高考数学（北师大版理科）一轮复习攻略核心素养测评五十七10-6双曲线

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十七双曲线(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·合肥模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且经过点2,25A.x24y2=1 B.y22y24=1 2【解析】选B.对于A选项,双曲线的渐近线方程为y=±12x,不符合题意.对于B选项,双曲线的渐近线方程为y=±2x,且过点2,25,符合题意.对于C选项,双曲线的渐近线为y=±2x,但不过点2,25,不符合题意.对于D选项2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:x24y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若PO=PF,则A.324B.3【解析】选A.由双曲线的方程x24y22=1在△PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF,垂足为H,因为tan∠POF=22得到PH=3所以S△PFO=12×32×6=3.已知曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)为等轴双曲线2y2=12 2y22y2=2 2y2=2【解析】选D.由已知,若曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,c=a2+b2=2渐近线方程为x±y=0,若焦点到渐近线的距离为2,则|2a|1+1=a=2,双曲线的标准方程为x224.(2018·全国卷I)已知双曲线C:x23y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则A.32 3【解析】选B.渐近线方程为x23y2=0,即y=±所以∠MON=π3因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=π2则kMN=3,所以直线MN方程为y=3(x2).联立y解得x=所以N32,-32,即ON=3,因为所以|MN|=3.5.已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)与双曲线x27yA.(0,6]B.[3,6]C.(32,6]D.[6,9)【解析】选C.由题意可知m2<25,则0<m<5,由标准方程可知焦点坐标分别为(±25-m2,0),(±7+n2,0),由题意可知:25m2=7+n2而m+n≤2m2+n22=6;由m∈(0,5),n>0知:当m=0时,(m+n)min=326.已知F1,F2分别为双曲线C:x24y25=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且|PF1|=2|PF2|,则△PF1A.4π15 B.16π15 C.64【解析】选D.双曲线C:x24y25=1的两个焦点F1(3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,a=2,由|PF设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由双曲线的性质知,2xx=4,解得x=4,所以|PF1|=8,|PF2|=4,因为|F1F2|=6,所以cos∠F1PF2=64+16-362×8×4=1116,所以sin∠F1PF2=31516,所以△PF1F2外接圆的半径为62sin∠F17.(2020·杭州模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2m2y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,若椭圆e1A.72 B.62 【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,st=2m,解得s=a+m,t=am,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,可得4c2=s2+t22stcos60°=a2+m2+2am+a2+m22am(a2m2),即有a2+3m2=4c2,可得a2c2+3m2c2=4,即1e12+3e22二、填空题(每小题5分,共10分)8.双曲线x225-k+y【解析】由题意可得(25k)(9k)<0,解得9<k<25,故25k>0,9k<0,双曲线方程为x225由c2=a2+b2=(25k)+(k9)=16,即c=4,所以2c=8.答案:89.(2020·安庆模拟)已知双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2【解析】因为渐近线方程为y=3x,所以ba=3,抛物线y2=24x的准线方程为x=6,因此双曲线的一个焦点为(6,0),其半焦距c=6,由双曲线的性质c2=a2+b2所以a2=9,b2=27,故方程为x29答案:x29三、解答题10.(10分)已知双曲线x23y24=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点),求实数【解析】由题意得Am,Bm,2m23-所以OA=m,2m23-1,OB=m,-2m23-1,因为△AOB是锐角三角形,所以∠AOB是锐角,即OA与OB的夹角为锐角,所以OA·OB>0,即m24m23+4>0,解得23(15分钟35分)1.(5分)已知双曲线x24y2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形A.x243y24=1C.x24y24=1 【解析】选D.