第04讲直线与圆圆与圆的位置关系（解析卷）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系【考试要求】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d>rd＝rd<r2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)图形量的关系外离d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d<|r1－r2|(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1.（多选）下列结论正确的是()A若两圆没有公共点，则两圆一定外离．B若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．C若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．D在圆中最长的弦是直径．【答案】CD2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相切或相交【答案】A【解析】圆心到直线的距离为d＝eq\f(5,\r(32＋42))＝1<4，所以直线与圆相交．3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．4B．2eq\r(3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)【答案】B【解析】∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为eq\r(5)，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|1＋2－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，∴直线m被圆M截得的弦长等于2eq\r(\r(5)2－\r(2)2)＝2eq\r(3).4．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是 （）【答案】B【解析】两圆方程可化为x2＋（y－1）2＝1，x2＋y2O1（0，1），O2（0，0），半径分别为r1＝1，r2＝2.因为｜O1O2｜＝1＝r2－r1，所以两圆内切.5．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为.

【解析】由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，所以|k×0−0+1−3k－43，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y【答案】x＝3或4x＋3y－15＝0考点一直线与圆的位置关系角度1位置关系的判断例1（2023·衡水模拟）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是 （）A.相交B.相切C.相离 D.不确定【答案】A【解析】法一（代数法）：由mx-y+1−m=0,x2+(y-1)2=5消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ法二（几何法）：由题意知，圆心（0，1）到直线l的距离d＝|-m|m2+1＜1＜5法三：易得直线l过定点（1，1）.把点（1，1）代入圆的方程有1＋0＜5，所以点（1，1）在圆的内部，故直线l与圆C相交.判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．【对点演练1】直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A．相交、相切或相离 B．相交或相切C．相交 D．相切【答案】C【解析】方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32kx－y＋2－k＝0的距离为eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交．【对点演练2】(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．角度2根据位置关系求参数（范围）例2若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为()．A．[－eq\r(3)，eq\r(3)]B．(－eq\r(3)，eq\r(3))CD.【解析】设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0则：eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))≤1.解得：k2≤eq\f(1,3)，即－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).【答案】C已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．【对点演练1】若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是.

【解析】由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为2，∴|a-0+1|12+(−1)2【答案】[－3，1]【对点演练2】若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是.

【解析】计算得圆心到直线l的距离为22＝2＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1【答案】（2＋1，＋∞）【对点演练2】（2023安徽亳州联考模拟预测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，圆心到的距离为：，圆心到的距离为：，所以，由题意，所以，故选：A.考点二圆的弦长问题例3（1）已知圆x2＋y2＝1截直线y＝k（x＋1）（k＞0）所得弦长为1，则k＝ （）A.12 B.33 （2）（多选）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直线l：（2m－1）x＋（m－1）y－3m （）l恒过定点（2，1）C被y轴截得的弦长为215l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0【解析】（1）由题可知圆x2＋y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，圆心到直线y＝k（x＋1）的距离d＝|k|k2+1.由r2＝d2＋122得1＝k2k2+1（2）对于A，将直线l的方程整理为m（2x＋y－3）＋（－x－y＋1）＝0，由-x-y+1=0,2x+y-3=0得x=2,y=−1,无论m为何值，直线l恒过定点（2，－1），故A不正确；对于B，将x＝0代入圆C的方程，得（y－1）2＝15，解得y＝1±15，故圆C被y轴截得的弦长为215，故B正确；对于C，无论m为何值，直线l不过圆心（1，1），即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为12【答案】（1）D（2）BD【对点演练1】(2023·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为()A．±eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D．±eq\r(3)【答案】D【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝eq\f(|2k|,\r(12＋k2))，则弦长为2eq\r(r2－d2)＝2，得2eq\r(4－\f(4k2,1＋k2))＝2，解得k＝±eq\r(3).弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).【对点演练2】(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2eq\r(3)时，直线l的方程为________．【答案】x＝0或3x＋4y－4＝0【解析】因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，因为|AB|＝2eq\r(3)，所以圆心到直线的距离为d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，则圆心(－1,3)到直线l的距离d＝eq\f(|－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.【对点演练3】（2023新课标全国Ⅱ卷）2．