包头市青山区北重三中高一下学期月月考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2015—2016学年内蒙古包头市青山区北重三中高一（下）4月月考数学试卷(文科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（)A．=（0,0），=（1,﹣2） B．=（﹣1，2），=（5,7）C．=(3，5），=（6，10） D．=（2,﹣3），=（，﹣）2．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4,∠C=45°,则R=（）A． B． C． D．3．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1,则最短边的边长是（）A． B． C． D．4．如图，向量a﹣b等于(）A．﹣4e1﹣2e2 B．﹣2e1﹣4e2 C．e1﹣3e2 D．3e1﹣e25．在平面直角坐标系xOy中，已知成=(﹣1，t），=（2，2），若∠ABO=90°,则实数t的值为（）A．1 B．﹣3 C． D．56．已知向量=（1，﹣3），=（2，﹣1)，=（k+1，k+3)，若A、B、C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是（)A．k=﹣6 B．k=6 C．k= D．k=﹣17．若△ABC的三个内角满足sinA:sinB：sinC=5:11：13,则△ABC(）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．已知a,b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．若B=90°,且，则△ABC的面积为（）A．1 B． C． D．39．已知非零向量满足｜｜=4｜｜,且⊥（）则的夹角为()A． B． C． D．10．在△ABC中，a=4,，5cos（B+C）+3=0,则角B的大小为（）A． B． C． D．11．在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,+=6cosC，则+=（）A．4 B．3 C．5 D．612．已知向量≠，｜｜=1，对任意t∈R，恒有｜﹣t|≥｜﹣｜,则（）A．⊥ B．⊥（﹣） C．⊥（﹣） D．(+）⊥(﹣）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把正确答案填在题中横线上.13．在等腰△ABC中,A=120°，则向量与的夹角为．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．15．设均为单位向量,其夹角为θ，若，则θ的取值范围为．16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．已知向量,且与的夹角为60°．（1）求与垂直的单位向量的坐标;（2）求向量在上的投影．18．设向量,=(cosx，cosx），．（1）若∥,求tanx的值；（2）求函数f（x)=•的周期和函数最大值及相应x的值．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足ccosB+bcosC=2acosC．(1）求角C的大小;(2）若c=2，求a，b的值．20．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1)求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．21．设在平面上有两个向量=（cosα,sinα）（0°≤α＜180°）,=（﹣，）．(1)求证：向量与垂直；(2）当向量与的模相等时，求α的大小．22．已知△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（a，b+c），=（cosC+sinC，﹣1)相互垂直．（1）求角A的大小;（2）若a=,求△ABC周长的最大值．

2015-2016学年内蒙古包头市青山区北重三中高一（下）4月月考数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（)A．=（0，0），=（1，﹣2） B．=（﹣1,2)，=（5，7）C．=（3,5），=(6，10) D．=(2，﹣3)，=（，﹣)【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A，D，C选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B．【解答】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求C中两个向量是,两个向量共线，D选项中的两个向量是，也共线,故选B．2．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4，∠C=45°，则R=（）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知c及sinC的值，利用正弦定理列出关于R的方程,求出方程的解即可得到三角形外接圆的半径R．【解答】解:∵AB=c=4，∠C=45°，∴由正弦定理=2R得：R===2．故选D3．在△ABC中，B=45°,C=60°，c=1，则最短边的边长是（）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由B=45°,C=60°可得A=75°从而可得B角最小，根据大边对大角可得最短边是b,利用正弦定理求b即可【解答】解：由B=45°，C=60°可得A=75°，∵B角最小，∴最短边是b，由=可得，b===,故选A．4．如图,向量a﹣b等于（）A．﹣4e1﹣2e2 B．﹣2e1﹣4e2 C．e1﹣3e2 D．3e1﹣e2【考点】99：向量的减法及其几何意义．【分析】本题是向量的减法运算，不管是怎样的两个向量，通过图形做减法时都要把向量的起点放在一起,差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的一个向量．【解答】解：由题意知：差向量是从的终点指向的终点的一个向量,把差向量用基底来表示,∴故选C．5．在平面直角坐标系xOy中,已知成=(﹣1，t），=（2，2），若∠ABO=90°,则实数t的值为（)A．1 B．﹣3 C． D．5【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据平面向量的坐标表示,用向量、表示出，用向量垂直数量积为0列出方程求出t的值．【解答】解:平面直角坐标系xOy中，=（﹣1，t），=(2,2），∴=﹣=(3，2﹣t）,又∠ABO=90°，∴⊥，∴•=3×2+2(2﹣t）=0,解得t=5．故选：D．6．已知向量=（1,﹣3），=(2,﹣1），=（k+1，k+3),若A、B、C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是（）A．k=﹣6 B．k=6 C．k= D．k=﹣1【考点】9K:平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、、的坐标可得向量、的坐标,分析可得若A、B、C三点不能构成三角形，即A、B、C三点共线，则有∥，由向量平行的坐标表示公式可得2k=k+6，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（1，﹣3)，=（2,﹣1），=（k+1,k+3),则=(1，2）,=(k，k+6），若A、B、C三点不能构成三角形，即A、B、C三点共线，则有∥，即有2k=k+6,解可得k=6，故选：B．7．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC(）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】HS：余弦定理的应用;HQ：正弦定理的应用．【分析】先根据正弦定理及题设，推断a:b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA:sinB：sinC=5:11:13∴a:b：c=5:11:13，设a=5t,b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C8．已知a，b,c分别是△ABC内角A,B，C的对边,sin2B=2sinAsinC．若B=90°,且,则△ABC的面积为（)A．1 B． C． D．3【考点】HP：正弦定理．【分析】sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，由勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∵sin2B=2sinAsinC,∴b2=2ac，∵B=90°，且a=,∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=．∴S△ABC=ac==．故选：B．9．已知非零向量满足｜｜=4｜｜，且⊥（）则的夹角为（)A． B． C． D．【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足｜|=4｜|，且⊥(），设两个非零向量的夹角为θ,所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π］,所以；故选C．