上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题

年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/48

例2016年上海市崇明县中考一模第24题如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3,0)，C(0,4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0,4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1,0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,4)，得4＝－3a．解得．所以．顶点坐标为．（2）如图2，设P(m,0)，那么AP＝m＋1．所以S△CPA＝＝＝2m＋2．由PM//BC，得．又因为，所以S△CPM＝．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程＝2，得m＝1．此时P(1,0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程＝2，得．此时P．例2016年上海市奉贤区中考一模第24题如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2,0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2,0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x,x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1,3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2,0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2,0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2,0)、B(－1,3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2)．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得．此时点D的坐标为．【解法二】构造△BMC∽△CND，由，得．解得．图2图3图4例2016年上海市奉贤区中考一模第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C作CE⊥CD，联结DE，使得∠EDC＝∠A，联结BE．（1）求证：AC·BE＝BC·AD；（2）设AD＝x，四边形BDCE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S△BDE＝S△ABC时，求tan∠BCE的值．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△ABC与△DEC保持相似，△ACD与△BCE保持相似，△BDE是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt△BAC和Rt△EDC中，由tan∠A＝tan∠EDC，得．如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD∽△BCE．所以．因此AC·BE＝BC·AD．图2图3（2）在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，所以AC＝4．所以S△ABC＝6．如图3，由于△ABC与△ADC是同高三角形，所以S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5．所以S△ADC＝．所以S△BDC＝．由△ADC∽△BEC，得S△ADC∶S△BEC＝AC2∶BC2＝16∶9．所以S△BEC＝S△ADC＝＝．所以S＝S四边形BDCE＝S△BDC＋S△BEC＝＝．定义域是0＜x＜5．（3）如图3，由△ACD∽△BCE，得，∠A＝∠CBE．由，得BE＝．由∠A＝∠CBE，∠A与∠ABC互余，得∠ABE＝90°（如图4）．所以S△BDE＝．当S△BDE＝S△ABC＝时，解方程，得x＝1，或x＝4．图4图5图6作DH⊥AC于H．①如图5，当x＝AD＝1时，在Rt△ADH中，DH＝AD＝，AH＝AD＝．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝，所以tan∠HCD＝＝．②如图6，当x＝AD＝4时，在Rt△ADH中，DH＝AD＝，AH＝AD＝．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝，所以tan∠HCD＝＝3．综合①、②，当S△BDE＝S△ABC时，tan∠BCE的值为或3．

例2016年上海市虹口区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于点A(2,0)、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，tan∠CBA＝．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC为直角边的直角三角形BCE有2个．满分解答（1）由y＝ax2＋bx＋3，得C(0,3)，OC＝3．由tan∠CBA＝＝，得OB＝6，B(6,0)．将A(2,0)、B(6,0)分别代入y＝ax2＋bx＋3，得解得，b＝－2．所以．（2）如图2，顶点D的坐标为(4,－1)．S四边形ACBD＝S△ABC＋S△ABD＝＝4．（3）如图3，点E的坐标为(10,8)或(16,35)．思路如下：设E．当∠CBE＝90°时，过点E作EF⊥x轴于F，那么．所以EF＝2BF．解方程，得x＝10，或x＝4．此时E(10,8)．当∠BCE＝90°时，EF＝2CF．解方程，得x＝16，或x＝0．此时E(16,35)．图2图3例2016年上海市虹口区中考一模第25题如图1，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设．（1）当x＝1时，求AG∶AB的值；（2）设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当DH＝3HC时，求x的值．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD时，G是AD的中点，△GDH与△EBA保持相似．还可以体验到，DH＝3HC存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x＝1时，AD＝AB，F是AE的中点．因为AD//CB，所以AG＝BE＝＝＝．所以AG∶AB＝1∶2．（2）如图3，已知，设AB＝m，那么AD＝xm，BE＝．由AD//BC，得．所以．所以DG＝．图2图3图4如图4，延长AE交DC的延长线于M．因为GH//AE，所以△GDH∽△ADM．因为DM//AB，所以△EBA∽△ADM．所以△GDH∽△EBA．所以y＝＝＝＝．（3）如图5，因为GH//AM，所以．因为DM//AB，E是BC的中点，所以MC＝AB＝DC．DH＝3HC存在两种情况：如图5，当H在DC上时，．解方程，得．如图6，当H在DC的延长线上时，．解方程，得．图5图6

