蒙特卡罗方法生成三维理想气体麦克斯韦分布

蒙特卡罗方法生成三维理想气体麦克斯韦分布莫裕宇;李盛至【摘要】蒙特卡罗方法生成二维麦克斯韦分布的程序在一些计算物理教材中已经做出.将三维单位球面上均匀分布的随机向量加入到描述分子碰撞的随机过程中，用MATLAB生成了三维麦克斯韦分布的程序.并对麦克斯韦分布的数值结果与理论预期进行了对比.对应地提出了一种理想气体碰撞生成麦克斯韦分布的在统计上所可能遵循的散射规律.【期刊名称】《大学物理》【年(卷)，期】2018(037)003【总页数】6页(P63-68)【关键词】三维麦克斯韦分布数值模拟;蒙特卡罗方法;理想气体【作者】莫裕宇;李盛至【作者单位】北京师范大学物理学系，北京100875;北京师范大学物理学系，北京100875【正文语种】中文【中图分类】O552.3+1理想气体的麦克斯韦分布是大量粒子相互作用的结果，如果能够把这样的实际物理过程简化为简单的随机过程，那么当需要用到速率分布满足三维麦克斯韦分布的粒子进行分子模拟时，计算量将会大大简化.目前蒙特卡罗方法生成麦克斯韦分布已有得的相关研究为文献［1,2］.在文献［1］中分子运动的速率得到了记录，其随机过程在于随机抽取分子进行碰撞，而后的分子碰撞过程中，碰撞前，分子速度方向在二维实验室空间的指向是各向同性的，碰撞后，各个分子速度方向在质心坐标系中的指向是随机的，其速度大小由碰撞后的具体指向决定，最后记录碰撞后的速率.本文发展了文献［1］的方法，认为通过记录分子运动的速度，只需随机碰撞后各个分子相对质心坐标系的速度方向，使其在三维空间内的指向是各向同性的，即可生成三维麦克斯韦分布.文献［2］中是用蒙特卡罗方法生成三维麦克斯韦分布，其随机抽样的思想同文献［1］，但碰撞随机过程不同，即在球坐标系内随机碰撞前时两粒子之间的速度夹角，而后交换连心线方向的速度.由于其在球坐标系下的夹角是用均匀分布的随机数代替的，如果是这样，那么碰撞前各个分子的速度方向在实验室坐标系中的空间指向将不是各向同性的.因此其正确性有待商榷.另外其做出的分布曲线并未与理论曲线进行对比，而本文中会对数值计算结果与理论预期进行详细的对比.本文仅考虑经典条件下的孤立系统的三维麦克斯韦分布，对于相对论情形下的麦克斯韦分布见文献［3］.另外考虑到理想气体的定义，文中在描述碰撞时，粒子将被看成是质点.用钢球模型模拟二维气体的麦克斯韦分布的见文献［4］.其中，对大量粒子服从的统计规律性，有详细阐述.也有对多粒子系统和少粒子系统的粒子速率和能量的分布的模拟和讨论，但没有对模拟算法的详细说明，本文会有较大篇幅涉及对算法的说明，说明时主要与文献［1］中的算法做对比，并最终证明本文与文献［1］算法的等价性.模拟结果会跟对应参数下的理论曲线进行对比，以说明其正确性（理论曲线非调参调出来〃强行拟合成功的”，而是只设置了分子质量和对应模拟时初始化的温度代入密度分布函数中，作图后与统计直方图进行定性拟合）.至于实验验证，如果拿文中的用于数值模拟的模型来做实物实验可能难以实现.因为可能很难在一个箱子中统计两个相互碰撞的气体分子相对质心散射方向.本文运用随机模型得到麦克斯韦分布，可以作为大量粒子碰撞形成麦克斯韦分布时所服从的统计规律的依据：碰撞后两理想气体分子相对质心系的速度散射方向的统计分布是各向同性的.1基本原理1.1理想气体模型根据热学教材中的准理想气体的定义可知，对理想气体分子有：分子近似看成质点；气体分子的大小忽略不计.1.2分子碰撞的随机过程把所有分子都看成是质点后，在碰撞过程中决定他们运动末了状态的参量的因素是:两个粒子的初始速度，另一个是粒子碰撞后相对质心系的速度的空间取向.