10．在△ABC中,a=4，，5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为(）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由诱导公式及三角形的内角和定理得到cos（B+C）=﹣cosA,由5cos（B+C）+3=0求出cos（B+C）的值，可得出cosA的值，再由同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,再由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，根据a大于b得到A大于B，由A为锐角，得到B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．【解答】解：∵5cos（B+C）+3=0，∴cos(B+C）=﹣，又cos（B+C）=﹣cosA，∴cosA=,又A为三角形的内角，∴sinA==，又a=4,b=，∴根据正弦定理=得：sinB===,∵b＜a，∴B＜A，又B为锐角,则B=．故选:A．11．在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cosC，则+=（)A．4 B．3 C．5 D．6【考点】HP：正弦定理；GI:三角函数的化简求值；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用余弦定理可得a2+b2=c2，利用同角三角函数的基本关系，余弦定理化简+=，从而求得结果．【解答】解：在锐角三角形ABC中，由+=6cosC，利用余弦定理可得+=6cosC=6•，∴a2+b2=c2．则+=+=（+）=•=====4，故答案为：4．12．已知向量≠,｜|=1，对任意t∈R，恒有｜﹣t|≥｜﹣|，则（)A．⊥ B．⊥（﹣） C．⊥（﹣） D．（+）⊥（﹣）【考点】93：向量的模．【分析】对|﹣t｜≥｜﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．【解答】解：已知向量≠,|｜=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥｜﹣｜即｜﹣t｜2≥｜﹣｜2∴即故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把正确答案填在题中横线上.13．在等腰△ABC中,A=120°,则向量与的夹角为150°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的夹角的定义,求得向量与的夹角．【解答】解：等腰△ABC中,A=120°,∴B=30°，则向量与的夹角为180°﹣B=180°﹣30°=150°,故答案为：150°．14．在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】依题意，+=,而=2，从而可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2,∴+=2,∵+=λ，∴λ=2．故答案为：2．15．设均为单位向量，其夹角为θ,若，则θ的取值范围为（，)．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积定义求得向量的数量积，再由平方法，向量的平方即为模的平方，再由余弦函数的单调性即可得到范围．【解答】解：由于均为单位向量，其夹角为θ，则•=1×1×cosθ=cosθ，由|+|＞1，则|+｜2＞1,即有2+2+2•＞1，即1+1+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，由|﹣｜＞1，则｜﹣｜2＞1，即有2+2﹣2•＞1，即1+1﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，综上可得﹣＜cosθ＜，由于0≤θ≤π,解得＜θ＜．则θ的取值范围为(，）．故答案为：(，）．16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=,=,则•的值为．【考点】9R:平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°,∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°,∵=,=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+)=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为:三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17．已知向量，且与的夹角为60°．（1）求与垂直的单位向量的坐标；（2）求向量在上的投影．【考点】9R:平面向量数量积的运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设与垂直的单位向量的坐标为(x，y），利用单位向量与垂直得到方程组解之；（2）根据投影的定义得到所求．【解答】解:(1）设与垂直的单位向量的坐标为（x，y）,则,解得或,所以与垂直的单位向量的坐标为（)，或（)；（2））==，所以向量在上的投影为=．18．设向量，=（cosx，cosx)，．(1)若∥，求tanx的值；(2）求函数f（x)=•的周期和函数最大值及相应x的值．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；GG：同角三角函数间的基本关系；GI:三角函数的化简求值；GQ:两角和与差的正弦函数；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（1)利用的充要条件得到，化简求出tanx的值；（2）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x），利用周期公式求出周期;利用整体角处理的思路求出函数的最大值．【解答】解：（1)∵,∴，∵，∴cosx≠0，∴，∴．（2）f（x）===．∴．∵，∴当，即时，f（x）取得最大值，最大值为19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足ccosB+bcosC=2acosC．（1)求角C的大小;（2）若c=2，求a，b的值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理推导出ab=a2+b2﹣c2,再利用余弦定理求出cosC=，由此能求出角C的大小．（2)由正弦定理得,求出ab=8，b=，由余弦定理得：a4﹣20a2+64=0，由此能求出a，b的值．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，满足ccosB+bcosC=2acosC．∴=，∴=．∴ab=a2+b2﹣c2,∴cosC=，∵0＜C＜π,∴C=．（2）∵c=2，∴，解得ab=8,∴b=,由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即12=，整理,得：a4﹣20a2+64=0，解得a=2，b=4，或a=4，b=2．20．△ABC中，D是BC上的点,AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1)求；（2)若AD=1,DC=，求BD和AC的长．【考点】HP:正弦定理;HT：三角形中的几何计算．【分析】(1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC,由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．(2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解:（1)如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中,=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由(1）知,BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN,∴==2,∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得:=，∴x=1,∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．21．设在平面上有两个向量=（cosα，sinα）（0°≤α＜180°)，=（﹣，）．（1）求证：向量与垂直；（2）当向量与的模相等时，求α的大小．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）运用向量的模的公式和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（2)运用向量的模的平方即为斜率的平方，展开化简结合向量数量积的坐标表示和两角差的正弦公式，以及特殊角的正弦值，即可得到所求角．【解答】解:（1）证明：向量=（cosα,sinα)（0°≤α＜180°），=