时间序列模型

时间序列模型一、分类①按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列.②准时间的连续性可将时间序列分为失散时间序列和连续时间序列两种.③按次列的统计特征分，有安稳时间序列和非安稳时间序列.狭义时间序列：假如一个时间序列的概率散布与时间t没关.广义时间序列:假如序列的一、二阶矩存在，并且对随意时刻t知足均值为常数和协方差为时间间隔的函数。（下文主要研究的是广义时间序列)。④准时间序列的散布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列.二、确立性时间序列剖析方法概括时间序列展望技术就是经过对展望目标自己时间序列的办理,来研究其变化趋向的.一个时间序列常常是以下几类变化形式的叠加或耦合。①长久趋向改动:它是指时间序列朝着必定的方向连续上涨或降落，或逗留在某一水平上的偏向,它反应了客观事物的主要变化趋向.往常用表示。②季节改动：往常用表示。③循环改动：往常是指周期为一年以上，由非季节要素惹起的涨落起伏波形相像的颠簸。通常用表示.④不规则改动。往常它分为忽然改动和随机改动。往常用表示。也称随机扰乱项。常有的时间序列模型：⑴加法模型:；⑵乘法模型:；⑶混淆模型：；；这三个模型中表示观察目标的观察记录，假如在展望时间范围之内,无忽然改动且随机改动的方差较小，并且有原由以为过去和现在的演变趋向将连续发展到将来时，可用一些经验方法进行展望。三、挪动均匀法当时间序列的数值因为受周期改动和不规则改动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋向时，可用挪动均匀法，除去这些要素的影响，剖析、展望序列的长久趋向。挪动均匀法有简单挪动均匀法，加权挪动均匀法，趋向挪动均匀法等.3.1、简单挪动均匀法当展望目标的基本趋向是在某一水平上下颠簸时，可用一次简单挪动均匀方法成立展望模型：其展望目标的标准差为：自然我们还能够获得以下递推关系：N的选用方式:5≤N≤200①一般N取值范围：。当历史序列的基本趋向变化不大且序列中随机改动成分许多时,N的取值应较大一些。不然N的取值应小一些。②选择不同的N比较若干模型的展望偏差，展望标准偏差最小者为最好.3。2、加权挪动均匀法在简单挪动均匀公式中，每期数据在求均匀时的作用是等同的.可是，每期数据所包含的信息量不相同，近期数据包含着更多对于将来状况的信心。所以，把各期数据等同对待是不尽合理的，应试虑各期数据的重要性，对近期数据赐予较大的权重，这就是加权挪动均匀法的基本思想。此中为权数,表现了相应的在加权均匀数中的重要性。在加权挪动均匀法中，的选择，相同拥有必定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度解和剖析来确立。

,则需要依照展望者对序列的了3。3、趋向挪动均匀法简单挪动均匀法和加权挪动均匀法，在时间序列没有明显的趋向改动时，能够正确反应实质状况。但当时间序列出现直线增添或减少的改动趋向时，用简单挪动均匀法和加权挪动均匀法来展望就会出现滞后偏差。所以,需要进行修正,修正的方法是作二次挪动均匀，利用挪动均匀滞后偏差的规律来成立直线趋向的展望模型.这就是趋向挪动均匀法.一次挪动的均匀数为二次挪动的均匀数为下边议论怎样利用挪动均匀的滞后偏差成立直线趋向展望模型:设时间序列｛｝从某时期开始拥有直线趋向，且以为将来时期也按此直线趋向变化，则可设此直线趋向展望模型为此中t为目前时期数；T为由t至展望期的时期数；为截距，为系数，二者均称为光滑系数。能够计算出：趋向挪动均匀法对于同时存在直线趋向与周期颠簸的序列，