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．【答案】（中任意一个皆可以）【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．考点三圆的切线问题例4已知点P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．【解析】由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴过点P的切线的斜率为－eq\f(1,kPC)＝1，∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－eq\r(2))＝1×[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，由圆心C到切线的距离d′＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，∴过点M的圆C的切线长为eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况．【对点演练1】(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________，b＝________.【解析】由题意，两圆圆心C1(0,0)，C2(4,0)到直线l的距离等于半径，即eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，eq\f(|4k＋b|,\r(k2＋1))＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).考点四直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例5（1）（2023北京海淀北大附中三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】圆：中，圆心，半径设，则，则,当时，，故选：C（2）(2023·龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________．【答案】2eq\r(3)【解析】由圆O：x2＋y2＝2，得r＝eq\r(2)，四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝eq\r(2)|PA|，∵点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，∴P(x0，4－x0)，则|PA|＝eq\r(|PO|2－|OA|2)＝eq\r(|PO|2－2)，又|PO|2＝xeq\o\al(2,0)＋(4－x0)2＝2xeq\o\al(2,0)－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8，∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥eq\r(6)，∴四边形PAOB的面积的最小值为eq\r(2)×eq\r(6)＝2eq\r(3).涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．【对点演练1】.若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：（x－2）2＋y2＝4交于A，B两点，当｜AB｜最小时，劣弧AB的长为 （）A.π2 【解析】B直线x＋ay－a－1＝0可化为（x－1）＋a（y－1）＝0，则当x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M（1，1），又圆的圆心为C（2，0），半径r＝2，当MC⊥AB时，｜AB｜取得最小值，且最小值为2r2-|MC|2＝24−2＝22，此时弦长AB所对的圆心角为π【对点演练2】（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A．【对点演练3】(2023·昆明模拟)直线2x·sinθ＋y＝0被圆x2＋y2－2eq\r(5)y＋2＝0截得的弦长的最大值为()A．2eq\r(5)B．2eq\r(3)C．3D．2eq\r(2)【答案】D【解析】易知圆的标准方程为x2＋(y－eq\r(5))2＝3，所以圆心为(0，eq\r(5))，半径r＝eq\r(3)，由题意知圆心到直线2x·sinθ＋y＝0的距离d＝eq\f(|\r(5)|,\r(4sin2θ＋1))<eq\r(3)，解得sin2θ>eq\f(1,6)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3－\f(5,4sin2θ＋1))，因为eq\f(5,3)<4sin2θ＋1≤5，所以1≤eq\f(5,4sin2θ＋1)<3，所以2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3－\f(5,4sin2θ＋1))∈(0,2eq\r(2)]．所以当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值2eq\r(2).【对点演练4】（2023全国乙卷）3．已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.考点五圆与圆的位置关系例6．已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.（1）求证：圆C1和圆C2相交；（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解（1）证明：圆C1的圆心C1（1，3），半径r1＝11，圆C2的圆心C2（5，6），半径r2＝4，两圆圆心距d＝｜C1C2｜＝5，r1＋r2＝11＋4，｜r1－r2｜＝4－11，所以｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交.（2）圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝|20+18-23|16+9＝3故公共弦长为216−9＝27.圆与圆位置关系相关问题的求解策略（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.【对点演练1】.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有 （）解析：Dx2－4x＋y2＝0⇒（x－2）2＋y2＝22，圆心坐标为（2，0），半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒（x＋2）2＋y2＝12，圆心坐标为（－2，0），半径为1，两圆圆心距为4，半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故选D.【对点演练2】(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．【答案】x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)【解析】如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))由对称性可知公切线l2过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).设公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝k(x＋1)，则点O(0,0)到l2的距离为1，所以1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(7,24)，所以公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝eq\f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝eq\f(4,3)x垂直，设公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋t，易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，所以1＝eq\f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2＋－12))，解得t＝eq\f(5,4)或t＝－eq\f(5,4)(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.【对点演练3】.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，BAB的长为，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为.