由于不是运用分子动力学模拟的方法记录粒子的位置和速度，而是只记录粒子的速度，因此碰撞前后，两粒子的连心线取向完全不知情只能假定它们碰后质心速度在空间中指向分布各向同性（后文验证了这个假设能生成麦克斯韦分布）.物理图象见图1和图2.总结粒子碰撞模型的出发点如下.首先碰撞满足动量能量守恒；其次，碰撞前后粒子相对质心系的速率大小不变，但方向改变，其方向的空间指向具有随机特性，并且其方向的随机矢量的指向分布在空间中是各向同性的.图1未记录粒子位置，碰撞后两粒子远离质心系原点的方向不确定.随机从可能的方向中选取一个，且任何方向被选中的概率均等图2取两边各500个分子进行碰撞（质心速度为零），碰后分子远离质心速度方向分布为各向同性.2前后速度关系式的推导以及能量和动量守恒的证明2.1速度关系式基于这两个出发点，这里推导碰撞前后的速度关系式.设碰撞前，把两个粒子分别编号1、2.1和2的速度分别是：和(1)质心运动速度是：(2)1和2相对于质心的速度是：⑶v2cold=-v1cold⑷现在将这个矢量在质心系中的方向进行重新的分配：(程序中可以以原点为中心先生成一个立方体内均匀分布的点，而后在把在这个立方体内处于其内切球内的点选取出来，再把这些点作为矢量的失端，最后把这些矢量归一化)设这个随机单位矢量为⑸重新分配后1相对质心的速度的表达式：(6)根据动量守恒2相对质心的速度表达式是:v2cnew=-v1cnew⑺最终1和2碰撞后的速度表达式是：=vc+v1cnew(8)=vc+v2cnew⑼2.2能量守恒动量守恒的证明能量守恒的证明联立式(1)一式(9)得到1和2速度的分量表达式:(10)(11)(12)(13)所以得证能量守恒.动量守恒的证明(14)Pt=m+m=（15）3对随机过程的说明首先有必要对数值模拟过程进行说明.蒙特卡罗方法生成二维麦克斯韦分布的随机过程如下：［1］1） 首先初始化粒子的速率；2） 碰撞时，随机选取两个粒子；3） 随机选取两粒子碰撞前的速度方向夹角，计算质心速度；4） 随机选取相对于质心系的散射方向，碰撞，计算碰后的速率……最后生成分布.本文的模型与文献［1，2］-致，都是质点模型，所不同的是本文通过记录粒子碰撞的速度矢量，从而省去文献［1］中的第3）步.下面给出本文的具体数值模拟算法.1） 初始化所有粒子速度;生成各向同性随机分布的空间单位矢量，并排列成矩阵.2） 碰撞时随机选取两个粒子；3） 计算两个粒子的相对质心的速度；4） 顺序选取其中生成各向同性随机分布的空间单位矢量，其方向用来初始化选中的两个粒子相对质心的速度方向，而后计算两个粒子新的相对实验室坐标系的速度;如此迭代下去，达到热平衡的时候，也就是经过足够多次的蒙特卡罗计算，即可生成三维麦克斯韦分布.下面对文献［1］和本文方法等价性进行说明.本文的方法经过足够多次的迭代后（达到热平衡时），粒子的速度矢量的方向在空间的分布是各向同性的，随机选取两个粒子i和「在选择之前，它们的速度矢量的方向完全是随机的（图3）.那么从这个意义上说，它们之间的夹角也无从确认.但是有一点可以确认，那就是:取定一个粒子时，它有一个速度方向，再取一个粒子时，后者的速度方向矢量与前者的相对指向完全是随机的（因为所以粒子的速度矢量是空间中均匀分布的）.这便是文献［1］的蒙特卡罗方法生成二维麦克斯韦分布编程中步骤3）的思想.故迭代够多次后，本文模型与文献［1］中模型等价.且把文献［1］的模型推广到了三维.图3迭代后速度方向单位矢量的分布图图4单位球面上均匀分布的单位矢量的分布图（用于与图3进行对比）4拟合检验4.1拟合原理速度分布和速率分布的密度分布函数分别是：而正态分布的密度函数是所以麦克斯韦分布的各个方向速度分布与M=0的正态分布有相同的函数表达式，其中，（16）用normfit对x、y和z轴方向速度的计算机模拟数据进行正态分布N（p,a2）拟合.