北京市房山区高三上学期期末数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年北京市房山区高三（上)期末数学试卷（文科）一、选择题（共8小题,每小题5分,满分40分）1．已知全集U=R，集合A={x｜x＜1}，则∁UA=（)A．(﹣∞，1] B．[1，+∞） C．R D．(1,+∞）2．抛物线y2=4x的焦点坐标是(）A．（1，0） B．（0,1） C．（2，0） D．(0，2）3．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin2x B．y=xcosx C．y= D．y=|x|4．已知向量=（,），=(0，1），则向量与夹角的大小为（）A． B． C． D．5．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm），则此几何体的体积是（）A．cm3 B．12cm3 C．14cm3 D．28cm36．“a3＞b3”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知点A（0，2），动点P（x，y）满足条件则|PA|的最小值是(）A．1 B．2 C． D．8．对于100个黑球和99个白球的任意排列（从左到右排成一行），则一定()A．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个D．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)9．复数z=（i是虚数单位）的实部是．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为4,则输出的y值为．11．某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从20岁至45岁的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25),第2组［25，30），第3组[30,35）,第4组［35,40），第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加消防演习活动，则从第4组中抽取的人数为．12．在△ABC中，a=3,c=，cosC=,则sinA=，若b＜a,则b=．13．已知直线l：x=2和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为．14．设函数f(x)=是(﹣∞，+∞)上的增函数，那么实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题,满分80分）15．设函数f（x）=(sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值,以及取得最大值时对应x的值．16．已知等比数列{an}中，a3=4，a6=32．（Ⅰ）求数列｛an}的通项公式；(Ⅱ）令bn=an﹣3n，求数列{bn}的前n项和．17．“双十一"网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可)；（Ⅱ)求甲送件数量的平均数;（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．18．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形,E,M分别是AD，PD中点，PE⊥BE,PA=PD=AD=2,AB=．（Ⅰ)求证：PB∥平面MAC；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求证:平面MAC⊥平面PBE．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax(a＞0）．(Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x)在点（1,f(1））处的切线方程；(Ⅱ）求函数f（x)的单调区间；（Ⅲ）如果f（x)≤0,在(0，4]上恒成立，求a的取值范围．20．已知两定点F1（﹣2,0)，F2(2，0），曲线C上的动点M满足｜MF1|+|MF2｜=8,直线MF2与曲线C的另一个交点为P．（Ⅰ）求曲线C的标准方程;（Ⅱ）设点N（﹣4，0),若S：S=3:2，求直线MN的方程．

2016-2017学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题5分，满分40分)1．已知全集U=R,集合A=｛x｜x＜1｝，则∁UA=（）A．（﹣∞，1] B．[1,+∞） C．R D．（1，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出集合A的补集即可．【解答】解:全集U=R，集合A=｛x|x＜1}，则∁UA=｛x|x≥1}=［1，+∞）．故选：B．2．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（1，0） B．(0，1） C．（2，0） D．(0，2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=2px的焦点坐标为(，0），即有p=2,即可得到焦点坐标．【解答】解：由抛物线y2=2px的焦点坐标为（,0），即有抛物线y2=4x的2p=4，即p=2，则焦点坐标为（1,0）,故选:A．3．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin2x B．y=xcosx C．y= D．y=｜x|【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义，即可得出结论．【解答】解：对于A，D，满足f(﹣x）=f（x），函数是偶函数；对于B，满足f(﹣x)=﹣f(x），函数是奇函数；对于C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数．故选B．4．已知向量=(,），=（0，1)，则向量与夹角的大小为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的坐标表示,可得•，再由向量的夹角公式可得cos＜，＞=，计算即可得到所求值．【解答】解：向量=(，）,=（0，1),可得•=×0+×1=，cos＜,＞===,由0＜＜,＞＜π，即有向量与夹角的大小为．故选：C．5．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积是（）A．cm3 B．12cm3 C．14cm3 D．28cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．【解答】解：几何体为四棱锥与正方体的组合体，V正方体=2×2×2=8cm3；V四棱锥=×2×2×1=cm3,∴V=8+=cm3．故选A．6．“a3＞b3”是“a＞b”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由“a3＞b3”推出“a＞b”，是充分条件，由"a＞b“推出“a3＞b3”，是必要条件，故选：C．7．已知点A(0，2），动点P(x，y）满足条件则|PA｜的最小值是（）A．1 B．2 C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由图象可知点A到直线y=2x的距离最小，此时d==，即|PA|的最小值为,故选：D．8．对于100个黑球和99个白球的任意排列（从左到右排成一行）,则一定（）A．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多C．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个D．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理．【分析】100个黑球和99个白球,99为奇数,100为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：99为奇数，100为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B．二、填空题（共6小题,每小题5分，满分30分）9．复数z=（i是虚数单位）的实部是1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=（i是虚数单位）的实部是：1．故答案为：1．10．执行如图所示的程序框图,若输入的x值为4,则输出的y值为2．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出y=的值，根据x的取值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由于x=4＞1,可得：y=log24=2，则输出的y值为2．故答案为：2．11．