【解析】两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.∴圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，联立x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,解得x=−4,y=0或x=0,y=2,不妨设A【答案】25（x＋2）2＋（y－1）2＝5一、单选题1、（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】A【详解】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切【答案】B【解析】由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，则2－1<eq\r(5)<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交．3.圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P（1，3）处的切线方程为 （）A.x＋3y－2＝0 B.x＋3y－4＝0C.x－3y＋4＝0 D.x－3y＋2＝0【解析】D圆Q的标准方程为（x－2）2＋y2＝4.∵P（1，3）在圆Q上，∴所求切线方程为（1－2）·（x－2）＋（3－0）（y－0）＝4，即x－3y＋2＝0.4.“点（a，b）在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】B命题p：点（a，b）在圆x2＋y2＝1外等价于a2＋b2＞1，命题q：直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交等价于2a2+b2＜1等价于a2＋b2＞4，从而有p⇒/q，q⇒p，所以p是q5．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定【答案】A【解析】圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0,2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A.6.过点A(a,0)(a＞0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切于点B，且|AB|＝eq\r(3)，则△OAB的面积是()A.eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．1D．2【答案】B【解析】在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，|AB|＝eq\r(3)，故|OB|＝1，所以S△OAB＝eq\f(1,2)|AB||OB|＝eq\f(\r(3),2)，故选B.7.(2022·深圳模拟)若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为()A．(－18,6]B．[－2,6]C．[－2,18]D．[4,18]【答案】C【解析】将圆C的方程化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18.因为圆C上有到(－1,0)的距离为1的点，所以圆C与圆C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共点，所以|eq\r(m＋18)－1|≤|CC′|≤eq\r(m＋18)＋1.因为|CC′|＝eq\r(3＋12＋32)＝5，所以|eq\r(m＋18)－1|≤5≤eq\r(m＋18)＋1，解得－2≤m≤18.8．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)答案D解析点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).二、多选题9．（2023湖南常德二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【详解】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点，因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，所以，又，所以，解得，所以a的最小值为4.故选：C.10.设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是 （）k如何变化，圆心C始终在一条直线上Ck均不经过点（3，0）C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个【解析】ABD圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选A、B、D.11.已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则 （）A.两圆的圆心距｜O1O2｜＝2AB的方程为x－y＋1＝0O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2【解析】BD由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，可得圆O1：（x－1）2＋y2＝4和圆O2：x2＋（y－1）2＝2，则圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆O2的圆心坐标为（0，1），半径为2，对于A，两圆的圆心距｜O1O2｜＝(1-0)2+(0−1)2＝2，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为|1+1|2＝2，所以圆O12.直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8 C．12 D．16【解析】因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为eq\r(－3－02＋3＋12)C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为2eq\r(62－52)＝2eq\r(11).又当直线y＝kx－1过圆心时弦长|AB|取最大值，为直径12，故|AB|∈[2eq\r(11)，12]．故选BC.填空题13/过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，eq\f(1,2)|OP|＝eq\r(5)为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.14．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．【答案】【详解】如图所示，设圆心为点，则，，则点在圆上，且，由与圆相切可得，所以切线方程为，令，解得，故，所以故答案为：.15.（2023·广东·校联考模拟预测）已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程______.【答案】（答案不唯一，也满足）【详解】由题意得，半径，，故在圆外，设O到直线的距离为d，由得，即，解得，当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意；当直线l斜率存在时，设为，即，则，即，解得，故直线为.故答案为：（答案不唯一，也满足）16．（2023·河南驻马店·统考三模）已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.【答案】或或.【详解】设圆的公切线为，，或代入求解得：或所以切线为：或或故答案为：或或.解答题17.已知圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.解：（1）由题意可得C（2，3），直线l与圆C相切，当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意.当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，∴|2k-3-4k-1|1+∴直线l的方程为3x＋4y－8＝0，∴直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心C（2，3）到直线l的距离为|2+3-3|2＝2∴弦长为222-(218.已知A（2，0），直线4x＋3y＋1＝0被圆C：（x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为43，且P为圆C上任意一点.（1）求｜PA｜的最大值与最小值；（2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.解：（1）∵直线4x＋3y＋1＝0被