数学归纳法典型例题省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件

数学归纳法是用来证实一些与

相关数学命题一个方法．基本步骤：①证实：当

时，命题成立；②假设

时命题成立，证实：当

时，命题成立．依据①②能够断定命题对一切正整数n≥n0都成立．

数学归纳法部分1．数学归纳法正整数2．数学归纳法证实步骤n＝n0n＝k(k≥n0)n＝k＋1第1页1.说明：归纳法是一个推理方法，数学归纳法是一个证实方法．归纳法帮助我们提出猜测，而数学归纳法作用是证实猜测．“观察——猜测——证实”是解答与正整数相关命题有效路径．第2页利用数学归纳法证实命题范围比较广泛，能够涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所包括题型主要有以下几个方面：(1)已知数列递推公式，求通项或前n项和；(2)由一些恒等式、不等式改编探究性问题，求使命题成立参数值或范围；(3)猜测并证实对正整数n都成立普通性命题．2.数学归纳法主要应用第3页(1)用数学归纳法证实对象是与正整数n相关命题．(2)在用数学归纳法证实中，两个基本步骤缺一不可．3．应用数学归纳法注意事项第4页【例1】用数学归纳法证实：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋

1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．

．题型一恒等式问题第5页

(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．依据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．证实第6页

用数学归纳法证实与正整数相关等式命题时，关键在于“先看项”，搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，项多少与n取值是否相关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．难点在于寻找n＝k时和n＝k＋1时等式联络．第7页第8页第9页第10页【例2】几个半圆圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l同侧，求证这些半圆被全部交点最多分成圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．题型二几何问题第11页第12页

用数学归纳法证实几何问题关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证实几何命题一大技巧．第13页第14页第15页

题型三不等式问题第16页第17页第18页第19页第20页【例4】

(12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，

bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}通项公式，并证实你结论． 归纳——猜测——证实是高考重点考查内容之一，这类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，经过观察、分析、归纳、猜测，探索出普通规律．题型四“归纳、猜测、证实”问题审题指导第21页第22页第23页【题后反思】对于已知递推公式求通项公式，能够把递推公式变形转化成我们熟悉知识来处理，当用上述方法不能处理问题时，惯用归纳、猜测和证实方法来处理问题，用该法要求计算准确，归纳、猜测正确．然后用数学归纳法证实猜测对任何自然数都成立．第24页【训练4】设数列{an}满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜测出an一个通项公式；

(2)当a1≥3时，证实对全部n≥1，有an≥n＋2.(3)在（2）前提下，证实：第25页(2)证实①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1)时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①②可知，对n≥1，都有an≥n＋2.（3）证实（略）学生证自己证第26页【示例】当n为正奇数时，7n＋1能否被8整除？若能，用数学归纳法证实；若不能，请举出反例．

[错解](1)当n＝1时，7＋1＝8能被8整除．命题成立．

(2)假设当n＝k时命题成立，即7k＋1能被8整除．则当n＝k＋1

时，7k＋1＋1＝7(7k＋1)－6不能被8整除．由(1)和(2)知，n为正奇数时，7n＋1不能被8整除．题型五整除问题第27页

不要机械套用数学归纳法中两个步骤，而忽略了n是正奇数条件．证实前要看准已知条件．[正解](1)当n＝1时，7＋1＝8能被8整除，命题成立；(2)假设当n＝k时命题成立，即7k＋1能被8整除，则当n＝k＋2时，7k＋2＋1＝72(7k＋1)＋1－72＝49(7k＋1)－48，因为7k＋1能被8整除，且48能被8整除，所以7k＋2＋1