随机过程论(钱敏平第3版)-习题及答案 【ch06】马氏过程

第六章马氏过程1.我们希望证明随机过程{X(t),t≥0}是一个马氏过程，其中X(t)=X₀+t。同时，我们要证明对于任意的函数f(x)，满足Pₜ[f(X₀)]=f(X₀+t)，以及Pₜ[|X₀|<M]=1，其中M是一个有限的正数。首先，我们证明{X(t),t≥0}是马氏过程。考虑固定的时刻序列0<t₁<t₂<⋯<tₙ，以及实数x。我们希望证明下列等式成立：P[X(t₁)≤x₁,X(t₂)≤x₂,…,X(tₙ)≤xₙ|X(t)=x]=P[X(t₁)≤x₁,X(t₂)≤x₂,…,X(tₙ)≤xₙ|X(t₀)=x₀]根据题目给出的关系式X(t)=X₀+t，我们可以将条件概率展开为：P[X₀+t₁≤x₁,X₀+t₂≤x₂,…,X₀+tₙ≤xₙ|X₀=x₀]=P[x₁-x₀≤t₁,x₂-x₀≤t₂-t₁,…,xₙ-x₀≤tₙ-tₙ₋₁]由于t₁<t₂<⋯<tₙ且对应的x₁,x₂,…,xₙ是任意实数，上述条件概率等于乘积：P[x₁-x₀≤t₁]⋅P[x₂-x₀≤t₂-t₁]⋅⋯⋅P[xₙ-x₀≤tₙ-tₙ₋₁]根据X(t)=X₀+t的性质，我们可以将P[x-x₀≤t]等同于P[X(t)-X₀≤0]。对于给定的任意时刻t，根据X(t)=X₀+t，我们可以将条件概率转化为：P[X(t₁)-X₀≤0]⋅P[X(t₂)-X(t₁)≤0]⋅⋯⋅P[X(tₙ)-X(tₙ₋₁)≤0]这正是条件概率P[X(t₁)≤x₁,X(t₂)≤x₂,…,X(tₙ)≤xₙ|X(t)=x₀]，因此我们证明了{X(t),t≥0}是一个马氏过程。接下来，我们希望证明对任意的函数f(x)，满足Pₜ[f(X₀)]=f(X₀+t)。考虑一个函数f(x)，并将其展开为泰勒级数：f(X₀+t)=f(X(t))=f(X₀)+(t-0)⋅f’(X₀)+\frac{(t-0)²}{2!}⋅f’’(X₀)+⋯根据泰勒级数的性质，我们可以取f’(X₀)作为函数f(x)的线性部分。利用马氏性质Pₜ[f(X₀)]=f(X₀+t)可以推导出：Pₜ[f(X₀)]=P[X(t)≤X₀+t]=P[X₀+t-X(t)≥0]=P[(X₀-X(t))≤0]=P[X₀-X(t)≤0]这与f(X₀)中的线性部分相一致，因此我们证明了Pₜ[f(X₀)]=f(X₀+t)。最后，对于函数f(x)，我们希望证明其定义域C(f)是连续有界的。由题目给出的条件可知，x是取值于实数集合R的随机变量。由于f(x)和f’(x)都是函数，它们的定义域是实数集合R，因此C(f)包括整个实数集合R，也就是连续的。对于有界性，我们需要证明存在一个有限的正数M，使得P[|X₀|<M]=1。根据随机变量x的定义，我们可以通过设置M=|X₀|+t，从而有：P[|X₀|<M]=P[|X₀|<|X₀+t|]=P[X₀-X₀-t<0]=P[-t<0]=1因此，我们证明了对于函数f(x)，其定义域C(f)是连续有界的。综上所述，根据题目所给的条件，{X(t),t≥0}是一个马氏过程，对于任意函数f(x)，满足Pₜ[f(X₀)]=f(X₀+t)，并且函数f(x)及其导数f’(x)在其定义域内连续有界。2.3.泊松过程是一种重要的随机过程，其半群和无穷小生成元描述了其演化特性。对于泊松过程，其半群可以通过如下公式定义：P_t(x,A)=e^(-λt)*(λt)^x/x!其中，P_t(x,A)表示在时间t内，泊松过程在状态x处的概率，A表示事件集合，λ是泊松过程的强度参数。无穷小生成元用记号Q表示，可以通过如下公式定义：Q(x,y)=-λ(x=y)λ(x=y+1)0(其他情况)其中，Q(x,y)表示从状态y转移到状态x的速率。这些公式描述了泊松过程的概率和转移特性，用于描述泊松过程在时间上的演化。4.5.6.当取消条件supq<+∞时，即最小的连续时间的马氏链，在该情况下的半群和生成元如下：半群：对于马氏链的半群，定义如下：P(t)=e^(tQ)其中，P(t)表示在时间t内的马氏链的转移概率矩阵，e^(tQ)表示矩阵的指数函数。生成元：生成元用记号Q表示，可以通过如下公式定义：Q=lim(t→0)(P(t)-I)/t其中，Q表示生成元，P(t)表示时间为t的马氏链的转移概率矩阵，I表示单位矩阵。在取消条件supq<+∞的情况下，最小的连续时间的马氏链的半群和生成元是连续时间马氏链的极限形式。具体的半群和生成元的形式取决于泊松过程的参数和取消条件的具体值，无法给出具体的表达式。7.略8.9.略10.略11.习题1中过程的弱生成元，是描述该过程在无穷小时间内发生转移的速率。根据题目描述，习题1中过程的转移概率如下：P(t)=e^(tQ)其中，P(t)表示在时间t内的过程的转移概率矩阵，e^(tQ)表示矩阵的指数函数。而弱生成元Q的定义为：Q=lim(t→0)(P(t)-I)/t其中，Q表示生成元，I表示单位矩阵。要求习题1中过程的弱生成元，我们需要将P(t)带入上述公式，并求取t趋近于0的极限。请提供习题1中过程的具体转移概率矩阵，以便我能够帮助你计算弱生成元。12.13.略14.15.略16.略17.18.略19.略20.21.略22.23.24.25.略26.略27.28.要证明完备可分距离空间X上的概率测度μ是胎紧的，需要证明对于任意的ε>0，存在有限个开集B_1,B_2,…,B_n，使得满足以下条件：对于任意的x∈X，存在某个i∈{1,2,…,n}，使得μ(B_i)>0；对于任意的B_i和B_j（i≠j），有d(B_i,B_j)>ε，其中d(.,.)是X上的距离度量。下面给出完备可分距离空间X上概率测度μ是胎紧的证明的主要思路：由于X是完备可分距离空间，所以存在可数稠密子集D={x_1,x_2,…}，即D可以在X中稠密分布。对于任意的ε>0，定义开球B(x_i,ε/2)，其中x_i∈D。由于D是稠密的，对于任意的x∈X，存在某个x_i使得d(x,x_i)<ε/2。构造开集B_i=B(x_i,ε/2)。根据以上定义，对于任意的x∈X，存在某个B_i使得x∈B_i。由于D是可数集，所以存在有限个开集B_1,B_2,…,B_n覆盖D，且满足d(B_i,B_j)>ε/2对于任意的i≠j都成立。对于任意的x∈X，存在某个B_i包含x，并且对于任意的y∈X，如果y∉B_i，则d(x,y)>ε/2。因此，有B_i