例2016年上海市黄浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－3ax＋c与x轴交于A(－1,0)、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0,2)．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）求证：∠CAO＝∠BCO；（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BE⊥OD，垂足为△BOD外一点E，若△BDE与△ABC相似，求点D的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D在射线BC上运动，可以体验到，当点E在△BOD外时，有两个时刻，Rt△BDE的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y＝ax2－3ax＋c，得抛物线的对称轴为直线．因此点A(－1,0)关于直线的对称点B的坐标为(4,0)．（2）如图2，因为tan∠CAO＝，tan∠BCO＝，所以∠CAO＝∠BCO．（3）由B(4,0)、C(0,2)，得直线BC的解析式为．设D．以∠ABC（∠OBC）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC＝∠DBE时，由于∠OBC与∠OCB互余，∠DBE与∠ODC互余，所以∠OCB＝∠ODC．此时OD＝OC＝2．根据OD2＝4，列方程．解得x＝0，或．此时D．②如图4，当∠OBC＝∠EDB时，OD＝OB＝4．根据OD2＝16，列方程．解得x＝4，或．此时D．图2图3图4

例2016年上海市黄浦区中考一模第25题如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON的面积为，求AE的长．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以．因此．于是得到．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN边上的高为．当S△DON＝时，DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由，得．于是得到．当DN＝＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4图5

例2016年上海市嘉定区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(4,0)、点C(0,－4)，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正弦值；（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（m＞0），过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q，如果∠QPO＝∠BCO，求m的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO∶QP＝OB∶OC．满分解答（1）将A(4,0)、C(0,－4)分别代入，得解得b＝－1，c＝－4．所以＝＝．点B的坐标是(－2,0)，顶点坐标是．（2）由A(4,0)、B(－2,0)、C(0,－4)，得AC＝，BC＝，AB＝6，CO＝4．作BH⊥AC于H．由S△ABC＝＝．得＝＝．因此sin∠ACB＝＝＝．（3）点P的坐标可以表示为．由tan∠QPO＝tan∠BCO，得．所以QP＝2QO．解方程，得．图2所以点P的横坐标m＝．

例2016年上海市嘉定区中考一模第25题如图1，已知△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝．点D在AC边的延长线上，且DB2＝DC·DA．（1）求的值；（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE，过点B作AC的垂线，交AC于点F，交AE于点G．①如图2，当CE＝3BC时，求的值；②如图3，当CE＝BC时，求的值． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E运动，可以体验到，当CE＝3BC时，BD//AE，BG是直角三角形ABE斜边上的中线．当CE＝BC时，△ABF≌△BEH，AF＝2EH＝4CF．满分解答（1）如图1，由DB2＝DC·DA，得．又因为∠D是公共角，所以△DBC∽△DAB．所以．又因为tan∠BAC＝＝，所以，．所以．所以．（2）①如图4，由△DBC∽△DAB，得∠1＝∠2．当BF⊥CA时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为，当CE＝3BC时，得．所以BD//AE．所以，∠2＝∠E．所以∠3＝∠E．所以GB＝GE．于是可得GB是Rt△ABE斜边上的中线．所以．所以．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝．因此．所以．所以．于是．图4图5

例2016年上海市静安区青浦区中考一模第24题如图1，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图像与y轴相交于点C，与直线相交于点A、D，CD//x轴，∠CDA＝∠OCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB与△COA相似．满分解答（1）由，得A(－2,0)，B(0,1)．所以OA＝2，OB＝1．由于CD//x轴，所以∠CDA＝∠1．又已知∠CDA＝∠OCA，所以∠1＝∠OCA．由tan∠1＝tan∠OCA，得．所以．解得OC＝4．所以C(0,4)．（2）因为CD//x轴，所以yD＝yC＝4．图2解方程，得x＝6．所以D(6,4)．所以抛物线的对称轴为直线x＝3．因此点A(－2,0)关于直线x＝3的对称点为(8,0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－8)．代入点C(0,4)，得4＝－16a．解得．所以．

