高二数学人教A版2019选择性导学案1.3.1空间直角坐标系

1.3.1空间直角坐标系导学案学习目标1.了解空间直角坐标系的有关概念理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养；2.会根据坐标找相应的点和向量，学写一些简单几何体的有关坐标，发展数学运算和逻辑推理等素养;3.掌握空间向量及其运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养.重点难点重点：空间直角坐标系的建立和空间向量运算的坐标表示.难点：空间向量运算的坐标表示及其应用.课前预习自主梳理要点一空间直角坐标系1．概念：在空间选定一点O和一个基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为、以它们的长为建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做，i，j，k都叫做，通过每两个坐标轴的平面叫做，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．要点二空间向量的坐标表示1．点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点A的横坐标，叫做点A的纵坐标，叫做点A的竖坐标．2．向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作.思考：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？提示若点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标也为(x，y，z)．画空间直角坐标系时，一般使（或），．在空间直角坐标系中，让指向的正方向，食指指向的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．在单位下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的，叫做点的，叫做点的．自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定是的形式.()(2)空间直角坐标系中,在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是的形式.()(3)关于坐标平面Oyz对称的点其横坐标、纵坐标保持不变,角坐标相反.()(4)若点的坐标为,则.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)错误.空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定是的形式.(2)错误.空间直角坐标系中,在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是的形式.(3)错误.关于坐标平面Oyz对称的点其纵坐标、角坐标保持不变,横坐标相反.(4)正确.由点和向量坐标的概念可知正确.2.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误；对于C，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，设，解得，所以共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D正确.故选：D新课导学环节一：创设情境，引入课题问题1：在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因数有哪些？数轴上的点怎么表示？问题2：在初中，我们学过直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系的因素有哪些？决定平面直角坐标系有哪些？平面直角坐标系中的点怎样表示？我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成．利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．环节二：观察分析，感知概念知识点1空间直角坐标系问题3：空间直角坐标系该如何建立？类似地，在空间选定一点和一个单位正交基底（图）．以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分．环节三：抽象概括，形成概念问题4：在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中任意一点都可以用对应的有序实数组表示出来呢？探究在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？在空间直角坐标系中（图），，，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．环节四：辨析理解，深化概念在空间直角坐标系中，给定向量，作（图）．由空间向量基本定理，存在唯一的有序数组，使．有序数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作．这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示．符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分．问题5：建立空间直角坐标系后，空间中任意一点A如何用坐标表示呢？探究在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗？事实上，如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点，，．可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为，，，且．设点，和在轴、轴和轴上的坐标分别是，和，那么点（向量）的坐标为．环节五：课堂练习，巩固运用例1如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出，，，四点的坐标；（2）写出向量，，，的坐标．解：（1）点在轴上，且，所以．所以点的坐标是．同理，点的坐标是．点在轴、轴和轴上的射影分别为，，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．点在轴、轴和轴上的射影分别为，，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．（2）；；；．环节六:归纳总结，反思提升空间直角坐标系是如何建立的？空间直角坐标系,中点的坐标是如何确定的？空间直角坐标系中点的位置的确定方法是什么？环节七：目标检测，作业布置教材1819页：练习题。备选练习：1.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为A. B. C.(1,2,3) D. 【答案】C【解析】点关于平面对称的点的坐标与点的横坐标相反,故选.2.