是一种既能反应趋向变化，

又可以有效地分别出来周期改动的方法。四、指数光滑法一次挪动均匀实质上以为近来

N

期数据对将来值影响相同

,都加权

；而N

期从前的数据对将来值没有影响，加权为0。可是，二次及更高次挪动均匀数的权数却不是,且次数越高，权数的构造越复杂，但永久保持对称的权数，即两头项权数小，中间项权数大，不吻合一般系统的动向性。一般说来历史数据对将来值的影响是随时间间隔的增添而递减的.所以，更吻合实质的方法应是对各期观察值依时间次序进行加权均匀作为展望值。指数光滑法可满足这一要求，并且拥有简单的递推形式。指数光滑法依据光滑次数的不同，又分为一次指数光滑法、二次指数光滑法和三次指数光滑法等，分别介绍以下:4。1、一次指数光滑法此中为加权系数。展望模型为:即也就是以第t期指数光滑值作为t+1期展望值。怎样选择加权系数?详细怎样选择一般可依照以下原则:①假如时间序列颠簸不大，比较安稳，则α应取小一点，如(0.1～0.5）。以减少修正幅度，使展望模型能包含较长时间序列的信息；②假如时间序列拥有快速且明显的改动偏向，则α应取大一点，如（0.6～0.8）。使展望模型敏捷度高一些，以便快速跟上数据的变化。③在适用上，近似挪动均匀法，多取几个α值进行试算，看哪个展望偏差小，就采纳哪个.怎样确立初值

？详细怎样选择一般可依照以下原则：①当时间序列的数据许多,比方在20个以上时，初始值对此后的展望值影响极少，可采纳第一期数据为初始值。②假如时间序列的数据较少,在20个以下时，初始值对此后的展望值影响很大,这时,就一定仔细研究怎样正确确立初始值.一般以最先几期实质值的均匀值作为初始值。4。2、二次指数光滑法当时间序列的改动出现直线趋向时，采纳二次指数光滑法此中为一次指数的光滑值；为二次指数的光滑值。当时间序列｛｝，从某时期开始拥有直线趋向时，近似趋向挪动均匀法，可用直线趋向模型：进行展望.4。3、三次指数光滑法当时间序列的改动表现为二次曲线趋向时，则需要用三次指数光滑法。三次指数光滑是在二次指数光滑的基础上,再进行一次光滑，其计算公式为式中为三次指数光滑值三次指数光滑法的展望模型为：此中：选择α值的一些基本准则:指数光滑展望模型是以时刻t为起点，综合历史序列的信息，对将来进行展望的.选择适合的加权系数α是提升展望精度的重点环节。依据实践经验，α的取值范围一般以0.1～0。3为宜。α值愈大,加权系数序列衰减速度愈快，所以实质上α取值大小起着控制参加均匀的历史数据的个数的作用。α值愈粗心味着采纳的数据愈少。（1）假如序列的基本趋向比较稳，展望偏差由随机要素造成，则α值应取小一些,以减少修正幅度,使展望模型能包含更多历史数据的信息。2）假如展望目标的基本趋向已发生系统地变化，则α值应获得大一些。这样，能够着重新数据的信息对原模型进行大幅度修正，以使展望模型适应展望目标的新变化.怎样确立初值？初始值能够取前3～5个数据的算术均匀值作为初始值。五、差分指数光滑法当时间序列的改动拥有直线趋向时，用一次指数光滑法会出现滞后偏差，其原由在于数据不知足模型要求。所以，我们也能够从数据变换的角度来考虑改良举措,即在运用指数平滑法从前先对数据作一些技术上的办理,使之能适合于一次指数光滑模型,此后再对输出结果作技术上的返回办理，使之恢复为原变量的形态.差分方法是改变数据改动趋向的简略方法5.1、一阶差分指数光滑法