例2016年上海市静安区青浦区中考一模第25题如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上，且CE＝AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G．设AD＝x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D运动，可以体验到，直角三角形DFG存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD//BC，所以∠DAC＝∠ECB．又因为AC＝CB，AD＝CE，所以△ADC≌△CEB．所以∠DCA＝∠EBC．（2）如图3，作EH⊥BC于H．在Rt△EHC中，CE＝x，cos∠ECB＝，所以CH＝，EH＝．所以S△CEB＝＝＝3x．因为AD//BC，所以△AEF∽△CEB．所以．所以．定义域是0＜x≤．定义域中x＝的几何意义如图4，D、F重合，根据，列方程．图2图3图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得．所以．因此．解得x＝5．此时S△AEF＝．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝ACcos∠CAD＝＝8．此时S△AEF＝．图5图6

例2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,－3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP′C为菱形时，PP′垂直平分OC．还可以体验到，当点P与抛物线的顶点重合时，或者点P落在以BC为直径的圆上时，△PCB是直角三角形．满分解答（1）将B(3,0)、C(0,－3)分别代入y＝x2＋bx＋c，得．解得b＝－2，c＝－3．所以二次函数的解析式为y＝x2－2x－3．（2）如图2，如果四边形POP′C为菱形，那么PP′垂直平分OC，所以yP＝．解方程，得．所以点P的坐标为．图2图3图4（3）由y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＝(x－1)2－4，得A(－1,0)，顶点M(1,－4)．在Rt△AOC中，OA∶OC＝1∶3．分两种情况讨论△PCB与△AOC相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3,0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么．设P(x,x2－2x－3)，那么．化简，得．解得．此时点P的横坐标为．而是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．

例2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB＝BC＝3，tan∠BDC＝，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为F，交射线AC于点M，交射线DC于点H．（1）当点F是线段BH的中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE＝x，CM＝y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）联结GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E在射线BC上运动，可以体验到，点G是BD的一个三等分点，CH始终都有CE的一半．还可以体验到，GF可以与BC垂直，也可以与DC垂直．满分解答（1）在Rt△BCD中，BC＝3，tan∠BDC＝＝，所以DC＝6，DB＝．如图2，当点F是线段BH的中点时，DF垂直平分BH，所以DH＝DB＝．此时CH＝DB－DC＝．图2图3（2）如图3，因为∠CBH与∠CDE都是∠BHD的余角，所以∠CBH＝∠CDE．由tan∠CBH＝tan∠CDE，得，即．又因为CH//AB，所以，即．因此．整理，得．x的取值范围是0＜x＜3．（3）如图4，不论点E在BC上，还是在BC的延长线上，都有，．①如图5，如果GF⊥BC于P，那么AB//GF//DH．所以．所以BP＝1，．由PF//DC，得，即．整理，得．解得．此时．②如图6，如果GF⊥DC于Q，那么GF//BE．所以．所以DQ＝4，．由QF//BC，得，即．整理，得．解得．此时．图4图5图6

例2016年上海市浦东新区中考一模第24题如图1，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）与x轴交于A(－3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，抛物线的顶点为M．（1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P在线段AC上运动，可以体验到，△COP与△ABC相似存在两种情况．满分解答（1）将A(－3,0)、C(0,－3)分别代入y＝ax2＋2ax＋c，得解得a＝1，c＝－3．（2）由y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得顶点M的坐标为(－1,－4)．如图2，作MN⊥y轴于N．由A(－3,0)、C(0,－3)、M(－1,－4)，可得OA＝OC＝3，NC＝NM＝1．所以∠ACO＝∠MCN＝45°，AC＝，MC＝．所以∠ACM＝90°．因此tan∠MAC＝＝．（3）由y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，得B(1,0)．所以AB＝4．如图3，在△COP与△ABC中，∠OCP＝∠BAC＝45°，分两种情况讨论它们相似：当时，．解得．此时点P的坐标为(－2,－1)．当时，．解得．此时点P的坐标为．图2图3

