北京市密云县高二上学期期末数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年北京市密云县高二(上）期末数学试卷（理科）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．命题p：∀x∈R，x≥0的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x＜0 B．￢p：∃x∈R,x≤0 C．￢p：∃x∈R，x＜0 D．￢p：∀x∈R，x≤02．已知向量=（2,3,1），=（1,2，0）,则|﹣|等于（）A．1 B． C．3 D．93．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断,则剪得两段的长度都不小于1米的概率是(）A． B． C． D．4．“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1,则输出t的值等于（）A．3 B．5 C．7 D．156．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（)A．至少有一个黑球 B．恰好一个黑球C．至多有一个红球 D．至少有一个红球7．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过F2作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P,Q两点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（）A．+2 B．+1 C． D．﹣18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F,G分别是线段B1B,AB和A1C上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G．给出下列结论：①对于任意给定的点E，存在点F,使得D1F⊥CE;②对于任意给定的点F，存在点E,使得CE⊥D1F；③对于任意给定的点E,存在点G，使得D1G⊥CE；④对于任意给定的点G，存在点E，使得CE⊥D1G．其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。9．某校高一年级三个班共有学生120名,这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0。2．则x=；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为．一班二班三班女生人数20xy男生人数2020z10．双曲线的离心率等于；渐近线方程为．11．执行如图所示的程序框图，输出的s值为．12．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．13．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K,如果|AF｜=|BF|，那么△AKF的面积是．14．平面内到定点F(0，1)和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点P（x，y）在曲线C上，则｜y|≤2；③若点P在曲线C上，则1≤｜PF｜≤4．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表:学生A1A2A3A4A5数学8991939597物理8789899293（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．16．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），［50，60），[60，70），[70，80），［80,90)，［90,100］进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图（如下)．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”,已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；(2）为分析学生平时的体育活动情况,现从体积成绩在[60,70）和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在［60,70)的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c,且分别在［70,80），［80，90），[90，100]三组中,其中a,b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）(注：s2=[（x)2+（x2﹣)2+…+（x）2］,其中为数据x1，x2，…,xn的平均数）17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ)求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ)若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证:AE⊥PF；(Ⅲ)若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．19．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ)求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明:OM⊥ON．20．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．(Ⅰ）若A,C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；（Ⅱ)设P为线段OB上一点，且｜OB｜=3|OP|,当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．

2016-2017学年北京市密云县高二（上）期末数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．命题p：∀x∈R,x≥0的否定是（)A．￢p：∀x∈R,x＜0 B．￢p：∃x∈R，x≤0 C．￢p：∃x∈R,x＜0 D．￢p:∀x∈R，x≤0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p:∃x∈R，x＜0，故选:C2．已知向量=(2,3，1）,=（1，2，0）,则｜﹣|等于（）A．1 B． C．3 D．9【考点】向量的模．【分析】先根据空间向量的减法运算法则求出﹣，然后利用向量模的公式求出所求即可．【解答】解：∵=(2,3，1）,=（1，2,0），∴﹣=(1，1,1)∴|﹣｜==3．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断,则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（)A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段,在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．故选：A．4．“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆"的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0,b＞0,曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆,不是椭圆,充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆,则a＞0,b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“a＞0，b＞0"是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件,故选:B．5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）A．3 B．5 C．7 D．15【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的t的值，当t的值不满足条件(t+2）（t﹣5）＜0时退出循环,输出即可得解．【解答】解:模拟执行程序,可得t=﹣1,不满足条件t＞0,t=0，满足条件（t+2）（t﹣5)＜0，不满足条件t＞0，t=1，满足条件(t+2）(t﹣5)＜0，满足条件t＞0，t=3,满足条件（t+2)（t﹣5)＜0，满足条件t＞0，t=7，不满足条件（t+2）（t﹣5)＜0，退出循环，输出t的值为7．故选：C．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（)A．至少有一个黑球 B．恰好一个黑球C．至多有一个红球 D．至少有一个红球【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件定义直接求解．【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，在A中，至少有一个黑球与事件恰有两个红球是对立事件，故A不成立；在B中,恰好一个黑球与事件恰有两个红球是互的事件,故B不成立；在C中,至多一个红球与事件恰有两个红球是对立事件，故C不成立;在D中，至少一个红球与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件，故D成立．故选:D．7．已知F1，F2是双曲线的两个焦点,过F2作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P,Q两点,若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于(）A．+2 B．+1 C． D．﹣1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件我们知道|PQ｜=，|F1F2｜=2c,｜QF1｜=,因为∠PF2Q=90°，则2（+4c2）=,据此可以推导出双曲线的离心率．【解答】解:由题意可知通径｜PQ|=,|F1F2|=2c，|QF1|=，∵∠PF2Q=90°，∴2（+4c2)=，∴b4=4a2c2∵c2=a2+b2，∴c4﹣6a2c2+a4=0,∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2或e2=3﹣2（舍去)∴e=+1．故选B．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段B1B，AB和A1C上的动点,观察直线CE与D1F,CE与D1G．给出下列结论：①对于任意给定的点E，存在点F，使得D1F⊥CE；②对于任意给定的点F，存在点E，使得CE⊥D1F；③对于任意给定的点E，存在点G，使得D1G⊥CE；④对于任意给定的点G，存在点E，使得CE⊥D1G．其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，分别分析选项,利用排除法能得出结论．【解答】解：①只有D1F⊥平面BCC1B1，即D1F⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点E，存在点F，使得D1F⊥CE，∵过D1点于平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1∥AB，∴①错误；②当点E与B1重合时，CE⊥AB，且CE⊥AD1，∴CE⊥平面ABD1，∵对于任意给定的点F，都有D1F⊂平面ABD1,∴对于任意给定的点F,存在点E，使得CE⊥D1F，∴②正确；③只有CE垂直D1G在平面BCC1B1中的射影时,D1G⊥CE，∴③正确；④只有CE⊥平面A1CD1时,④才正确，∵过C点的平面A1CD1的垂线与BB1无交点,∴④错误．故选:C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人,抽到二班女生的概率是0.2．