抛物线知识点归纳

抛物线方程及其性质抛物线定义：平面内到一定点Fl的距离相等的点的轨迹称为抛物线．抛物线四种标准方程的几何性质：图形p开口方向

参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.右 左 上 下标准方程

y22px(p0) y2p0) x22py(p

x22py(p0)焦点位置 X正 X负 Y正 Y负焦点坐标

p( 2

(p2

,0)

p(0, 2

(0,p)2准线方程

xp2

xp2

yp2

yp2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标（0,0）离心率通径e12pA(x,y

AFx

AFxp

AFy

AFyp1 1 1 2 1 2 1 2 1 2

(xx1

)p (x1

x)p (y2

y)p (y2

y)p2AB

以AB为直径的圆必与准线l相切的补充

若AB的倾斜角为， 2pABsin2

AB的倾斜角为AB

2pcos2A(x,y)1 1

xx p2 yy p2B(x,y)2 2

12 4 121 1 AFBF AB 2AF BF AFBF AFBF py22pxp0的几何性质：范围：因为p>0，由方程可知x≥0，yxy|明抛物线向右上方和右下方无限延伸．对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．(3)顶点（0，0），离心率：

e

F

p

，准线

x

p，焦准距p．2 2(4)y

2pxp0ABA(xy1 1

),B(x,y2

),则|AB|x x1 2

p．|AB|=x+x+px=x2p。1 2 1 2焦点弦的相关性质：ABA(x,y1 1

),B(x,y2

)，焦点F p( 2( p2若AB是抛物线2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦且,y)，B(x,y)，则：xx ，1 1 2 2

12 4yyp2。12AB0)的焦点弦，且直线ABα，则AB

2P （α0。sin2已知直线ABy2

2pxp0)焦点F

1 1 AFBF AB 2AF BF AFBF AFBF p2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．12以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5、焦半径公式AFpx BFP

AFp-x BF P-x 2 1

2 2 1 2 2AF

p相同1AF1BF相同1AF1BF2P

BF

p AF1cos

p1cos

BF p1-cosSOABPSOABP22sin6S OABP2S OABP21 1

),B(x,y2

)是抛物线上两点，则1AB (x1

x)2(y2

y)2 1k2|xx2 1

| 1k2

|y y |1 2直线，抛物线直线，抛物线，，消y得：k=0l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；，消y得：k≠0Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）9、过抛物线内一点作直线只与抛物线有一个交点点在抛物线内直线有1点在抛物线内直线有1条（1交）点在抛物线上直线有2条（11切）点在抛物线外直线有3条 （1交2切）直线l直线lykxb抛物线，(p 0)①联立方程法：ykxby2

2

k2x22(kbp)xb20设交点坐标为A(x,y1 1

),B(x,y2

)，则有 0,以及x1

x,xx2 1

，还可进一步求出yy1 2

kx1

bkx2

bk(x1

x)2b，yy2 1

(kx1

b)(kx2

b)k2xx12

kb(x1

x)b22在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如ABAB

xx11k2

1k1k2 (xx)24xx1k2 a或 AB

yy 1111k211k2(yy)24yy1 2 1 21k2 aM(xy0 0

),x 0

xx1 2，y2

yy 1 22②点差法：设交点坐标为A(x,y1 1

)，B(x,y2

)，代入抛物线方程，得y22px1 1

y22px2 2将两式相减，可得(yy1 2

)(y1

y)2p(x2

x)2yy1 2xx

2py1 2 1 22p在涉及斜率问题时，k AB

yy1 2

yy

2p 2p p在涉及中点轨迹问题时AB的中点为M(xy，

2 ，即k p，AB