例2016年上海市浦东新区中考一模第25题如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线于点G，交CD于点M．（1）如图1，联结BD，求证：△DEB∽△CGB，并写出的值；（2）如图2，联结EG，设AE＝x，EG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M为边DC的三等分点时，求S△EGF的面积．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△EBD与△GBC保持相似，△EBG保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM＝∠DBC＝45°，所以∠1＝∠2．又因为∠EDB＝∠GCB＝45°，所以△DEB∽△CGB．因此．图3图4（2）如图3，由△DEB∽△CGB，得．又因为∠EBM＝∠DBC＝45°，所以△EBG∽△DBC（如图4）．所以△EBG是等腰直角三角形．如图4，在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝x，所以BE＝．所以y＝EG＝BE＝＝．定义域是0＜x＜6．（3）如图5，由于S△EGB＝EG2＝，，所以．由（1）知，DE＝CG，所以x＝AE＝AD－DE＝．①如图6，当时，．所以．此时x＝AE＝＝3．所以．所以．所以＝＝．②如图7，当时，．所以．此时x＝AE＝＝．所以．所以．所以＝＝．图5图6图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG：如图8，作GH⊥EB于H，那么△GBH是等腰直角三角形．一方面，另一方面，所以．于是可得△EBG∽△GBH．所以△EBG是等腰直角三角形．如图9，第（2）题也可以构造Rt△EGN来求斜边EG＝y：在Rt△AEN中，AE＝x，所以AN＝EN＝．又因为CG＝＝，所以GN＝AC－AN－CG＝．所以y＝EG＝＝＝．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG＝＝，所以CP＝GP＝＝＝．所以GQ＝PD＝＝，EQ＝＝．所以y＝EG＝＝＝．图8图9图10

例2016年上海市普陀区中考一模第24题如图1，已知二次函数的图像经过A(0,8)、B(6,2)、C(9,m)三点，延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q在线段AD上运动，可以体验到，△APQ与△MDQ相似只存在一种情况．满分解答（1）将A(0,8)、B(6,2)分别代入，得解得，c＝8．所以二次函数的解析式为．所以．（2）由A(0,8)、C(9,5)，可得直线AC的解析式为．所以D(24,0)．因此cot∠ADO＝＝＝3．（3）如图2，如果△APQ与△MDQ相似，由于∠AQP＝∠MQD，∠PAQ与∠DMQ是钝角，因此只存在一种情况，△APQ∽△MDQ．因此∠APQ＝∠D．作BN⊥y轴于N，那么∠BPN＝∠D．因此cot∠BPN＝cot∠D＝3．所以PN＝3BN＝18．此时点P的坐标为(0,20)．图2

例2016年上海市普陀区中考一模第25题如图1，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP＝90°，点D在∠MBN的边BN上，点P在∠MBN内，PD＝3，BD＝9．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设．（1）求x＝2时，点A到BN的距离；（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C运动，可以体验到，AH与BH的比值＝tan∠B＝3为定值，AH与PD的比值＝CA∶CP＝x．满分解答（1）如图2，作AH⊥BC于H，那么PD//AH．因此．所以AH＝2PD＝6，即点A到BN的距离为6．图2图3（2）如图3，由，得AH＝xPD＝3x．又因为tan∠MBN＝＝3，所以BH＝x．设BC＝m．由，得．整理，得．所以y＝S△ABC＝＝＝．定义域是0＜x≤9．x＝9的几何意义是点C与点H重合，此时CA＝27，CP＝3．（3）在△ABC中，BA＝，cos∠ABC＝，BC＝．①如图4，当BA＝BC时，解方程，得．②如图5，当AB＝AC时，BC＝2BH．解方程，得x＝5．③如图6，当CA＝CB时，由cos∠ABC＝，得．解方程，得．图4图5图6

