线性方程组(ch2.3)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

§2.3向量间线性关系一、向量线性组合1、引例：向量与方程组设线性方程组矩阵形式为AX=β,其中第1页9/16/20231集美大学理学院即存在x1=k1,x2=k2,…,xn

=kn使得β=k1α1+k2α2+…+knαn,也即β可表成

α

1,

α

2,…,

α

n线性关系式或线性组合。则称向量β可由向量组线性表示（出）.若存在一组数定义2.8

对给定向量使得表示式成立。或向量β是向量组线性组合.方程组有解成立.

R(A)=R(A)成立.第2页9/16/20232集美大学理学院例1令，其中第个分量为1，其余分量为零，。则任一个维向量都可由向量组线性表示，例2零向量都可由任一向量组线性表示，而且有且有.例3向量组中任一向量都可由该向量组线性表示，而且有第3页9/16/20233集美大学理学院定理设则可由线性表示充分必要条件是：线有解，而且这个线性方程组每个解都可取作线性组合系数。性方程组：表成2、可线性表示充分必要条件第4页9/16/20234集美大学理学院证：β可由向量组线性表示充分必要条件是存在数x1,x2,…,xn

使得第5页9/16/20235集美大学理学院可由向量组则向量线性表示充分定理设必要条件是:以为列向量矩阵与以为列向量矩阵有相同秩。注：判断向量β能否由向量组线性表示问题,能够转化为判断线性方程组是否有解问题.

第6页9/16/20236集美大学理学院解考虑即非齐次线性方程组对方程组增广矩阵进行行初等变换,得第7页9/16/20237集美大学理学院方程组有唯一解:第8页9/16/20238集美大学理学院解例2试问以下向量b能否由其余向量线性表示?若能,写出线性表示式:

第9页9/16/20239集美大学理学院对矩阵进行行初等变换,得第10页9/16/202310集美大学理学院继续用行初等变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得第11页9/16/202311集美大学理学院这是无穷各种表示式之中一个.第12页9/16/202312集美大学理学院练习：答案：第13页9/16/202313集美大学理学院线性方程组

若令则方程组可写为向量方程二、线性相关与线性无关第14页9/16/202314集美大学理学院

对向量组,若存在不全为零实数使得则称线性相关;不然称为线性无关,即

当且仅当时上式成立,则称线性无关.定义例：设α

1=(1,0,0),α

2=(0,1,0),α

3=(0,0,1)，α

4=(2,-1,0),

则2α

1

-α

2-α

4=0，故α

1,α

2,α

4线性

相关。而α

1,α

2,α

3线性无关。1、定义第15页9/16/202315集美大学理学院有非零解。定理设则向量组线性相关充分必要条件是:线性方程组：2、线性相关性判定第16页9/16/202316集美大学理学院

必要条件是：以为列向量矩阵秩小于向量个数n。

定理设m维列向量组其中则向量组线性相关充分第17页9/16/202317集美大学理学院①m维列向量组α

1,α

2,…,α

n，线性无关充要条件是：以α

1,α

2,…,α

n为列向量矩阵秩等于向量个数n。注：⑤②

n维列向量组α

1,α

2,…,α

n，线性相关充要条件是：

以α

1,α

2,…,α

n为列向量矩阵A秩小于向量个数n。也即|A|=0.③n维列向量组α

1,α

2,…,α

n，线性无关充要条件是：

以α

1,α

2,…,α

n为列向量矩阵A秩等于向量个数n。也即|A|≠0.④当向量组中所含向量个数大于向量维数时，此向量组线性相关。第18页9/16/202318集美大学理学院例1含有零向量向量组必线性相关。对向量组有是线性无关。维向量，则向量组线性相关。例3例4单个向量线性相关（无关）当且仅当向量（非零向量）。为零维向量组例2第19页9/16/202319集美大学理学院解令矩阵第20页9/16/202320集美大学理学院另一解法第21页9/16/202321集美大学理学院

例6判断向量组是否线性相关?

解令矩阵第22页9/16/202322集美大学理学院

解令矩阵第23页9/16/202323集美大学理学院当即且且时，当或第24页9/16/202324集美大学理学院另一解法

所以当即且时，因为，当或第25页9/16/202325集美大学理学院

例8

设线性无关,试讨论线性相关性.

解:设整理得由线性无关得即当且仅当时(*)式成立,所以,向量组线性无关.第26页9/16/202326集美大学理学院该定理逆否命题为：

若一个向量组线性无关，则其任一部分组也线性无关。

部分相关,则整体相关.整体无关,则部分无关.则存在不全为零实数使得显然，成立，即线性相关.定理

假如一个向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则整个向量组线性相关.设中部分组线性相证关，第27页9/16/202327集美大学理学院(1)线性无关;(2)线性相关;练习：答案：第28页9/16/202328集美大学理学院三、线性相关与线性表示关系推论

向量组线性无关其中任一向量都不能由其它向量线性表示.第29页9/16/202329集美大学理学院设是其余s-1个向量线性组合,则存在一

显然,即:线性相关.设线性相关,则存在不全为零数使得不妨设则即:可由线性表示.(2)证(1)显然.组数使得第30页9/16/202330集美大学理学院则，不然有：线性无关，而向量组线性相关，则可由向量组线性表示且表示法唯一。定理

若向量组证：因为向量组线性相关，所以存在不全为零数，使得：，再由线性无关得第31页9/16/202331集美大学理学院即可由向量组线性表示。再证表示法唯一，设有两种表示法：则有与不全为零矛盾。所以，从而有第32页9/16/202332集美大学理学院所以

故

可由向量组

线性表示且表示法唯一。

由线性无关得:中

个向量则

中任一向量

可由

表示法唯一。