtψ1ka

由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当A>a时，比例系数总小于k.

P255表7-1列出了常见的非线性系统的描述函数N(A)以及相应的负倒特性曲线-1/N(A)，供分析时参考。理想继电特性，死区继电特性，饱和特性，死区特性最好能记住！

7.2.3组合非线性特性的描述函数

以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特性的描述函数。 1．非线性特性的并联计算

设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数，如图7-11所示。N1N2++x(t)y12(t)y1(t)

图7-11两个非线性环节并联y11(t)

当输入为x(t)＝Asinωt时，则两个环节输出的基波分量分别为输入信号乘以各自的描述函数，即

由此可见，若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该结论仍成立。

例7.1下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数N(A).

具有死区的非线性特性的并联分解△△00Mkxy++xk0M△y解：可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为2．非线性特性的串联计算

若两个非线性环节串联，如下图所示，其总的描述函数不等于两个非线性环节描述函数的乘积。N1N2xyNyxz

必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。yz021k2=2xy10k=222-Δ2-Δ110k=2x22-Δ110k=2x22-Δ2yy10k1=1xz2

例7-2求图7-12所示两个非线性特性串联后总的描述函数N(A)。解；这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为一个死区加饱和的非线性特性。为求得这个等效非线性特性的描述函数，又可将其分解为两个具有完全相同线性区斜率k=2和不同死区宽度死区特性的并联相减，故总的描述函数为：习题：1.求图示3个非线性环节串联后等效的非线性特性，并求其描述函数，其中M>h。0hM0M-M0M-Mh0M-M2.图示2个非线性环节串联后等效的非线性特性。0M-M0ab0aM7.2.4用描述函数法分析非线性系统前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分析。

这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为描述函数法，这种方法只能用于分析系统的稳定性和自振荡。

1非线性系统的稳定性分析

假设非线性元件和系统满足7.2节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函G(s)或频率特性G(jω)表示，如图7-15所示。图7-15非线性系统典型结构图x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)

-式中，-1／N(A)称作非线性特性的负倒描述函数。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图7-15非线性系统典型结构图

-

通过对比会发现:在线性系统分析中当应用奈氏判据时，若满足G(jω)＝-1+j0，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。

显然，式(7-29)中的-1/N(A)相当于线性系统中的(-1，j0)点。区别在于，线性系统的临界状态是一个点(-1，j0)。而非线性系统的临界状态是-1/N(A)曲线。通常又将-1/N(A)曲线称为负倒特性曲线。综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：首先求出非线性环节的描述函数N(A)，然后在极坐标图上分别画出线性部分的G(jω)曲线和非线性部分的-1/N(A)曲线，并假设G(s)的极点均在s左半平面，则线性系统闭环特征方程:1+G(jω)=0或G(jω)=-1非线性系统闭环特征方程:1+N(A)G(jω)=0或G(jω)=-1/N(A)式(7-29)

(1)若G(s)曲线不包围-1/N(A)曲线，如图7-16(a)所示，则非线性系统是稳定的。

(2)若G(s)曲线包围-1/N(A)曲线，如图7-16(b)所示，则非线性系统是不稳定的。

(3)若G(s)曲线与-1/N(A)曲线相交，如图7-16(c)所示，则在理论上将产生等幅振荡或称为自振荡。0ImG(jw)-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re图7-16非线性系统的稳定性分析(a),(b),(c)2自振荡的分析与计算若G(jω)曲线与-1/N(A)曲线相交，则系统将产生自振荡。下面从信号的角度进一步分析自振荡产生的条件。

在图7-15所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为x(t)=Asinωt

则非线性环节输出信号基波分量为而线性部分的输出信号为 x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图7-15非线性系统典型结构图

-x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图7-15非线性系统典型结构图

-G(jω)=-1/N(A)0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1

自振荡也存在一个稳定性问题，因此必须进一步研究自振荡的稳定性。

若系统受到扰动偏离了原来周期运动状态，当扰动消失后，系统能够重新收敛于原来的等幅振荡状态，称为稳定的自振荡，反之，称为不稳定的自振荡。判断自振荡的稳定性可以从上述定义出发，采用扰动分析的方法。

以上图为例，G(jω)与-1/N(A)曲线有两个交点，说明存在两个自振荡点。对于M1点，若受到干扰使振幅A增大，则工作点将由点M1移至a点。由于此时a点不被曲线G(jω)包围。系统稳定，振荡衰减，振幅A自动减小，工作点将沿-1/N(A)曲线回到M1点。反之亦然，所以M1点是稳定的自振荡。同样的方法可以分析点M2是不稳定的振荡点。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1

按照下述准则来判断自振荡的稳定性是极为简便的：

在复平面上自振荡点附近。当按幅值A增大的方向沿-l/N(A)曲线移动时，若系统从不稳定区进入稳定区，则该交点代表的是稳定的自振荡；反之，若沿-l/N(A)曲线振幅A增大的方向是从稳定区进入不稳定区，则该交点代表的是不稳定的自振荡。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1

值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件可知，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是图7-15中非线性环节的输入信号x(t)＝Asinωt的振幅和频率，而不是系统的输出信号c(t)。两者差一“-” 。

x(t)y(t)N（A）G(s)r(t)=0c(t)图7-15非线性系统典型结构图

-对于稳定的自振荡，振幅和频率是确定的，并可测量得到。计算时，振幅可由-1/N(A)曲线的自变量A的大小来确定，而振荡频率由G(jω)曲线的自变量ω来确定。

对于不稳定的自振荡，由于实际系统不可避免地存在扰动，因此这种自振荡是不可能持续的，仅是理论上的临界周期运动，在实际系统中是测量不到的。例7.3

具有理想继电器特性非线性系统如图7-17所示，试确定其自振荡的幅值和频率。

解：理想继电器特性的描述函数为01-1c(t