第二讲命题及其关系充分条件与必要条件

第1页，课件共41页，创作于2023年2月教材知识整合回归教材第2页，课件共41页，创作于2023年2月1.四种命题一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,则四种命题的形式就是:原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p否命题:若¬p,则¬q逆否命题:若¬q,则¬p原命题与它的逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假.第3页，课件共41页，创作于2023年2月2.充要条件若"p⇒q",则p是q的充分条件;若q⇒p,则p是q的必要条件;若p⇒q且q⇏

p,则p是q的充分不必要条件;若q⇒p且p⇏

q,则p是q的必要不充分条件;若p⇔q,则p是q的充要条件;若p⇏

q且q⇏

p,则p是q的既不充分也不必要条件.第4页，课件共41页，创作于2023年2月基础自测1.(2010·陕西文数)“a>0”是“|a|>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:本题考查充要条件的判断∵a>0⇒|a|>0,|a|>0⇏

a>0,∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.答案:A第5页，课件共41页，创作于2023年2月2.(2010·山东文数)设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C第6页，课件共41页，创作于2023年2月3.(2010·四川)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于x=1对称的充要条件是()A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1答案:A第7页，课件共41页，创作于2023年2月4.(2010·广东)“m<

”是一元二次方程x2+x+m=0有实数解的()A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件解析:一元二次方程x2+x+m=0有实数解∴Δ=1-4m≥0∴m≤

由m<

⇒m≤

,反之不成立,故选A.答案:A第8页，课件共41页，创作于2023年2月5.(2010·天津)命题"若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数"的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数答案:B第9页，课件共41页，创作于2023年2月重点难点突破第10页，课件共41页，创作于2023年2月题型一 四种命题的关系【例1】写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题,并判断这些命题的真假.(1)若ab≤0,则a≤0或b≤0;(2)若x2+y2=0,则x､y全为0;(3)若q>1,则方程x2+2x+q=0有实根.第11页，课件共41页，创作于2023年2月

[解](1)原命题为真.逆命题:若a≤0或b≤0,则ab≤0.为假.否命题:若ab>0,则a>0且b>0.为假.逆否命题:若a>0且b>0,则ab>0.为真.第12页，课件共41页，创作于2023年2月(2)原命题为真.逆命题:若x､y全为0,则x2+y2=0.为真.否命题:若x2+y2≠0,则x､y不全为0.为真.逆否命题:若x､y不全为0,则x2+y2≠0.为真.(3)原命题为假.逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q>1.为假.否命题:若q≤1,则方程x2+2x+q=0没有实根.为假.逆否命题:若方程x2+2x+q=0没有实根,则q≤1.为假.第13页，课件共41页，创作于2023年2月[点评](1)写出一个命题的逆命题､否命题､逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论;(2)在判断原命题及其逆命题,否命题和逆否命题真假时,要灵活应用“原命题与逆否命题同真同假;否命题与逆命题同真同假”.

第14页，课件共41页，创作于2023年2月变式1:有三个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;(2)“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;(3)“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题.其中真命题的个数为________.第15页，课件共41页，创作于2023年2月解析:(1)的逆命题为"若x,y互为相反数,则x+y=0"是真命题.(2)原命题是假命题,所以逆否命题为假命题.(3)的逆命题为"若x2+x-6>0,则x≤-3",是假命题.又逆命题与否命题是等价命题,故否命题为假命题.答案:1个第16页，课件共41页，创作于2023年2月题型二 充要条件的判定【例2】①(2010•上海文数)“x=2kπ+

(k∈Z)”是“tanx=1”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A第17页，课件共41页，创作于2023年2月②(2010·北京理数)a､b为非零向量.“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)•(xb-a)为一次函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案]B第18页，课件共41页，创作于2023年2月第19页，课件共41页，创作于2023年2月②函数f(x)=x2a•b-(a2-b2)x-a•b当函数f(x)是一次函数时必然要求a•b=0,即a⊥b反过来,当a⊥b时且|a|=|b|时,f(x)不是一次函数,∴a⊥b是f(x)是一次函数的必要不充分条件.故选B.第20页，课件共41页，创作于2023年2月[点评]判断充分必要条件时,一是要分清命题的条件和结论,二是要从两个方向上判断条件⇒结论与结论⇒条件是否成立.第21页，课件共41页，创作于2023年2月变式2:设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵m,n