拟合时理论上口是0,但是由于涨落，口在拟合时会略大于eps（计算时能分辨的最小精度），这不与理论矛盾.把拟合出来的3个方向上的。做平均，得最终的另外，在数值模拟初始化过程中，对所有粒子有一个统计上的方均速率，这也对应这个系统的温度.由于这是一个孤立系统，且系统能量守恒，方均速率不会变，那么温度也不会变.把初始温度，作为理论预期温度（理论上，速率和速度概率密度分布函数中的T）.上述分布函数中m为0.029kg/N0是空气平均分子质量，kB为玻尔兹曼常量.把参数和kB代入密度分布函数，做出拟合曲线，与统计分布做对比，即得拟合结果4.2拟合结果图5三维麦克斯韦分布数值结果与同温度下的理论预期分布作对比（柱状图为数值结果，曲线为理论预期）图6三维麦克斯韦分布中x方向速度分布的数值结果与同温度下的理论预期分布作对比（柱状图为数值结果，曲线为理论预期）图7三维麦克斯韦分布中y方向速度分布的数值结果与同温度下的理论预期分布作对比（柱状图为数值结果，曲线为理论预期）图8三维麦克斯韦分布中z方向速度分布的数值结果与同温度下的理论预期分布作对比（柱状图为数值结果，曲线为理论预期）结果拟合度较好！这说明数值模拟结果从x、y和z方向的速度分布以及最终的三维的速率分布都符合理论预期.另外，我们还把初始温度与迭代后的温度进行了对比：（17）某次初始化时为T〃初温”=248.2580K（打引号因为此时系统未达热力学平衡，温度直接代表了此孤立系统的温度）；经过模拟以后通过拟合3个方向的平均速度分布得出的T末温=248.2652K;运行十次程序得到的〃初温”和末温的平均相对差距是n=4.2181x10-5.所以，生成的三维麦克斯韦分布的丁是符合能量守恒定律的，这也是微观上两体碰撞能量守恒的必要条件.到此，证明了生成的麦克斯韦分布与理论曲线的相似度极高，并再次证明了其迭代过程是符合能量守恒的.5平均速率检验麦克斯韦分布达到热平衡时的平均速率(18)而平均速率在初始化时和足够迭代次数以后会有很大的不同，原因是系统尚未达到热平衡.但验证平均速率是否随着迭代次数改变也是有必要的.验证：某次运行程序，用初温计算出的理论模拟后直接对速率平均后得到的某次运行10次程序得到的和相对差值的平均值为q1=9.2412x10-4.且也不随迭代次数改变.运行10次程序，得到10个的平均值和最初的相对差值的平均值为r|2=1.2501x10-4.另外0.9212与的比值(反映了平均速率与总能量的关系)满足某次运行程序10次过程中，直接平均得到的与用得到的平均比值为0.9212.总之，平均速率与总能量的关系在达到热平衡后在误差允许的范围内符合理论预期.平均速率在达到热平衡后其值在误差允许的范围内保持不变.所以此粒子随机碰撞模型的数值模拟结果与统计理论的预期符合较好，由此提出本文的结论:形成麦克斯韦分布的微观粒子碰撞散射可能遵循的统计规律：碰撞后两理想气体分子相对质心系的速度散射方向在空间中的统计分布是各向同性的.6总结与展望基于基本的理想气体模型，以及能量动量守恒定律，还有质心系质点速度散射的空间取向各向同性随机分布，导出了三维蒙特卡罗方法生成麦克斯韦分布的模型.用MATLAB平台生成了三维麦克斯韦分布，并进行了拟合检验，还把温度和平均速度这两个物理量进行了理论预期检验.此模型在检验中表现良好.提出了形成麦克斯韦分布的微观粒子的碰撞散射的可能遵循的统计规律：碰撞后两理想气体分子相对质心系的速度散射方向在空间中的统计分布是各向同性的.望对揭示麦克斯韦分布的物理原理有所帮助.致谢：感谢赵虎副教授和彭芳麟教授对本文发表给予的讨论和支持.【相关文献】彭芳麟.计算物