.当时间序列呈直线增添时，可运用一阶差分指数光滑模型来展望

.此中的?为差分记号。第一个式子表示对表现直线增添的序列作一阶差分，组成一个安稳的新序列，第二个式子表示把经过一阶差分后的新序列的指数光滑展望值与变量目前的实质值迭加，作为变量下一期的展望值。指数光滑值其实是一种加权均匀数。所以把序列中逐期增量的加权均匀数（指数光滑值）加受骗前值的实质数进行展望，比一次指数光滑法只用变量过去取值的加权均匀数作为下一期的展望更合理.进而使展望值一直环绕实质值上下颠簸，从根本上解决了在有直线增添趋向的状况下，用一次指数光滑法所得出的结果一直落伍于实质值的问题。5。2二阶差分指数光滑模型当时间序列表现二次曲线增添时，可用二阶差分指数光滑模型来展望，计算公式以下：此中表示二阶差分。差分方法和指数光滑法的结合运用,除了能战胜一次指数光滑法的滞后偏差以外，对初始值的问题也有明显的改良。因为数据经过差分办理后,所产生的新序列基本上是安稳的。这时,初始值取新序列的第一期数据对于将来展望值不会有多大影响。其次，它拓展了指数光滑法的合用范围，使一些本来需要运用配合直线趋向模型办理的状况可用这类组合模型来代替.可是，对于指数光滑法存在的加权系数α的选择问题，以及只好逐期展望问题，差分指数光滑模型也没有改良.六、自适应滤波法6.1、自适应滤波法的基本过程自适应滤波法与挪动均匀法、指数光滑法相同，也是以时间序列的历史观察值进行某种加权均匀来展望的,它要找寻一组“最正确”的权数，其方法是先用一组给定的权数来计算一个展望值，而后计算展望偏差,再依据展望偏差调整权数以减少偏差。这样反进行，直至找出一组“最正确”权数，使偏差减少到最低限度。因为这类调整权数的过程与通信工程中的传输噪声过滤过程极为靠近，故称为自适应滤波法。自适应滤波法的基本展望公式为:此中为第t+1期的展望值，为第t—i+1期的观察值权数,为第期的观察值，N为权数的个数.其调整权数的公式为:式中，n，n为序列数据的个数，为调整前的第i个权数，为调整后的第i个权数，k为学习常数,为第t+1期的展望偏差。该式表示调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上偏差调整项，这个调整项包含展望偏差、原观察值和学习常数等三个要素。学习常数k的大小决定权数调整的速度.6.2N,k值和初始权数确实定在开始调整权数时，第一要确立权数个数N和学习常数k。一般说来，当时间序列的观测值呈季节改动时，N应取季节性长度值。如序列以一年为周期进行季节改动时，若数据是月度的，则取N=12，若季节是季度的,则取N=4。假如时间序列无明显的周期改动，则可用自有关系数法来确立，即取N为最高自有关系数的滞后时期.k的取值一般可定为1/N，也可以用不同的k值来进行计算，以确立一个能使S最小的k值。初始权数确实定也很重要，如无其余依照，也可用1/N作为初始权系数用。自适应滤波法有两个明显的长处:一是技术比较简单，可依据展望企图来选择权数的个数和学习常数，以控制展望。也能够由计算机自动选定.二是它使用了所有历史数据来追求最正确权系数,并随数据轨迹的变化而不停更新权数,进而精益求精展望。因为自适应滤波法的展望模型简单,又能够在计算机上对数据进行办理，所以这类展望方法应用较为宽泛。七、趋向外推展望方法趋向外推法是依据事物的历史和现时资料，追求事物发展规律,进而推断失事物将来状况的一种比较常用的展望方法。利用趋向外推法进行展望,主要包含六个阶段：a）选择应展望的参数；（b）采集必需的数据；(c）利用数据拟合曲线；（d）趋向外推;（e）展望说明；（f）研究展望结果在进行决议中应用的可能性.趋向外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络曲线等.7.1、指数曲线一般来说，技术的进步和生产的增添，在其未达饱和从前的重生时期是依照指数曲线增长规律的,所以能够用指数曲线对发展中的事物进行展望。指数曲线的数学模型为：此中系数和K值由历史数据利用回归方法求得。对该式取对数得，令,则。可利用最小二乘法求得A和K。7。2、修正指数曲线法利用指数曲线外推来进行展望时，存在着展望值跟着时间的推移会无穷增大的状况。这是不吻合客观规律的。因为任何事物的发展都是有必定限度的。比如某种热销产品，在其占有市场的早期是呈指数曲线增添的，但跟着产品销售量的增添,产品总量靠近于社会饱和量时。这时的展望模型应改用修正指数曲线。在此数学模型中有三个参数a，b，K要用历史数据来确立。修正指数曲线用于描绘这样一类现象：（1）、早期增添快速，随后增添率渐渐降低。（2）、当当K值可早先确准时，采纳最小二乘法确立模型中的参数。而当K值不可以早先确准时，应采纳三和法.把时间序列的n个察看值平分为三部分，每部分有m期，即第一部分：第二部分：第三部分:则:能否适应修正指数曲线？查验方法是看给定数据的逐期增添量的比率能否靠近某一常数b。即7。3、Compertz曲线曲线的一般形式Compertz曲线用于描绘这样一类现象：早期增添迟缓，此后渐渐加速。当达到必定程度后,增添率又渐渐降落。参数预计方法以下:对上式取对数得:记则模仿修正指数曲线的三和法预计参数,令此中则系数为能否适应Compertz曲线?查验方法是看给定数据的对数逐期增添量的比率能否靠近某一常数b7.4、Logistic曲线(生长曲线）生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不相同的，比如南瓜的重量增添速度,在第一阶段增添的较慢,在发展时期则忽然加速，而到了成熟期又趋减慢，形成一条S形曲线，这就是出名的Logistic曲线（生长曲线），好多事物，如技术和产品发展进度都有近似的发展过程，所以Logistic曲线在展望中有相当宽泛的应用。Logistic曲线的一般数学模型是式中y为展望值，L为y的极限值，r为增添率常数，r>0Logistic曲线的一般形式为对上式做变换得模仿修正指数曲线的三和法预计参数,令则各个系数为：7.5趋向线的选择趋向线的选择有以下几种方式。1．由散点图选择趋向线。2．由数据自己的取值规律选择趋向线。3．比较展望标准偏差大小当有几种趋向线可供选择时，应选择S最小的趋向线。八、安稳时间序列模型这里的安稳是指宽安稳,其特征是序列的统计特征不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。8。1、一般自回归模型假定时间序列与没关，

