复变函数总复习资料名师优质课获奖市赛课一等奖课件

复数基本概念和运算1、复数z=x+iy或z=x+yi注意：(1)2个复数不能比较大小;(2)当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。第1页12、复数表示直角坐标：z=x+iy复平面与直角坐标平面上点一一对应向量表示模幅角三角表示：指数表示：0xyOxyqPz=x+iy|z|=rz=0时辐角不确定第2页2辐角主值公式：2341xy第3页33、复数运算加法、减法：乘法:除法:运算法则:z1+z2=z2+z1

z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z3第4页4乘积：

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]于是 :|z1z2|=|z1||z2| Arg(z1z2)=Argz1+Argz2模相乘；辐角相加。商：

模相除；辐角相减幂：根：注意根多值性！第5页5区域：平面点集D称为区域,必须满足以下两个条件：1）D是一个开集。2）D是连通。不连通单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内部总属于B，称B为单连通区域。多连通域：不满足单连通域条件区域。单连通域多连通域区域概念第6页6复变函数w=f(z),

z=x+iy,w=u(x,y)+iv(x,y)单值函数：z一个值对应一个w值。多值函数：z一个值对应两个或以上w值。反函数：z=g(w)复变函数极限、连续性、可导、解析性判定第7页71、极限定理一：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0条定理二：第8页82、连续性复平面内，以下各式连续：项第9页93、导数定义在区域D内，称可导第10页10z0点：区域D：4、解析使分母为零点是它奇点。第11页11主要定理：函数解析条件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程第12页12高层中层低层第13页13初等函数第14页14多值！性质:第15页15乘幂第16页16幂函数幂函数解析性各分支在除去原点和负实轴复平面内是解析:各分支在除去原点和负实轴复平面内是解析:第17页174.三角函数第18页18第三章复变函数积分习题3-8(1)第19页19CC1习题3-7(8)、3-9(1)第20页20三、积分性质复积分与实变函数定积分有类似性质.估值不等式第21页211、调和函数定义四、解析函数与调和函数关系2、解析函数和调和函数关系定理：任何在区域D内解析函数,它实部和虚部都是D

内调和函数，即有：第22页223、共轭调和函数区域D内解析函数虚部为实部共轭调和函数.4、偏积分法和不定积分法求解析函数（简单了解即可）假如已知一个调和函数u,利用柯西－黎曼方程求得它共轭调和函数v,从而组成一个解析函数u+vi方法称为偏积分法.第23页23一、复数项级数一些基本概念1、复数列收敛充要条件:同时收敛.2、复级数:收敛充要条件:同时收敛.3、复级数绝对收敛:绝对收敛充要条件:同时绝对收敛.第四章级数第24页24

收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发散,圆上不定.1、收敛定理：(阿贝尔Abel定理)假如级数在收敛,那么对满足z,级数必绝对收敛,假如在级数发散,那么对满足z,级数必发散。二、幂级数：幂级数收敛半径情况有三种:(1)对全部正实数都收敛.级数在复平面内处处绝对收敛:(2)对全部正实数除z=0外都发散.级数在复平面内除原点外处处发散:比如,级数(3)既存在使级数发散正实数,也存在使级数收敛正实数.级数在收敛圆内处处绝对收敛第25页252、收敛半径求法:假如:3、性质:和函数在收敛圆内:

解析,可逐项求导,可逐项积分.

习题4-6第26页264、幂级数运算和性质(1)幂级数有理运算(2)幂级数代换(复合)运算假如当时,又设在内解析且满足那么当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.习题4-11第27页27答案:幂级数收敛范围是何区域?问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出普通结论,要对详细级数进行详细分析.答案：问题2:幂级数在收敛圆周上敛散性怎样?相关幂级数两个关键问题：第28页28三、泰勒级数:定理:在以为中心圆域内解析函数f(z)，能够在该圆域内展开成幂级数。

泰勒级数展开式求法:直接法,间接法.第29页29常见函数泰勒展开式第30页30四、洛朗级数：洛朗级数展开式求法:1.直接法2.间接法在计算闭路积分中应用：令n=-1,得或习题4-16(2)第31页31第五章留数第32页32零点与极