例2016年上海市松江区中考一模第24题如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是(3,0)，tan∠OAC＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB＝∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上的一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D在y轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD与△ABC相似存在两种情况．满分解答（1）由y＝ax2＋bx－3，得C(0,－3)，OC＝3．由tan∠OAC＝3，得OA＝1，A(－1,0)．因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．代入点C(0,－3)，得a＝1．所以y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）如图2，作PH⊥x轴于H．设P(x,(x＋1)(x－3))．由tan∠PAB＝tan∠CAB，得．所以．解得x＝6．所以点P的坐标为(6,21)．（3）由A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3)，得BA＝4，BC＝，∠ABC＝∠BCO＝45°．当点D在点C上方时，∠ABC＝∠BCD＝45°．分两种情况讨论△BCD与△ABC相似：如图3，当时，CD＝BA＝4．此时D(0,1)．如图4，当时，．解得．此时D．图2图3图4

例2016年上海市松江区中考一模第25题已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝∠BCD＝45°，AD＝3，BC＝9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE＝∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G．（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（2）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG＝时，求AE的长．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，DG＝存在两种情况，对应的DE也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，那么MN＝AD＝3．在Rt△ABM中，BM＝3，∠B＝45°，所以AM＝3，AB＝．在Rt△AMC中，AM＝3，MC＝6，所以CA＝．如图4，由AD//BC，得∠1＝∠2．又因为∠APE＝∠B，当E、D重合时，△APD∽△CBA．所以．因此．解得此时AP＝．（2）如图5，设（1）中E、D重合时点P的对应点为F．因为∠AFD＝∠APE＝45°，所以FD//PE．所以，即．因此．定义域是＜x≤．图3图4图5（3）如图6，因为，，所以．由DF//PE，得．所以．由DF//PE，．所以．①如图6，当P在AF的延长线上时，．②如图7，当P在AF上时，．图6图7

例2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，已知点A(－1,－1)，点B在第二象限，OB＝，抛物线经过点A和B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E在射线BA上运动，可以体验到，△BOE和△BCD相似存在两种情况．满分解答（1）由A(－1,－1)，得OA与x轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB＝90°，所以OB与x轴负半轴的夹角也为45°．当OB＝时，点B到x轴、y轴的距离都为2．所以点B的坐标为(－2,2)．（2）将A(－1,－1)、B(－2,2)分别代入，得解得，．所以．抛物线的对称轴是直线x＝1．（3）如图2，由A(－1,－1)、B(－2,2)、C(1,1)、D(1,－1)，以及∠AOB＝90°，可得BO垂直平分AC，BO＝，BA＝BC＝，BD＝．如图3，过点A、E作y轴的平行线，过点B作y轴的垂线，构造Rt△ABM和Rt△EBN，那么．设点E的坐标为(x,y)，那么．图2图3当点E在射线BA上时，∠EBO＝∠DBC．分两种情况讨论相似：①当时，．解得．此时．解得x＝，y＝0．所以E（如图4）．②当时，．解得．此时．解得x＝，y＝．所以E（如图5）．图4图5