仅与

有线性关系是一个独立于

,而在

已知条件下，的白噪声序列，.上式也能够表示为：可见

系统响应

拥有n阶动向性。

把

的部分除去去以后，使得拥有n阶动向性的序列过程也就是使有关序列独立化的过程.

转变为独立的序列

。所以，

拟合模型的8。2、挪动均匀模型系统的特点是系统在

t时刻的响应

仅与其从前时刻的响应

有关，而与其从前时刻进入系统的扰动没关。假如一个系统在

t时刻的响应

tX,与其从前时刻的响应没关，而与其从前时刻进入系统的扰动

存在着必定的有关关系，那么，这一类系统为系统

。8.3、自回归挪动均匀模型一个系统，假如它在时刻t的响应，不单与其从前时刻的自己值有关，并且还与其以前时刻进入系统的扰动存在必定的依存关系，那么，这个系统就是自回归挪动均匀系统。模型为对于安稳系统来说型的特例，我们以

,因为

、、模型都是模型为一般形式来成即刻序模型。

模九、

模型的特点在时间序列的时域剖析中，线性差分方程是极为有效的工具。事实上，任何一个模型都是一个线性差分方程。

ARMA9.1、系统的格林函数格林函数就是描绘系统记忆扰动程度的函数。模型为设则有明显这是一个一阶非齐次差分方程

,挨次递推下去得

:上式就是格林函数的解.方程解的系数函数统函数就叫做记忆函数，也叫格林函数。不如另定义后移算子B，

客观地描绘了该系统