不妨设A(x0,y0)在第一象限,由已知x由①③得x02=16所以y02=b24×16由②④⑤得b2=12.所以双曲线的方程为x24【变式备选】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ()A.x22y214B.x22y214C.x22+y214D.x22+y214【解析】选A.设动圆的半径为r,由题意可得|MC1|=r+2,|MC2|=r2,所以|MC1||MC2|=22=2a,故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a=22的双曲线的右支上,即a=2,c=4⇒b2=162=14,故其标准方程为x22y2142.(5分)过双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的两条渐近线交于C,D两点,若A.53,+∞C.1,53【解析】选B.将x=c代入x2a2y2b不妨取Ac,b2a,Bc,-b2a,则|AB|=2b2a,将x=c代入y=±bax,得y=±bca,不妨取Cc,bca,Dc,-bca,则|CD|=2bca.因为|AB|≥35所以c2a2≥925c2,即1625c2≥a2,则e2≥2516,则e【变式备选】(2020·武汉模拟)已知A,B,C是双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFA.53 B.173 C.172【解析】′,|AF|=m,连接AF′,CF′,则|FC|=2m,|AF′|=2a+m,|CF′|=2a+2m,|FF′|=2c,因为BF⊥AC,且AB经过原点O,所以四边形FAF′B为矩形,在Rt△AF′C中,|AF′|2+|AC|2=|F′C|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,化简得m=2a3,所以在Rt△AF′F中,|AF′|2+|AF|2=|F′F|代入2a+2a3化简得c2a2=173.(5分)P是双曲线C:x2y2=2左支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F2是双曲线C的右焦点,则|PF2|+|PQ|的最小值为 ()A.22 B.2 2 D.2+【解析】选C.由题知|PF2||PF1|=2a=22,则|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+22,由对称性,当F1,P,Q在同一直线上时|PF1|+|PQ|最小,由渐近线方程y=x,|F1O|=2知|F1Q|=2,则|PF2|+|PQ|的最小值为32.4.(10分)(2019·福州模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±2x,过点P62,(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±2x,设双曲线方程为x2y22=λ(过点P62,1所求双曲线方程为x2y2(2)假设直线l存在.设B(1,1)是弦MN的中点,且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为M,N在双曲线上,所以2所以2(x1+x2)(x1x2)(y1y2)(y1+y2)=0,所以4(x1x2)=2(y1y2),所以k=y1所以直线l的方程为y1=2(x1),即2xy1=0,联立方程组2x2-因为Δ=164×3×2=8<0,所以直线l与双曲线无交点,所以直线l不存在.5.(10分)已知离心率为45的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程.(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连接BP交椭圆于点M,连接PA并延长交椭圆于点N,若=,求四边形ANBM的面积.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则根据题意知双曲线的方程为所以椭圆的方程为x225+y29(2)由(1)得A(5,0),B(5,0),|AB|=10,设M(x0,y0),则由=得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x05,2y0).将M,P坐标代入椭圆和双曲线方程,得x消去y0,得2x025x解之,得x0=52或x0所以y0=33由此可得M-52,当P为(10,33)时,直线PA的方程是y=33即y=335(x+5),代入x2得2x2+15x+25=0.所以x=52所以xN=52,xN=xM,MN⊥所以S四边形ANBM=2S△AMB=2×12×10×3321.(2020·上饶模拟)过双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的右支于点P,切点为T,PF1导学号A.ba=|MO||MT|B.ba>|MO||MT|C.ba<|MO||MT|D.ba=|MO|+|MT|【解析】选A.如图,连接OT,PF2,则OT⊥F1T,在直角三角形OTF1中,|F1T|=|O因为M为线段F1P的中点,O为F1F2的中点,所以|OM|=12|PF2所以|MO||MT|=12|PF2|12|PF1||F1T|=12(|PF2||PF1|)+b=122.(2019·赣州模拟)双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过点F1且与l1垂直的直线分别交l1及l2于P,Q两点,若满足=12+12A.2B.3C.2D.5【解析】选C.因为x2a2y2b2=1(a>0,b>0)所以F1(c,0),F2(c,0),双曲线的两条渐近线方程为y=bax,y=b