第05课基本不等式（学案）（原卷版）

第05课基本不等式2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案考试要求：1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际生活中的应用．一、【考点逐点突破】【考点1】基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)【典例】(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B．ab≤eq\f(a2＋b2,2)C.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2D.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)【考点2】a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.【典例】已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是()A．a＋b<eq\f(4ab,a＋b)B.eq\r(ab)<eq\f(2ab,a＋b)C.eq\r(2a2＋2b2)<2eq\r(ab)D．a＋b<eq\r(2a2＋2b2)【考点3】ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.【典例】若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________．【考点4】已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).【典例】已知x＞2，则x＋eq\f(1,x－2)的最小值是()A.1 B.2 eq\r(2) 【考点5】已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.【典例】若x>0，y>0，且x＋y＝18，则eq\r(xy)的最大值为()A.9 B.18 C.36 【考点6】ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).【典例】若a＞0，b＞0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A.8 B.6 C.4 【考点7】在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.【典例】已知a，b，c都是非负实数，求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).【考点8】配凑法求最值【典例】已知函数y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝()A．9 B．7C．5 D．3【考点9】常数代换法求最值【典例】已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))的最小值为________．【考点10】消元法求最值【典例】设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0 B．eq\f(9,8)C．2 D．eq\f(9,4)【考点11】平方后再使用基本不等式【典例】若x>0，y>0，且2x2＋eq\f(y2,3)＝8，求xeq\r(6＋2y2)的最大值．【考点12】形如eq\f(f（x）,g（x）)型函数变形后使用基本不等式【典例】求函数y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x≠－1)的值域．【考点13】基本不等式与解析几何知识【典例】已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b)在直线x＋y＋c＝2上，则eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)的最小值为________．【考点14】基本不等式求参数范围问题【典例】已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.2 B.4 C.6 【考点15】基本不等式与三角函数知识【典例】若△ABC的内角满足3sinA＝sinB＋sinC，则cosA的最小值是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,9) C.eq\f(1,3) D.eq\f(5,9)【考点16】基本不等式的实际应用【典例】为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6 B.12 C.18 二、【考点教材拓广】【典例1】【教材第49页第7题】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于【典例2】【教材第49页第8题】设矩形ABCDAB>AD的周长为24 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P.设AB=x cm,求三、【考点真题回归】【典例1】【2020·天津卷】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值为__________.【典例2】【2020·新高考卷Ⅰ】(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)【典例3】【2020·江苏卷】已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.【典例4】【2023·襄阳模拟】若实数x>1，y>eq\f(1,2)且x＋2y＝3，则eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)的最小值为________．【典例5】【2023·浙南名校联盟联考】已知命题p：a>b>0，命题q：eq\f(a2＋b2,2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【典例6】【2021·新高考全国Ⅰ】已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13B．12C．9D．6【典例7】【2023·苏州模拟】若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))取得最小值时x的值为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,3)【典例8】【2022上海】为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部