2023届高考数学复习圆锥曲线微专题-椭圆双曲线离心率含解析

Page472023届高考复习微专题——离心率（学生版）圆锥曲线是历年高考必考知识点，而离心率问题是圆锥曲线中的热点问题，主要涉及到离心率的求值和取值范围，这类问题往往是多数学生的薄弱环节。本文主要总结了椭圆离心率的求解方法、椭圆离心率取值范围的求解、双曲线离心率的求解方法、双曲线离心率取值范围的求解四个问题，并整理了近几年来的高考真题和模拟题供大家参考和练习。一、椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.例1(2022·淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.eq\r(2)－1B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)＋1跟踪练习1、(2022·宿州质检)已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝eq\f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)2、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A.长轴长为eq\f(1,2) B.焦距为eq\f(\r(3),4)C.短轴长为eq\f(1,4) D.离心率为eq\f(\r(3),2)3、(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－14、(2021·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)5、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)6、若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)7、(2021·云南昆明模拟)△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(3)－1 D．eq\r(2)－18、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(6),3)9、(2021·湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为eq\f(3π,4)的直线与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)10、已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)11、已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)12、设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A．eq\r(2)－1 B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\r(2)＋113、(2022·青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－eq\f(5,8)，则椭圆的离心率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(5,8)C．eq\f(\r(7),4) D．eq\f(\r(6),4)14、(2022·晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))－eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a1>0，b1>0)))的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．215、(多选)已知P是椭圆E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1(m＞0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A．椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1B．椭圆E的离心率为eq\f(1,2)C．曲线y＝log3x－eq\f(1,2)经过E的一个焦点D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点16、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.17、直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于eq\f(5,4)，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．18、设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.19、(2021·浙江高考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．若过F1的直线和圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．20、(2022·安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是________．21、如图所示，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；22、已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.23、(2022·青岛调研)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.二、椭圆离心率取值范围的求解方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)几何法：利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,0<e<1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系；(2)直接法：构造a，c的齐次不等式，根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式。例2(2022·苏北四市调研)椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))跟踪练习1、(2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))2、在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))3、(2021·全国高考)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))4、已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))5、过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))6、明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为eq\f(13,9)，eq\f(56,45)，eq\f(10,7)，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e37、过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))8、(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))9、已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))10、已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，该椭圆的离心率的取值范围为________．11、(2021·山西怀仁期末)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围.三、双曲线离心率的求解方法求双曲线的离心率，常见的有三种方法：(1)直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.(2)等价转化法：由e＝eq\f(c,a)或e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e.(3)列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解．例3(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)跟踪练习1、(2022·淮北二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为eq\f(1,2)，则C的离心率为________．2、(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7) D.eq\r(13)3、设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)4、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)5、(2021·山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的斜率之积等于－4，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(10)6、(2021·江苏无锡质检)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(3) B．eq\f(2\r(3),3)C．2 D．eq\r(2)7、(2022·山东滨州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的条件是()A．双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0D．双曲线的实轴长为48、已知离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是()A．32 B．16C．84 D．49、(2019·全国)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为()A．eq\r(2)＋1 B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)10、(2018·新课标Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，则C的离心率为()A．eq\r(5) B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)11、(2022·广西贵港联考)已知M为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)左支上一点，A，F分别为双曲线C的右顶点和左焦点，|MA|＝|FA|，若∠MFA＝60°，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(3) B．4C．2eq\r(3) D．612、(2021·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|＝eq\r(2)|AB|.则双曲线的离心率为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．313、双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为()A.5 B.eq\f(3\r(5),5) C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)14、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)15、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\r(5) D.eq\r(6)16、(2019·全国卷Ⅱ，12)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)17、(2021·山西阳泉期末)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，交双曲线右支于点B，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率是()A．eq\r(3) B．2C．eq\r(5) D．1＋eq\r(2)18、(2021·安徽省安庆一中模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2) B．