α,∴l⊥α⇒l⊥m且l⊥n,反之由l⊥m且l⊥n,当m∥n时,不能推出l⊥α,故选A.答案:A第22页，课件共41页，创作于2023年2月题型三 充要条件的应用【例3】设A={x∈R|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},则命题C⊆B的充要条件是什么?第23页，课件共41页，创作于2023年2月[解]∵A={x∈R|-2≤x≤a},∴B={y|-1≤y≤2a+3}.当-2≤a<0时,C={z|a2≤z≤4};当0≤a≤2时,C={z|0≤z≤4};当a>2时,C={z|0≤z≤a2}.∴当-2≤a≤2时,C⊆B⇔4≤2a+3⇔

≤a≤2;

当a>2时,C⊆B⇔a2≤2a+3⇔2<a≤3.综上可知,所求的充要条件是

≤a≤3.第24页，课件共41页，创作于2023年2月变式3:已知p ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非p是非q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.第25页，课件共41页，创作于2023年2月第26页，课件共41页，创作于2023年2月解题方法拾遗【例4】“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第27页，课件共41页，创作于2023年2月[解析]当a=1时,f(x)=|x-1|在区间[1,+∞)上为增函数,而函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上是增函数,得出a≤1,因此“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.故选A.[答案]A

第28页，课件共41页，创作于2023年2月【例5】设全集为U,在下列条件中,(1)A∪B=A;(2)(∁UA)∩B=∅;(3)∁UA⊆∁UB;(4)A∪∁UB=U能作为B⊆A的充要条件的有________.(把正确的序号都填上).第29页，课件共41页，创作于2023年2月[解析]利用韦恩图解答,作韦恩图,如图所示.(1)A∪B=A⇔B⊆A.(2)(∁UA)∩B=∅⇔B⊆A.(3)∁UA⊆∁UB⇔B⊆A.(4)∵A∪∁UB=U⇔∁UA⊆∁UB.∴A∪∁UB=U是B⊆A的充要条件.[答案](1)(2)(3)(4)

第30页，课件共41页，创作于2023年2月[点评]判断充要条件的方法(1)定义法:若p⇔q,则p是q的充要条件.(2)逆否法:若证非p是非q的充要条件,只需证明q是p的充要条件.(3)集合法:从集合的观点出发,建立命题p和q相应的集合,A={x|p(x)},B={x|q(x)}.①若A⊆B,则p是q的充分条件.②若B⊆A,p是q的必要条件.③若A=B,则p是q的充要条件.第31页，课件共41页，创作于2023年2月考向精测1.若a>0,b>0,且a≠1,则logab>0是(a-1)(b-1)>0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C第32页，课件共41页，创作于2023年2月2.下列命题错误的是()A.命题"若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根"的逆否命题为:"若方程x2+x-m=0无实数根,则m≤0"B."x=1"是"x2-3x+2=0”的充分不必要条件C.若p∧q为假命题,则p､q均为假命题D.y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件是φ=kπ+

(k∈Z)答案:C第33页，课件共41页，创作于2023年2月教师备课资源1.指出下列命题中,p是q的什么条件(在"充分不必要条件"､"必要不充分条件"､"充要条件"､"既不充分也不必要条件"中选出一种作答).(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;(2)对于实数x､y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;(3)非空集合A､B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;(4)已知x､y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.第34页，课件共41页，创作于2023年2月解:(1)在△ABC中,∠A=∠B⇒sinA=sinB,反之,若sinA=sinB,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知,¬p:x+y=8,¬q:x=2且y=6,显然¬q⇒¬p,但¬p⇏

¬q,即¬q是¬p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p⇒q但q⇏

p,故p是q的充分不必要条件.第35页，课件共41页，创作于2023年2月2.现有命题:若c>b,且f(x)在两个区间[a,b],[c,d]上都是增函数,则f(x)在区间[a,b]∪[c,d]上是增函数,若认为该命题为真,请给出证明.若认为该命题为假,请对原命题予以补充条件(不允许变更原命题的内容､不允许举反例)使原命题成立,请先写出补充条件,然后证明给出的真命题.第36页，课件共41页，创作于2023年2月解:原命题为假命题.需补充的条件:f(c)>f(b).证明:任取x1,x2∈[a,b]∪[c,d],且x1<x2.(1)若x