直线与平面平行判定与性质获奖科研报告

直线与平面平行判定与性质获奖科研报告【摘要】直线与平面平行的判定与性质定理是高中数学的重要知识点，也是高考考查的一个热点之一。想要在高考当中获得一个高分，对于直线与平面平行的判定与性质定理必然得要掌握。如何才能对直线与平面平行的判定与性质定理掌握得宜，这就是本文探究的重点。

【关键词】直线;平面平行;性质;判定

一、前言

在近几年的高考试题当中，直线与平面平行的判定定理与性质一直都在题目中有所体现。主要的考察方式是通过锥体或者柱体作为载体，用线面平行的关系定理去论证题目。在这种几何体中，对于学生的计算能力的要求与其他题目相比就就比较的少，更多的是侧重于想象能力，推理能力的考察，或者是对于图形转换所用到的转换思想的运用。

二、线面平行的判定定理

在高中阶段，线面平行定理对学生的要求并不是很高，从各大数学试卷的考题分布来看，我们可以得知几何图形的题目一般是分布在大题的第二小问或者第三小问。从这种题目的分布情况我们可以知道，难度系数并不是很高，对于很多学生来讲都是得分的重点，如何让学生通过解题得到分数，这需要强调线面平行判定定理的相关性质。毕竟通过学习我们可以知道直线与平面的关系其实是多种的，第1个关系就是直线在平面上，第2个就是直线与平面相交，第3个变式直线与平面平行，在这三种关系当中如何判断直线与平面平行是一个难题，因为在这三种直线与平面的关系当中，又可以分出许多细枝末节，这需要让学生理解直线在平面内的概念，即如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l。异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。直线与平面相交的概念：直线与平面有一个交点。如何让学生更好的判断线面平行必须让学生熟记定理。常用的线面平行的判定定理主要有两个：定理1说的是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。常用的证明方式便是：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。假设若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条不一定直线与这个平面平行。若直线a与平面α不平行，且由于a不在平面α内，则有a与α相交，设a∩α=F。过点F在平面α内作直线c‖b，由于a‖b则a‖c.又F∈a，且F∈c，即a∩c=F，这与a‖c相矛盾.所以假设不正确，原命题正确。∵a∥b，∴A不在b上，在α内过A作c∥b，则a∩c=A，又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。∴假设不成立，a∥α。用向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。∵b?α，∴b⊥p，即p·b=0。∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb，那么p·a=p·kb=kp·b=0即a⊥p，∴a∥α。

定理2，平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。在学习这一个定理时，教师可以通过常见的例子进行举例，在授课过程中，教师可以把黑板当做一个平面，把粉笔垂直于黑板这一个平面做平面的垂线。之后用游离于黑板这一个平面之外的课本作为一条直线，当这条直线与粉笔垂直时，我们就可以让学生自主地发现，书本与黑板这一个平面平行的事实。通过这样一个实物取景，能够让学生更好的了解直线与平面平行的判定定理。

三、线面平行的性质

当我们掌握了线面平行的判定定理时，就对于线面平行的性质容易理解了。线面平行的性质，最常用的也有两条，第1条便是一条直线和一个平面平行则国智调直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。当我们一看到这一条性质时就比较的绕，而且练出来也比较的拗口。连讲出来都这么的费力，所以有很多的学生对于这个性质比较模糊不好理解，有时还没有掌握全。可是高考讲究的就是突然袭击，讲求的是全面的掌握，如何让学生更好的掌握这一条性质。其实就是直线平行一个平面，则过此平面与已知平面的交线一定与此直线平行。可能当我们简单的进行言语表达时，还有很多的学生对于这一条性质。还是很难理解，这样的话我们就得从实际生活当中取景，通过联系学生，让学生更好的理解这一条性质，例如，我们可以用讲台与粉笔作为平面和直线，当粉笔与讲台平行时，那么经过直线的一个平面也经过讲台时，与讲台所产生的交线就会与粉笔平行。当我们为学生演示了这一个概念时，为了加强学生之后的理解巩固知识，还可以从别的方式来为他们进行理解。例如，证明：假设a与b不平行，设它们的交点为P，即P在直线a，b上。∵b∈α，∴a∩α=P，与a∥α矛盾，∴a∥b。此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。当老师在讲这一條性质时，需要注意一些特殊情况，这条性质有着一定的范围限制。当直线与平面平行时，并不代表着平面内的所有直线都与该直线平行，如果不为学生讲清这一点他们可能会产生思维误区，但是如果直线与平面垂直时，那么这条直线将垂直于平面内所有的直线。

第2条就是一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。这一条性质相比于前一条性质就比较容易理解。当然为了让学生更好的理解这一条性质，也可以采用联系实际生活的办法。就拿粉笔，书本和讲台讲台作为道具，分别作为直线与讲台这一个平面平行时，我们在学用课本作为平面的垂线，可以看出平行于讲台的粉笔与课本也垂直。常见题目便是已知：a∥α，b⊥α。求证：a⊥b。证明：由于α的垂线有无数条，因此可将b平移至与a相交，设平移的直线为c，a∩c=M，c与α的垂足为N。∵两条相交直线确定一个平面，∴设a和c构成的平面为β，且α∩β=l。∵N∈c，N∈α，c?β，∴N∈l，且由定理1可知a∥l。∵c⊥α，l?α，∴c⊥l。∴a⊥c，最后由于平移不改变直线的方向，因此a⊥b。

四、结语

线面平行可以说是高中知识点当中一个很重要的内容了，其考察的范围也比较的广泛，主要涉及到高中阶段的所有