(1,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)19、设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)20、(多选)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则下列各项正确的是()A．eq\f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝121、如图，F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．(2019·新课标Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为____.23、(2021·河北衡水中学调研)已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率是____.24、过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝________．25、如图，F1和F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.26、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.27、已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，求C的离心率．四、双曲线离心率取值范围的求解方法列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解．例4(2022·临川一中模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1，2)，使得eq\o(PiA1,\s\up6(→))·eq\o(PiA2,\s\up6(→))＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．跟踪练习1、(2022·合肥市名校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C．2 D.eq\f(7,3)2、(2021·河北邯郸模拟)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，＋∞)C．(1,1＋eq\r(2)] D．[1＋eq\r(2)，＋∞)3、(2021·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1＋eq\r(2)，＋∞) B．(1,1＋eq\r(2))C．(2，＋∞) D．(2,1＋eq\r(2))4、(2021·天津南开区期末)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为()A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．2 D．eq\f(7,3)5、(2021·四川广元、山西孝义模拟)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P，若|PF2|>2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(eq\r(5)，＋∞)C．(eq\r(2)，eq\r(5)) D．(2，eq\r(6))6、(2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，＋∞) B.(1，2)C.(1，1＋eq\r(2)) D.(2，1＋eq\r(2))7、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up7(→))|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1,2] B．[2，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)8、已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)9、(2021·长沙模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且eq\f(π,6)≤∠F1AF2≤eq\f(π,4)，则该双曲线离心率的取值范围为________.10、(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围是________.11、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|－|PO|＝2a，则双曲线C的离心率的取值范围是________．12、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx交双曲线C于M，N两点．(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；(2)若eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\r(3)，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围．2023届高考复习微专题——离心率（解析版）一、椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.例1(2022·淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.eq\r(2)－1B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)＋1解析：不妨设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2eq\r(2)c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.故选A.跟踪练习1、(2022·宿州质检)已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝eq\f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A(x，y)，则直线y＝eq\f(\r(2),4)x.由|AB|＝2c，可知|OA|＝eq\r(x2＋y2)＝c，即eq\r(x2＋（\f(\r(2),4)x）2)＝c，解得x＝eq\f(2\r(2)c,3)，y＝eq\f(1,3)c，即A(eq\f(2\r(2),3)c，eq\f(1,3)c)，把点A的坐标代入椭圆方程，得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，所以e＝eq\f(\r(3),2).2、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(D)A.长轴长为eq\f(1,2) B.焦距为eq\f(\r(3),4)C.短轴长为eq\f(1,4) D.离心率为eq\f(\r(3),2)3、(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D)A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1解析：设|PF2|＝x，则|PF1|＝eq\r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq\r(3))x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2x,1＋\r(3)x)＝eq\r(3)－1.4、(2021·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：不妨设直线l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)⇒e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故选B．5、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)解析：由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故选A．6、若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)解析：依题意可知，c＝b，又a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).7、(2021·云南昆明模拟)△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为(D)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(3)－1 D．eq\r(2)－1解析：由题意△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，可知：△ABC是等腰直角三角形，且：BC＝2c，AC＝2c，AB＝2eq\r(2)c，由椭圆的定义可知：2eq\r(2)c＋2c＝2a，则椭圆的离心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.故选D．8、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：如图，由题意可得，eq\r(2)b＝c，则2b2＝c2，即2(a2－c2)＝c2，则2a2＝3c2，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).9、(2021·湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为eq\f(3π,4)的直线与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)解析：由题意可知P为AB的中点，且kAB＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(3b2,a2)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故选C．10、已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝eq\r(3)，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝eq\f(|PB|,|AB|)＝eq\f(\r(3),a＋2)＝eq\f(\r(3),6)，解得a＝4，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4).11、已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：如图，作PB⊥x轴于点B．由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝eq\r(3)，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝eq\f(|PB|,|AB|)＝eq\f(\r(3),a＋2)＝eq\f(\r(3),6)，解得a＝4，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)．12、设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A．eq\r(2)－1 B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\r(2)＋1解析：不妨设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1．故选A．13、(2022·青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－eq\f(5,8)，则椭圆的离心率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(5,8)C．eq\f(\r(7),4) D．eq\f(\r(6),4)解析：设内层椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成eq\f(x2,ma2)＋eq\f(y2,mb2)＝1(m＞1)，设切线AC的方程为y＝k1(x＋ma)，与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1联立得：(b2＋a2keq\o\al(2,1))x2＋2ma3keq\o\al(2,1)x＋m2a4keq\o\al(2,1)－a2b2＝0，由Δ＝0,则keq\o\al(2,1)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(1,m2－1)，同理可得keq\o\al(2,2)＝eq\f(b2,a2)·(m2－1)，∴keq\o\al(2,1)·keq\o\al(2,2)＝eq\f(b4,a4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,8)))2,则eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,8)，因此，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(5,8))＝eq\f(\r(6),4)．