第06讲对数与对数函数（原卷版）

第06讲对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.(e＝2.71828…)2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：=1\*GB3①1的对数为零：loga1＝0.=2\*GB3②底的对数为1：logaa＝1.=3\*GB3③零和负数没有对数．=4\*GB3④＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③＝eq\f(m,n)logab．(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．重要推论：=1\*GB3①logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；=2\*GB3②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．3．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一．对数式的运算例1．（1）已知2a=5b=m,且=1,则m=____.（2）求值：_________________．（3）计算：＝________．（4）已知，，用a、b表示__________．．（5）若log34•log48•log8m＝log416，则m＝___．（6）若是方程的两个实根，则的值为______．【复习指导】：解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.二．对数函数的图像及应用例2．（1）函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是（）A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b（2）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（

）A． B．C． D．（3）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（

）A．B．C．D．（4）函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上（其中），则的最小值等于（）A．10 B．8 C．6 D．4（5）若对恒成立，则实数的取值范围是________________（6）函数的零点个数为_______________.【复习指导】：对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．三．对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对数式的大小例3．（1）设，，，则（

）A． B． C． D．（2）（多选）已知实数，，满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．（3）设，，则（

）A． B． C． D．（4）设x、y、z为正数，且，则（）A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z（5）已知，，，则（

）A． B．C． D．【复习指导】：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.(3)比较对数值大小时常用的四种方法:=1\*GB3①同底数的利用对数函数的单调性．=2\*GB3②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．=3\*GB3③底数和真数都不同，找中间量．=4\*GB3④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．命题点2解对数方程或不等式例4．（1）已知集合,，则(

)A． B． C． D．（2）设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)（3）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（

）A．{x|x>2} B． C．{或x>2} D．{或x>2}（4）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．（5）方程的解是________.（6）已知，且=1\*GB3①当时，解不等式；=2\*GB3②在恒成立，求实数的取值范围.【复习指导】：对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．命题点3对数函数性质的综合应用例5．（1）设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减（2）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【复习指导】：利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．（3）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【复习指导】：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.（4）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．（1，4）【复习指导】：双变量存在与恒成立问题：若，成立，则；若，成立，则；若，成立，则；若，成立，则；若，成立，则的值域是的子集．（5）已知函数，则函数的零点个数为（

）A． B． C． D．（6）若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．1．函数的图象大致是（）A．B．C．D．2．在同一直角坐标系中，函数，的图象不可能的是（

）A．B．C．D．3．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（

）A． B．C． D．4．函数的图象大致是（

）A．B．C．D．5．已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C．D．6．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A．B．C．D．7．已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A． B．C． D．9．已知函数，若，，均不相等，且==，则的取值范围是（

）A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)10．已知，，，则以下不等式正确的是（

）A． B． C． D．11．已知，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．不确定12．设,,则

A． B． C． D．13．若，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B．C． D．14．若a＝log54，b＝log43，c，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a15．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．16．已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．17．若，则的取值范围是（）A． B． C． D．18．已知是偶函数，它在，则的取值范围是（

）A． B．C． D．19．已知集合，，若，则的可能取值组成的集合为（

）A． B． C． D．20．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．21．设集合，则（

）A． B． C． D．22．定义在上的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．23．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．24．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（

）A． B．C． D．25．已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（

）A．10个 B．9个 C．8个 D．1个26．已知函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（多选）已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（

）A．1 B．0 C．2 D．328．（多选）已知函数，下列四个命题正确的是（

）.A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在上为单调递增函数D．若，则29．30．________．31．设实数x满足，且，则______.32．已知，且，则A的值是___________.33．方程的解为___________.34．若，则．35．函数的零点是_______.36．法国数学家费马于1640年提出了猜想：是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数，因为随着n的增大，迅速增大，所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易，一直到1732年才被数学家欧拉算出满足，则满足的最小正整数_________.37．已知，且，则的最小值为___________.38．已知函数，若且，则的取值范围为___________.39．已知函数经过定点A,定点A也在函数的图象上，_________．40．函数的所有零点之和为__________．41．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.42．关于函数，有以下四个命题：①函数在区间上是单调增函数；②函数的图象关于直线对称；③函数的定义域为；④函数的值域为.其中所有正确命题的序号是________.43．,的最大值为___________44．时，恒成立，则的取值范围是