某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从20岁至45岁的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25），第2组[25，30）,第3组［30，35)，第4组［35,40），第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加消防演习活动,则从第4组中抽取的人数为4．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出第4组的频率，再用分层抽样原理求出抽取20名时在第4组中抽取的人数．【解答】解：由题意可知第4组的频率为0.04×5=0。2，利用分层抽样的方法在100名志愿者中抽取20名，第4组中抽取的人数为20×0.2=4．故答案为：4．12．在△ABC中，a=3，c=，cosC=，则sinA=,若b＜a，则b=3．【考点】正弦定理．【分析】由同角三角函数基本关系式可求sinC，由正弦定理可得sinA，可求cosA=±,分类讨论，当cosA=时，可求cosB=﹣＜0，与b＜a，B为锐角，矛盾，舍去，从而利用两角和的余弦函数公式可求cosB,求得sinB,利用由正弦定理可得b的值．【解答】解：∵a=3，c=，cosC=，∴sinC==，∴由正弦定理可得：sinA===,可得:cosA==±，∴当cosA=时,cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣×=﹣＜0，由于b＜a，B为锐角，矛盾，舍去,∴cosA=﹣，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣（﹣）×=，可得：sinB==,∴由正弦定理可得：b===3．故答案为：，3．13．已知直线l:x=2和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为1．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径,求出圆心到已知直线的距离，即可得出结论．【解答】解：圆方程变形得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2,即圆心（1,1），半径r=，∴圆心到直线x=2的距离d=1＜，r﹣d＜1∴圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为2，故答案为2．14．设函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数k的取值范围为（﹣∞,﹣1]∪[1,2]．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的解析式、一元二次函数的单调性、函数单调性的性质，列出不等式组，求出实数k的取值范围．【解答】解:∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得k≤﹣1或1≤k≤2,则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]，故答案为:(﹣∞,﹣1]∪[1，2］．三、解答题(共6小题，满分80分）15．设函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期;（Ⅱ）求f（x）在[0，］上的最大值，以及取得最大值时对应x的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化函数f（x)为正弦型函数,根据T=求出f（x)的最小正周期；（Ⅱ）可求x∈[0,］时sin（2x﹣）的取值范围，求出x=时f（x）取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x)=（sinx+cosx）2﹣cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1,∴f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）当x∈［0，］时，2x﹣∈[﹣，］，sin（2x﹣）∈［﹣，1];∴当x=时,f(x）=2sin（2×﹣）+1=3取得最大值．16．已知等比数列｛an}中，a3=4,a6=32．(Ⅰ）求数列{an｝的通项公式；（Ⅱ)令bn=an﹣3n，求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I)利用等比数列的通项公式即可得出．(II）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列｛an}的公比为q，∵a3=4,a6=32，∴=4，=32，解得a1=1，q=2．∴an=2n﹣1．（II)bn=an﹣3n=2n﹣1﹣3n，∴数列｛bn}的前n项和=﹣3×=2n﹣1﹣．17．“双十一”网购狂欢,快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可)；（Ⅱ）求甲送件数量的平均数；（Ⅲ)从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图知甲快递员11月12日到18日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多,由此能求出结果．（Ⅱ）利用茎叶图能求出甲送件数量的平均数．（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是抽取的2个送件量都不大于254，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．【解答】解：（Ⅰ)由茎叶图知甲快递员11月12日到18日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多，∴乙快递员的平均送件数量较多．(Ⅱ）甲送件数量的平均数：==254．(Ⅲ)从乙送件数量中随机抽取2个，基本事件总数n==21，至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是抽取的2个送件量都不大于254，∴至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率：p=1﹣=．18．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形,E，M分别是AD，PD中点，PE⊥BE,PA=PD=AD=2，AB=．(Ⅰ）求证：PB∥平面MAC；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD;（Ⅲ）求证：平面MAC⊥平面PBE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】(Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OE，则OM∥PB，利用线面平行的判定定理证明:PB∥平面MAC；（Ⅱ）证明PE⊥AD,利用PE⊥BE，BE∩AD=E，证明：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ)证明AC⊥平面PBE，即可证明：平面MAC⊥平面PBE．【解答】（Ⅰ）连接BD，交AC于O,连接OE，则OM∥PB,∵PB⊄平面MAC，OM⊂平面MAC，∴PB∥平面MAC；（Ⅱ）∵PA=PD，E是AD的中点,∴PE⊥AD,∵PE⊥BE，BE∩AD=E，∴PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）∵PE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PE,∵AD=2，AB=，四边形ABCD是矩形，E是AD中点,∴△ABE∽△DAC，∴∠ABE=∠DAC,∴AC⊥BE，∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PBE,∵AC⊂平面MAC，∴平面MAC⊥平面PBE．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0)．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x)的单调区间；(Ⅲ)如果f(x)≤0，在（0,4]上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f(1)，f′（1)的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）问题转化为a≥在（0，4]恒成立,根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：(Ⅰ)a=1时，f（x）=lnx﹣x,f′（x)=﹣1=，故f(1）=﹣1，f′（1)=0，故切线方程是：y+1=0，即y=﹣1；（II）f′(x)=﹣a=,（x＞0)①当a≤0时，由于x＞0，得：1﹣ax＞0,f′（x)＞0，所以f（x)的单调递增区间为（0，+∞），②当a＞0时，f′（x）=0，得x=，在区间（0，）上,f′(x）＞0，在区间（，+∞）上,f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，),单调递减区间为（,+∞）；（III）如果f（x)≤0在(0,4］上恒成立，即