故选D．14、(2022·晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))－eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a1>0，b1>0)))的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．2解析：选D.如图，设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＝m，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1.当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))时，则∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋aeq\o\al(2,1)＝2c2，由离心率的公式可得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝2.15、(多选)已知P是椭圆E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1(m＞0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A．椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1B．椭圆E的离心率为eq\f(1,2)C．曲线y＝log3x－eq\f(1,2)经过E的一个焦点D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点解析：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),m)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),m)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝m－eq\f(mx\o\al(2,0),4)，yeq\o\al(2,1)＝m－eq\f(mx\o\al(2,1),4)，k1k2＝eq\f(y0－y1,x0－x1)·eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝－eq\f(m,4)．于是|k1|＋|k2|≥2eq\r(|k1|·|k2|)＝2eq\r(|k1k2|)＝2eq\r(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))))＝eq\r(m)，依题意，得eq\r(m)＝1，解得m＝1，故E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，A正确；离心率为eq\f(\r(3),2)，B错误；焦点坐标为(±eq\r(3)，0)，曲线y＝log3x－eq\f(1,2)经过焦点(eq\r(3)，0)，C正确；又直线2x－y－2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选A、C、D．16、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为___eq\f(\r(6),3)_____.解析：以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).17、直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于eq\f(5,4)，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),a2)＋\f(x\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(y\o\al(2,2),a2)＋\f(x\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得b2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋a2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(a2,b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,y1＋y2)))，即kMN＝－eq\f(a2,b2)·eq\f(1,kOP)，因为kMN＝－eq\f(5,4)，kOP＝eq\f(5,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(16,25)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(3,5)．18、设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.解析：由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝eq\r(a2－b2)，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b2,2a)))，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即eq\f(\f(b2,a)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,2a))),c－0)×eq\f(－\f(b2,a)－0,c－（－c）)＝－1，整理得eq\r(3)b2＝2ac，所以eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，又e＝eq\f(c,a)，0＜e＜1，所以eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，解得e＝eq\f(\r(3),3)(e＝－eq\r(3)舍去).19、(2021·浙江高考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．若过F1的直线和圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c，0))，则|AM|＝c，|AF1|＝eq\f(3,2)c，所以|MF1|＝eq\f(\r(5),2)c，所以该直线的斜率k＝eq\f(|AM|,|MF1|)＝eq\f(c,\f(\r(5),2)c)＝eq\f(2\r(5),5)．因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝eq\f(b2,a)，又|F1F2|＝2c，所以k＝eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(a2－c2,2ac)＝eq\f(1－e2,2e)，得e＝eq\f(\r(5),5)．20、(2022·安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是________．解析：从P作PM⊥A1D1于M点，在平面POM内作球截面圆的切线PN，交平面A1B1C1D1于N点，则在平面POM内形成的图形如图所示．由题意得PM＝3，OQ＝MF1＝MQ＝1，故PQ＝2，tan∠QPO＝eq\f(1,2)⇒tan∠MPN＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3)，则MN＝PM·tan∠MPN＝3×eq\f(4,3)＝4，根据题目条件知，F1是椭圆焦点，MN是长轴，即2a＝4，MF1＝a－c＝1，则a＝2，c＝1，离心率e＝eq\f(1,2).21、如图所示，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；解析：(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，∴2a2＝4c2，∴a＝eq\r(2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).22、已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2).又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2).当b＝4，a≥4eq\r(2)时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4eq\r(2)，＋∞).23、(2022·青岛调研)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)))，代入椭圆方程可得eq\f(1,4)＋eq\f(a2,4b2)＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq\f(\r(6),3).(2)由(1)得椭圆E的方程为eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1）－1，,x2＋3y2＝3b2))⇒(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.∴x1＋x2＝eq\f(6k（k＋1）,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3（k＋1）2－3b2,3k2＋1).又x1＋x2＝2，∴k＝eq\f(1,3)，∴x1x2＝eq\f(16－9b2,4)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(\r(10),3)eq\r(4－4·\f(16－9b2,4))＝2eq\r(5)，∴b2＝eq\f(10,3)，则a2＝10，∴椭圆E的标准方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,\f(10,3))＝1.二、椭圆离心率取值范围的求解方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)几何法：利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，|y|≤b,0<e<1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系；(2)直接法：构造a，c的齐次不等式，根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式。例2(2022·苏北四市调研)椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：设点M的坐标为(x0，y0)，∵eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋yeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2.①又知点M在椭圆G上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，②由①②联立结合a2－b2＝c2解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2（c2－b2）,c2)，由椭圆的性质可得0≤xeq\o\al(2,0)≤a2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a2（c2－b2）,c2)≥0，,\f(a2（c2－b2）,c2)≤a2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c2≥b2，,c2－b2≤c2，))所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥eq\f(1,2)，又知0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.跟踪练习1、(2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))解析：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，m))，F1(－c，0)，F2(c，0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)－c))\s\up12(2)＋m2)＝2c，得m2＝4c2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)－c))eq\s\up12(2)＝－eq\f(a4,c2)＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥eq\f(1,3)，又0＜e＜1，故eq\f(\r(3),3)≤e＜1.2、在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为