例2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD中，∠C＝60°，AB＝AD＝5，CB＝CD＝8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且∠BEQ＝90°－∠BAD．设A、P两点间的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH，△ABF∽△BEF∽△BDP，△AEP∽△ADF．满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H．因为AB＝AD，CB＝CD，所以A、C在BD的垂直平分线上．所以AC垂直平分BD．因此∠BAH＝∠BAD．因为∠BEQ＝90°－∠BAD，所以∠BEQ＝90°－∠BAH＝∠ABH．在Rt△ABH中，AB＝5，BH＝4，所以AH＝3．所以tan∠BEQ＝tan∠ABH＝．图2（2）如图3，由于∠BEQ＝∠ABH，∠BEQ＝∠AEP，∠ABH＝∠ADH，所以∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH．图3图4图5如图3，因为∠BFA是公共角，所以△BEF∽△ABF．如图4，因为∠DBP是公共角，所以△BEF∽△BDP．所以△ABF∽△BDP．所以．因此．所以．所以．如图5，因为∠DAF是公共角，所以△AEP∽△ADF．所以．定义域是0≤x≤5．（3）分三种情况讨论等腰△AEP：①当EP＝EA时，由于△AEP∽△ADF，所以DF＝DA＝5（如图6）．此时BF＝3，HF＝1．作QM⊥BD于M．在Rt△BMQ中，∠QBM＝60°，设BQ＝m，那么，．在Rt△FMQ中，，tan∠MFQ＝tan∠HFA＝3，所以QM＝3FM．解方程，得BQ＝m＝．②如图7，当AE＝AP时，E与B重合，P与D重合，此时Q与B重合，BQ＝0．③不存在PE＝PA的情况，因为∠PAE＞∠PAH＞∠AEP．图6图7

例2016年上海市杨浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x＋4经过A、C两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P、Q在抛物线上（点P在对称轴左边），且PQ//AO，PQ＝2AO，求点P、Q的坐标；（3）动点M在直线y＝x＋4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M在射线CA上运动，可以体验到，△ABC与△COM相似存在两种情况．满分解答（1）由y＝x＋4，得A(－4,0)，C(0,4)．将A(－4,0)、C(0,4)分别代入，得解得b＝－1，c＝4．所以抛物线的表达式为．（2）如图2，因为PQ//AO，所以P、Q关于抛物线的对称轴对称．因为抛物线的对称轴是直线x＝－1，PQ＝2AO＝8，所以xP＝－5，xQ＝3．当x＝3时，＝．所以P，Q．（3）由，得B(2,0)．由A(－4,0)、B(2,0)、C(0,4)，得AB＝6，AC＝，CO＝4．当点M在射线CA上时，由于∠MCO＝∠BAC＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当时，．解得．此时M(－3,1)（如图3）．②当时，．解得．此时M（如图4）．图2图3图4

例2016年上海市杨浦区中考一模第25题如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝＝，所以．解得AN＝．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝，所以BN＝．因此cos∠B＝＝．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以，即．解得．由BC//AF，得，即．解得．图2图3

（3）如图4，因为∠ECF＝∠ABC，根据等角的邻补角相等，得∠MCE＝∠MBC．如图5，因为∠M是公共角，所以△MCE∽△MBC．所以．因此．作MH⊥BC，垂足为H．在Rt△MBH中，MB＝y，cos∠MBH＝，所以BH＝，MH＝．在Rt△MCH中，根据勾股定理，得MC2＝MH2＋CH2．因此．整理，得．定义域是＜x≤5．定义域中x＝的几何意义如图6所示，此时D、F重合，AB//CF．由CF＝CE，CF＝CB，得CE＝CB．所以．解得BE＝＝．图4图5图6

例2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0,2)，对称轴为直线x＝1，对称轴交x轴于点E．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；（3）联结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD只存在一种情况．拖动点P在BD边上运动，可以体验到，△EBP与△ABD相似存在两种情况．满分解答（1）点A(－1,0)关于直线x＝1的对称点B的坐标为(3,0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,2)，得2＝－3a．解得．所以．顶点D的坐标为．（2）过△ADE的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD的顶点F．设F．作FH⊥x轴于H，那么∠FEH＝∠DAE．由tan∠FEH＝tan∠DAE，得．所以．解方程，得．所以F．图2图3图4（3）由A(－1,0)、B(3,0)、D、E(1,0)，得BA＝4，BE＝2，BD＝．所以cos∠B＝，sin∠B＝．由于∠B是公共角，分两种情况讨论相似：当时，．解得．作PM⊥x轴于M，那么BM＝BP＝，PM＝BP＝．此时P．当时，．解得．此时BM＝BP＝1，PM＝BP＝．此时P．