则x=24；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生,则应在三班抽取的学生人数为9．一班二班三班女生人数20xy男生人数2020z【考点】分层抽样方法．【分析】由于每个个体被抽到的概率都相等，由=0.2，可得得x的值．先求出三班总人数为36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，求出每个学生被抽到的概率为,用三班总人数乘以此概率，即得所求．【解答】解:由题意可得=0。2，解得x=24．三班总人数为120﹣20﹣20﹣24﹣20=36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为=,故应从三班抽取的人数为36×=9，故答案为24；9．10．双曲线的离心率等于2;渐近线方程为y=x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】在双曲线的标准方程中,分别求出a，b，c，再由离心率和渐近线的定义进行求解．【解答】解：双曲线中，a=2,b=2,c==4，∴e===2．渐近线方程为:y=±=x．故答案为:2，y=x．11．执行如图所示的程序框图，输出的s值为．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=4时，不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得i=0,s=3满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体,i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为．故答案为:．12．在某次摸底考试中,随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图,若参加考试的共有4000人,那么分数在90分以上的人数约为2600人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为97.5．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图的性质求出分数在90分以上的频率，由此能求出分数在90分以上的人数，根据频率分布直方图能估计此次考试成绩的中位数．【解答】解：由频率分布直方图的性质得:分数在90分以上的频率为：1﹣（0.005+0.0125）×20=0。65，∴分数在90分以上的人数约为：0。65×4000=2600．由频率分布直方图知分数在90分以下的频率为（0.005+0.0125）×20=0.35，分数在[90，110)的频率为：0.02×20=0。4，∴根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为:90+=97。5．故答案为：2600,97。5．13．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果｜AF|=｜BF｜,那么△AKF的面积是4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得△AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得｜AK｜=4，根据正三角形的面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F(1,0），准线为l：x=﹣1，由抛物线的定义可得|AF｜=|AK｜，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2,则|AK|=4，△AKF的面积是×16=4．故答案为：4．14．平面内到定点F（0，1)和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论:①曲线C关于y轴对称；②若点P（x，y)在曲线C上,则|y｜≤2;③若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4．其中，所有正确结论的序号是①②③．【考点】轨迹方程．【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程,画出图象，即可判断选项的正误．【解答】解：设P(x，y）是曲线C上的任意一点,因为曲线C是平面内到定点F(0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，所以|PF|+｜y+1｜=4．即+|y+1｜=4，解得y≥﹣1时,y=2﹣x2，当y＜﹣1时，y=x2﹣2;显然①曲线C关于y轴对称；正确．②若点P（x,y）在曲线C上，则｜y｜≤2；正确．③若点P在曲线C上，｜PF｜+|y+1|=4，｜y|≤2，则1≤|PF｜≤4．正确．故答案为:①②③．三、解答题：本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：学生A1A2A3A4A5数学8991939597物理8789899293（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）结合图表，由平均值和方差的定义可得答案；（Ⅱ)列举可得5名学生中选2人包含基本事件有共10个，事件A包含基本事件有7个，由古典概型的公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：5名学生数学成绩的方差为:5名学生物理成绩的平均分为：5名学生物理成绩的方差为：因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以，估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定．（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A，5名学生中选2人包含基本事件有:A1A2,A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4,A2A5，A3A4，A3A5,A4A5,共10个．事件A包含基本事件有：A1A4,A1A5，A2A4，A2A5,A3A4,A3A5，A4A5，共7个。所以，5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为．16．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段［40，50），［50，60），[60，70）,［70，80),[80,90），［90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图（如下）．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在［60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率;（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b，c，且分别在［70,80），［80,90）,［90，100］三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明)（注:s2=[(x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）【考点】极差、方差与标准差;频率分布折线图、密度曲线；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生人数,由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．(3）当数据a,b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84,90或79，85,90．【解答】解：（1）由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，∴该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有：1000×=750人．（2)设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A,由题意，得P（A）=1﹣=1﹣，∴至少有1人体育成绩在[60,70）的概率是．(3）∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80,90），［90,100］三组中,其中a，b，c∈N，∴当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79,84，90或79，85，90．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE;（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空间直角坐标系C﹣xyz．则A，B1，E，A1,可得，,,可知，根据，，推断出AB1⊥CE，AB1⊥CA1,根据线面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，,进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz．A（2，0,0),B1(0，2，2），E（1,1，0）,A1（2，0，2），∴，，．又因为，，∴AB1⊥CE,AB1⊥CA1,AB1⊥平面A1CE．(Ⅱ）解：由(Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，,∴｜cos＜，＞|==．设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为．18．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．(Ⅰ）若F为BC中点，求证:EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；(Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于,求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．(Ⅱ）证明AE⊥平面PBC即可得AE⊥PF．（Ⅲ)如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0,0，2）,E（0,1,1），F（m，2，0）,求出平面AEF的一个法向量为,由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m,即可【解答】解：（Ⅰ）证明:在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，所以EF∥PC．…。.又因为EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，…．所以EF∥平面PAC．…。。(Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形,所以BC⊥AB．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．PA∩AB=A所以BC⊥平面PAB．….。由于AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE．由已知PA=AB，点E是PB的中点,所以AE⊥PB．….。又因为PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC．…..因为PF⊂平面PBC，所以AE⊥PF．….。(Ⅲ)如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0,0,0）,B(0，2,0），P(0，0,2）,E（0,1，1），F（m,2,0）．于是，．设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r）,由得取p=2，则