数学北师大版必修4导学案1.9三角函数的简单应用

§9三角函数的简单应用问题导学1．已知三角函数的模型解决实际问题活动与探究1如图所示，表示电流I(单位：安)与时间t(单位：秒)的关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中，t在任意一段eq\f(1,100)秒的时间内能同时取最大值A和最小值－A，那么正整数ω的最小值为多少？迁移与应用如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,2eq\r(3))；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°，求A，ω的值和M，P两点间的距离．这类问题的特点是三角函数的解析式结构已知，要求根据图像或性质首先求出待定的A，ω，φ，b的值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母的值是解题的关键．2．建立三角函数模型解决实际问题活动与探究2如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m?迁移与应用受日月的引力，海水会发生涨落．这种现象叫作潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t(时)03691215182124y(米)经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωt＋b的图像．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解决这类问题首先要建立坐标系，根据题意确定函数的解析式，然后再解决相关问题．3．三角函数的最值问题活动与探究3如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上．求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．(提示：sin2θ＋cos2θ＝1)迁移与应用如图，动点P在以AB＝4为直径的半圆上自A向B运动，设＝x，△ABP的面积为S，试把S表示成x的函数，并求当S取最大值时x的值．处理以三角形为模型的三角函数的实际应用问题的关键在于如何巧妙地引入角，使实际问题转化为三角函数问题．当堂检测1．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是()．A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零2．如图所示，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则()．A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝53．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()．A．60B．70C．80D．904．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是__________．5．一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止位置向下拉0.2m的距离，如图所示，此小球在t＝0时被放开并允许振动．如果此小球在1s后又回到这一位置．(1)求出描述此小球运动的一个函数关系式；(2)求当t＝6.5s时小球所在的位置．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】预习交流解：(1)当t＝0时，U＝110eq\r(3)(伏)，即开始时的电压为110eq\r(3)伏．(2)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)(秒)，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为220eq\r(3)伏．当100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即t＝eq\f(1,300)秒时第一次获得这个最大值．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1解：(1)由图已知A＝300，T＝eq\f(1,60)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＝eq\f(1,50)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π.又因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,150)，0))是“五点法”作图的第三个点，所以eq\f(1,150)×100π＋φ＝π.所以φ＝eq\f(π,3).所以I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))).(2)依题意有T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100).所以ω≥200π，又因为ω∈N＋，所以ω的最小正整数为629.迁移与应用解：依题意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x.当x＝4时，y＝2eq\r(3)sineq\f(2π,3)＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝eq\r(42＋32)＝5.活动与探究2解：(1)以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，设tmin时P距地面高度为y，依题意得又∵T＝3，∴ω＝eq\f(2π,3).由于起始位置在最低点处，则φ＝－eq\f(π,2).∴y＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))＋50.(2)令40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))＋50＞70，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))＞eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)＜eq\f(2π,3)t－eq\f(π,2)＜2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴2kπ＋eq\f(2π,3)＜eq\f(2π,3)t＜2kπ＋eq\f(4π,3)(k∈Z)，∴3k＋1＜t＜3k＋2.令k＝0，得1＜t＜2.因此，共有1minP点距离地面超过70m.迁移与应用解：(1)由已知数据作出散点图如下，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，所以y＝3sineq\f(πt,6)＋10，t∈[0,24]．(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，所以3sineq\f(πt,6)＋10≥11.5.所以sineq\f(πt,6)≥eq\f(1,2).解得2kπ＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)t≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．在同一天内，取k＝0或1，所以1≤t≤5或13≤t≤17.所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，它至多能在港内停留16小时．活动与探究3解：设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于点M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ，PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.故矩形PQCR的面积为S＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ)＋8100sinθcosθ.设sinθ＋cosθ＝t(1≤t≤eq\r(2))，则sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝t2，∴sinθcosθ＝eq\f(t2－1,2).∴S＝10000－9000t＋8100×eq\f(t2－1,2)＝4050eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(10,9)))2＋950.故当t＝eq\f(10,9)时，Smin＝950(m2)；当t＝eq\r(2)时，Smax＝14050－9000eq\r(2)(m2)．迁移与应用解：由弧长公式得∠AOP＝eq\f(x,2)(0＜x＜2π)，∴△ABP的面积是S＝2×eq\f(1,2)OA×OPsineq\f(x,2)＝2×eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(x,2)＝4sineq\f(x,2)，即S＝4sineq\f(x,2).当sineq\f(x,2)＝1，即eq\f(x,2)＝eq\f(π,2)，x＝π时，Smax＝4.【当堂检测】1．B2．A3．C4．[0,1]和[7,12]5．解：(1)取向上的位移为正，设在ts时小球相对于静止