例2016年上海市闸北区中考一模第25题如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AD＝4，AB＝8，BC＝10，点M在边CD上，且．（1）如图1，联结BM，求证：BM⊥DC；（2）如图2，作∠EMF＝90°，ME交射线于AB于点E，MF交射线BC于点F，若AE＝x，BF＝y，当点F在线段BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模25”，拖动点E在射线AB上运动，可以体验到，△EBM与△FCM保持相似．等腰三角形MBE存在三种情况．满分解答（1）如图3，作DH⊥BC于H，那么BH＝AD＝4，DH＝AB＝8．在Rt△DHC中，DH＝8，CH＝6，所以DC＝10．所以DC＝BC，∠MDB＝∠HBD（如图4）．因为，所以MD＝4．所以MD＝HB．又因为DB＝BD，所以△MDB≌△HBD．所以∠BMD＝∠DHB＝90°，即BM⊥DC．（2）如图5，因为∠EMF＝∠BMC＝90°，所以∠EMB＝∠FMC．在四边形ABMD中，因为∠A＝∠BMD＝90°，所以∠ABM与∠D互补．因为AD//BC，所以∠BCD与∠D互补．所以∠ABM＝∠BCD．所以△EBM≌△FCM．所以，即．整理，得．定义域是0≤x≤8．图3图4图5（3）因为△MCF∽△MBE，因此当△MCF是等腰三角形时，△MBE也是等腰三角形．在△MBE中，BM＝8，cos∠ABM＝cos∠C＝．①如图6，当BE＝BM＝8时，AE＝0或AE＝16．②如图7，当EB＝EM时，点E在BM的垂直平分线上．此时．所以．解得．此时．③如图8，当MB＝ME时，点M在BE的垂直平分线上，此时点E在点A的上方了，不符合题意．图6图7图8

例2016年上海市长宁区金山区中考一模第24题如图1，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA//BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE＝2EB，CB＝3，OA＝6，BA＝，OD＝5．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求证：△ODE∽△OBC；（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16长宁金山一模24”，可以体验到，OB与DF是垂直关系．满分解答（1）已知A(6,0)，设B(3,m)，由BA＝，得32＋m2＝．解得m＝±6．所以B(3,6)，C(0,6)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，分别代入A(6,0)、B(3,6)、C(0,6)，得解得，b＝1，c＝6．所以．（2）如图2，由B(3,6)，可得OB＝．已知OE＝2EB，所以OE＝．由于，，所以．又因为∠DOE＝∠BOC，所以△ODE∽△OBC．（3）符合条件的点G有4个：(0,5)，(0,－5)，(0,20)，(0,－20)，如图2，图3所示．图2图3

例2016年上海市长宁区金山区中考一模第25题如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，sin∠B＝，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，联结DE、DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF∶CG的值；（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“16长宁金山一模25”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，△BEF和△CEG的周长之和等于直角三角形FGH的周长，S是x的二次函数．满分解答（1）由sin∠B＝，得cos∠B＝．如图1，由AB//DC，得．①如图2，当∠BAE＝90°时，由cos∠B＝，得．此时．所以．②如图3，当∠BEA＝90°时，由cos∠B＝，得．此时．所以．图2图3图4（2）如图4，过点G作BC的平行线交AB的延长线于H，那么四边形BCGH是平行四边形．所以CG＝BH，HG＝BC＝10．所以△BEF和△CEG的周长之和＝Rt△FGH的周长．在Rt△FGH中，HG＝10，sin∠B＝，所以FG＝8，FH＝6．所以△BEF和△CEG的周长之和＝24，为定值．（3）如图5，在平行四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝10，sin∠B＝，可得AD与BC间的距离AM＝4，AB与DC间的距离CN＝8，S平行四边形ABCD＝40．在Rt△BEF中，BE＝x，那么FE＝，FB＝，S△BEF＝．S△ADF＝．S△DEC＝．所以y＝S△DEF＝S平行四边形ABCD－S△BEF－S△ADF－S△DEC＝40－－－＝．定义域是0＜x≤．的几何意义如图2所示．图5